Stammfunktionen

Integrieren: die Ableitung rückwärts

Integrieren ist Ableiten rückwärts: Die Ableitung ist gegeben, gesucht ist die Funktion, aus der sie entstanden ist.

Zum Beispiel ist $2x$ gegeben. Welche Funktion hat die Ableitung $2x$? Das ist $x^2$, denn $(x^2{)}^{\prime }=2x$.

Die Ableitung $2x$ stammt von $x^2$ ab. Darum heißt $x^2$ eine Stammfunktion von $2x$.

Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion von $f$, wenn $F^{\prime }(x)=f(x)$ gilt.

Manche sagen statt integrieren auch „aufleiten“, als Gegenstück zu ableiten. Das Fachwort ist integrieren.

Mit Namen heißt das Paar $F(x)=x^2$ und $f(x)=2x$. Im Bild ist $F(x)$ die Höhe des Graphen von $F$, und $f(x)$ ist seine Steigung an derselben Stelle:

Bei $x=-1$ und bei $x=1$ hat die Parabel dieselbe Höhe 1. Ihre Steigungen sind verschieden, nämlich $-2$ und $2$. Genau das sind die Werte von $f$: $f(-1)=-2$ und $f(1)=2$.

Welche Funktion hat die Ableitung $x^3$? Beim Ableiten sinkt der Exponent um 1. Die gesuchte Funktion hat also den Exponenten 4. Wir versuchen $x^4$. So ein erster Versuch heißt Ansatz.

Das ist das Vierfache von $x^3$. Also nehmen wir ein Viertel:

Probe: Ableiten muss wieder $x^3$ ergeben.

${\left(\frac{1}{4}{x}^4\right)}^{\prime }=\frac{1}{4}\cdot 4x^3=x^3$ ✓

Schema: Stammfunktion durch Rückwärtsdenken

Das eben Gerechnete, allgemein:

1. Ansatz: eine Funktion, deren Ableitung wie $f$ aussieht, nur mit einer anderen Zahl davor. 2. Den Ansatz ableiten. 3. Mit dem passenden Faktor korrigieren. Das ergibt $F(x)$. 4. Probe: $F^{\prime }(x)=f(x)$ ✓

Prüfungsaufgabe: „Geben Sie eine Stammfunktion von $f$ an.“

Beispiele

a) $f(x)=3x^2$

Probe: $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$ ✓

b) $f(x)=8x^3$

Probe: $(2x^4{)}^{\prime }=2\cdot 4x^3=8x^3$ ✓

c) $f(x)=x$

Probe: ${\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot 2x=x$ ✓

d) $f(x)=5$

Probe: $(5x{)}^{\prime }=5\cdot 1=5$ ✓

e) $f(x)=\cos x$

Probe: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ ✓

f) $f(x)=\sin x$

Probe: $(-\cos x{)}^{\prime }=-(-\sin x)=\sin x$ ✓

g) $f(x)=e^x$

Probe: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ ✓

h) $f(x)=\frac{1}{x}$

$\frac{1}{x}$ gibt es für $x>0$ und für $x<0$. Der Ansatz $\ln x$ gibt es nur für $x>0$. Mit dem Betrag bekommt man beide Seiten in eine Formel:

Probe für beide Stücke, das zweite mit der Kettenregel:

Merken: Integrieren heißt rückwärts denken: Ansatz ableiten, mit einem Faktor korrigieren, Probe machen.

Jetzt du: Findet eine Stammfunktion von $f(x)=x^5$.

(Lösung: $F(x)=\frac{1}{6}{x}^6$. Probe: $F^{\prime }(x)=\frac{1}{6}\cdot 6x^5=x^5$ ✓)

Nachweis durch Ableiten

Ist $F$ schon gegeben, entscheidet allein die Probe.

Prüfungsaufgabe: „Zeigen Sie, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.“

a) $F(x)=(x-1)e^x$ und $f(x)=x{e}^x$

$F^{\prime }(x)=1\cdot e^x+(x-1)\cdot e^x=e^x+x{e}^x-e^x=x{e}^x$ ✓

$F$ ist eine Stammfunktion von $f$.

b) $F(x)=x^2{e}^x$ und $f(x)=2x{e}^x$

$F^{\prime }(x)=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x$

Der Summand $x^2{e}^x$ ist zu viel: $F^{\prime }(x)\ne f(x)$ ✗

$F$ ist keine Stammfunktion von $f$.

Jetzt du: Zeigt, dass $F(x)=x\ln x-x$ eine Stammfunktion von $f(x)=\ln x$ ist.

(Lösung: $F^{\prime }(x)=1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}-1=\ln x$ ✓)

Übungen

Findet je eine Stammfunktion. Macht die Probe.

a) $f(x)=x^4$

b) $f(x)=6x^5$

c) $f(x)=4$

d) $f(x)=3\cos x$

e) $f(x)=-\sin x$

f) $f(x)=2e^x$

g) $f(x)=\sqrt{x}$

Zeigt oder widerlegt: $F$ ist eine Stammfunktion von $f$.

h) $F(x)=x\sin x+\cos x$ und $f(x)=x\cos x$

i) $F(x)=x^2\ln x$ und $f(x)=2x\ln x$

Lösungen Schritt für Schritt

a) $f(x)=x^4$

Ansatz: $(x^5{)}^{\prime }=5x^4$

Faktor $\frac{1}{5}$: $F(x)=\frac{1}{5}{x}^5$

Probe: $F^{\prime }(x)=\frac{1}{5}\cdot 5x^4=x^4$ ✓

b) $f(x)=6x^5$

Ansatz: $(x^6{)}^{\prime }=6x^5$

Faktor 1: $F(x)=x^6$

Probe: $F^{\prime }(x)=6x^5$ ✓

c) $f(x)=4$

Ansatz: $(x{)}^{\prime }=1$

Faktor 4: $F(x)=4x$

Probe: $F^{\prime }(x)=4$ ✓

d) $f(x)=3\cos x$

Ansatz: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$

Faktor 3: $F(x)=3\sin x$

Probe: $F^{\prime }(x)=3\cos x$ ✓

e) $f(x)=-\sin x$

Ansatz: $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

Faktor 1: $F(x)=\cos x$

Probe: $F^{\prime }(x)=-\sin x$ ✓

f) $f(x)=2e^x$

Ansatz: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$

Faktor 2: $F(x)=2e^x$

Probe: $F^{\prime }(x)=2e^x$ ✓

g) $f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

Ansatz: ${\left(x^{\frac{3}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

Faktor $\frac{2}{3}$: $F(x)=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$

Probe: $F^{\prime }(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ ✓

h) $F^{\prime }(x)=1\cdot \sin x+x\cdot \cos x-\sin x=x\cos x=f(x)$ ✓

$F$ ist eine Stammfunktion von $f$.

i) $F^{\prime }(x)=2x\cdot \ln x+x^2\cdot \frac{1}{x}=2x\ln x+x$

$F^{\prime }(x)\ne f(x)$ ✗

$F$ ist keine Stammfunktion von $f$.

Alle Stammfunktionen: die Konstante c

Zu jeder Funktion gibt es unendlich viele Stammfunktionen. Alle diese Funktionen haben zum Beispiel die Ableitung $2x$:

Die Zahl am Ende fällt beim Ableiten weg. Im Bild ist es dieselbe Parabel, nach oben oder unten verschoben. An jeder Stelle haben alle drei dieselbe Steigung:

Rückwärts kommt die weggefallene Zahl nicht zurück. Sie kann jede Zahl sein. Wir schreiben dafür $c$:

$c$ heißt Integrationskonstante. Für $c$ darf jede feste Zahl stehen.

Welche Funktionen haben die Ableitung 3? Alle Geraden mit der Steigung 3:

Hier ist $c$ der y-Achsenabschnitt, das $b$ aus $y=mx+b$.

Das Integralzeichen

Für „alle Stammfunktionen von $f$“ gibt es ein eigenes Zeichen:

Man liest: „Integral von $2x$ dx“. Das $dx$ sagt: Die Variable ist $x$.

Die linke Seite $\int 2xdx$ heißt unbestimmtes Integral. Unbestimmt heißt: Das $c$ auf der rechten Seite ist noch offen.

Allgemein gilt:

Beispiele

a) $\int 3x^{2}dx=x^3+c$

b) $\int 5dx=5x+c$

c) $\int x^{3}dx=\frac{1}{4}{x}^4+c$

d) $\int \sin xdx=-\cos x+c$

e) $\int e^{x}dx=e^x+c$

f) $\int 2tdt=t^2+c$ (die Variable heißt $t$, darum $dt$)

g) $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+c$

Probe zu d): $(-\cos x+c{)}^{\prime }=\sin x+0=\sin x$ ✓. Beim Ableiten fällt $c$ wieder weg.

Merken: Beim Integrieren kommt immer $+c$ dazu: $\int f(x)dx=F(x)+c$.

Jetzt du: $\int 4x^{3}dx$

(Lösung: $x^4+c$. Probe: $(x^4+c{)}^{\prime }=4x^3$ ✓)

Theorie: Warum es keine weiteren Stammfunktionen gibt

Gibt es zu $2x$ vielleicht noch eine ganz andere Stammfunktion, keine verschobene Parabel? Nehmt zwei Stammfunktionen $F_1$ und $F_2$ derselben Funktion $f$. Ihre Differenz hat die Ableitung 0:

Ein Graph ohne Lücke mit der Steigung 0 an jeder Stelle ist eine waagerechte Gerade. Die Differenz ist also eine feste Zahl:

Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich also nur um eine Zahl. Darum sind $F(x)+c$ alle Stammfunktionen von $f$.

Übungen

Berechnet das unbestimmte Integral. Macht die Probe.

a) $\int x^{5}dx$

b) $\int 7dx$

c) $\int 12x^{3}dx$

d) $\int \cos tdt$

e) $\int (-2\sin x)dx$

f) $\int 3e^{x}dx$

g) $\int \frac{2}{x}dx$

Lösungen Schritt für Schritt

a) Ansatz: $(x^6{)}^{\prime }=6x^5$

Faktor $\frac{1}{6}$: $\int x^{5}dx=\frac{1}{6}{x}^6+c$

Probe: ${\left(\frac{1}{6}{x}^6+c\right)}^{\prime }=x^5$ ✓

b) Ansatz: $(x{)}^{\prime }=1$

Faktor 7: $\int 7dx=7x+c$

Probe: $(7x+c{)}^{\prime }=7$ ✓

c) Ansatz: $(x^4{)}^{\prime }=4x^3$

Faktor 3: $\int 12x^{3}dx=3x^4+c$

Probe: $(3x^4+c{)}^{\prime }=12x^3$ ✓

d) Ansatz: $(\sin t{)}^{\prime }=\cos t$

Faktor 1: $\int \cos tdt=\sin t+c$

Probe: $(\sin t+c{)}^{\prime }=\cos t$ ✓

e) Ansatz: $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

Faktor 2: $\int (-2\sin x)dx=2\cos x+c$

Probe: $(2\cos x+c{)}^{\prime }=-2\sin x$ ✓

f) Ansatz: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$

Faktor 3: $\int 3e^{x}dx=3e^x+c$

Probe: $(3e^x+c{)}^{\prime }=3e^x$ ✓

g) Ansatz: $(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

Faktor 2: $\int \frac{2}{x}dx=2\ln |x|+c$

Probe: $(2\ln |x|+c{)}^{\prime }=\frac{2}{x}$ ✓

Die Stammfunktion durch einen Punkt

Ein Punkt legt fest, welche Stammfunktion gemeint ist: Von allen verschobenen Graphen geht genau einer durch ihn.

Welche Stammfunktion von $f(x)=2x$ geht durch den Punkt $P(2\mid 7)$? Alle Stammfunktionen von $2x$ sind $x^2+c$. An der Stelle $x=2$ hat jede dieser Parabeln eine andere Höhe:

Die gesuchte Stammfunktion heißt $F$. Sie hat die Form $F(x)=x^2+c$, nur $c$ ist noch unbekannt. Ihr Graph geht durch $P$. Das heißt: An der Stelle 2 hat $F$ den Wert 7, also $F(2)=7$.

Ergebnis: $F(x)=x^2+3$

Probe: $F(2)=2^2+3=7$ ✓

Schema: Stammfunktion durch einen Punkt

Das eben Gerechnete, allgemein, für einen Punkt $P(x_0\mid y_0)$:

1. Integrieren: $F(x)=\cdots +c$. 2. Den Punkt einsetzen: $F(x_0)=y_0$. 3. Nach $c$ auflösen. 4. $c$ in $F(x)$ einsetzen.

Prüfungsaufgabe: „Bestimmen Sie die Stammfunktion von $f$, deren Graph durch den Punkt $P$ verläuft.“

Beispiele

a) $f(x)=3x^2$ und $P(2\mid 5)$

$F(x)=x^3+c$

$F(2)=5$: $2^3+c=5$, also $8+c=5$ und $c=-3$

Ergebnis: $F(x)=x^3-3$

b) $f(x)=e^x$ und $P(0\mid 0)$

$F(x)=e^x+c$

$F(0)=0$: $e^0+c=0$, also $1+c=0$ und $c=-1$

Ergebnis: $F(x)=e^x-1$

c) $f(x)=\cos x$ und $P\left(\frac{\pi }{2}\mid 5\right)$

$F(x)=\sin x+c$

$F\left(\frac{\pi }{2}\right)=5$: $\sin \frac{\pi }{2}+c=5$, also $1+c=5$ und $c=4$

Ergebnis: $F(x)=\sin x+4$

d) $f(x)=2x$ und $P(-3\mid 4)$

$F(x)=x^2+c$

$F(-3)=4$: $(-3{)}^2+c=4$, also $9+c=4$ und $c=-5$

Ergebnis: $F(x)=x^2-5$

Hinweis: Fährt ein Auto geradeaus von einer Kreuzung weg, ist die Ableitung seines Abstands $s(t)$ die Geschwindigkeit: $s^{\prime }(t)=v(t)$. Der Abstand $s$ ist also eine Stammfunktion der Geschwindigkeit $v$.

e) Ein Auto fährt mit der Geschwindigkeit $v(t)=2t$ von einer Kreuzung weg ($t$ in Sekunden, $v$ in Metern pro Sekunde). Bei $t=0$ ist sein Abstand von der Kreuzung 5 m. Wie groß ist der Abstand nach 3 Sekunden?

$s(t)=t^2+c$

$s(0)=5$: $0^2+c=5$, also $c=5$

$s(t)=t^2+5$ und $s(3)=3^2+5=14$

Ergebnis: Nach 3 Sekunden ist das Auto 14 m von der Kreuzung entfernt.

Hier ist $c=5$ der Abstand beim Start.

Merken: Ein Punkt legt die Integrationskonstante $c$ fest: integrieren, Punkt einsetzen, $c$ ausrechnen.

Jetzt du: Bestimmt die Stammfunktion von $f(x)=4x$ durch $P(1\mid 5)$.

(Lösung: $F(x)=2x^2+c$, $F(1)=5$: $2+c=5$, also $c=3$ und $F(x)=2x^2+3$)

Übungen

Bestimmt die Stammfunktion von $f$, deren Graph durch $P$ geht.

a) $f(x)=4x^3$ und $P(2\mid 10)$

b) $f(x)=6x^2$ und $P(-1\mid 0)$

c) $f(x)=\sin x$ und $P(0\mid 3)$

d) $f(x)=2e^x$ und $P(0\mid 5)$

e) $f(x)=3$ und $P(4\mid 2)$

f) Ein Auto fährt mit der Geschwindigkeit $v(t)=3t^2$ von einer Kreuzung weg ($t$ in Sekunden, $v$ in Metern pro Sekunde). Bei $t=0$ ist sein Abstand von der Kreuzung 2 m. Wie groß ist der Abstand nach 2 Sekunden?

Lösungen Schritt für Schritt

a) $F(x)=x^4+c$

$F(2)=10$: $2^4+c=10$, also $16+c=10$ und $c=-6$

Ergebnis: $F(x)=x^4-6$

b) $F(x)=2x^3+c$

$F(-1)=0$: $2\cdot (-1{)}^3+c=0$, also $-2+c=0$ und $c=2$

Ergebnis: $F(x)=2x^3+2$

c) $F(x)=-\cos x+c$

$F(0)=3$: $-\cos 0+c=3$, also $-1+c=3$ und $c=4$

Ergebnis: $F(x)=-\cos x+4$

d) $F(x)=2e^x+c$

$F(0)=5$: $2e^0+c=5$, also $2+c=5$ und $c=3$

Ergebnis: $F(x)=2e^x+3$

e) $F(x)=3x+c$

$F(4)=2$: $3\cdot 4+c=2$, also $12+c=2$ und $c=-10$

Ergebnis: $F(x)=3x-10$

f) $s(t)=t^3+c$

$s(0)=2$: $0^3+c=2$, also $c=2$

$s(t)=t^3+2$ und $s(2)=2^3+2=10$

Ergebnis: Nach 2 Sekunden ist das Auto 10 m von der Kreuzung entfernt.

Vom Graphen von f zum Graphen von F

Der Graph von $f$ zeigt an jeder Stelle, wie steil der Graph von $F$ dort ist.

Zum Beispiel ist $F(x)=\sin x$ eine Stammfunktion von $f(x)=\cos x$, denn $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$. Im oberen Bild steht der Graph von $F$, im unteren der Graph von $f$:

Von links nach rechts gelesen:

Von 0 bis $\frac{\pi }{2}$ fällt $\cos x$. Trotzdem steigt $\sin x$ auf diesem Stück, denn $\cos x$ ist dort positiv.

Bei $\pi$ hat $\cos x$ seinen kleinsten Wert $-1$. Dort fällt $\sin x$ am steilsten, und diese steilste Stelle ist der Wendepunkt $W(\pi \mid 0)$.

Beispiele

a) Graph von $f$: fallende Gerade durch $(0\mid 2)$ und $(2\mid 0)$

Nullstelle bei 2, Wechsel von plus nach minus: Hochpunkt von $F$ bei $x=2$.

Links von 2 ist $f$ positiv: $F$ steigt, obwohl $f$ fällt. Rechts von 2 ist $f$ negativ: $F$ fällt.

$f$ hat keinen Hoch- oder Tiefpunkt: $F$ hat keinen Wendepunkt.

b) Graph von $f$: nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen $-1$ und $1$ und dem Tiefpunkt $(0\mid -1)$

Nullstelle bei $-1$, Wechsel von plus nach minus: Hochpunkt von $F$.

Nullstelle bei $1$, Wechsel von minus nach plus: Tiefpunkt von $F$.

Tiefpunkt von $f$ bei 0: Dort fällt $F$ am steilsten, also Wendepunkt von $F$.

c) Graph von $f$: nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitel $(0\mid 0)$

Nullstelle bei 0 ohne Wechsel: $f$ ist links und rechts von 0 positiv. $F$ steigt überall und ist bei 0 waagerecht. Das ist ein Sattelpunkt, also ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

Tiefpunkt von $f$ bei 0: Auch das zeigt den Wendepunkt von $F$.

Schema: Graph einer Stammfunktion skizzieren

Das eben Abgelesene, allgemein:

1. Nullstellen von $f$ markieren. Wechsel von plus nach minus: Hochpunkt von $F$. Wechsel von minus nach plus: Tiefpunkt von $F$. Kein Wechsel: Sattelpunkt von $F$. 2. $f$ positiv: $F$ steigt. $f$ negativ: $F$ fällt. 3. Hoch- und Tiefpunkte von $f$ markieren: Dort hat $F$ Wendepunkte. 4. Einen Startpunkt wählen und $F$ durchzeichnen. Nach oben oder unten verschoben ist $F$ genauso richtig.

Prüfungsaufgabe: „Skizzieren Sie den Graphen einer Stammfunktion von $f$.“

Merken: Die Höhe von $f$ ist die Steigung von $F$.

Jetzt du: Der Graph von $f$ ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen 1 und 3. Wo hat $F$ einen Hochpunkt, einen Tiefpunkt und einen Wendepunkt?

(Lösung: Tiefpunkt bei $x=1$, Hochpunkt bei $x=3$, Wendepunkt bei $x=2$)

Theorie: Warum aus Hoch- und Tiefpunkten von f Wendepunkte von F werden

$F^{\prime }=f$. Noch einmal abgeleitet: $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$.

Ein Hoch- oder Tiefpunkt von $f$ heißt: $f^{\prime }=0$ mit Vorzeichenwechsel.

Dort ist also $F^{\prime \prime }=0$ mit Vorzeichenwechsel. Das ist ein Wendepunkt von $F$.

Übungen

Skizziert den Graphen einer Stammfunktion $F$. Gebt an, wo $F$ steigt und wo $F$ fällt. Nennt die Hoch-, Tief-, Sattel- und Wendepunkte von $F$.

a) Graph von $f$: steigende Gerade durch $(-1\mid 0)$ und $(0\mid 1)$

b) Graph von $f$: nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen 0 und 4 und dem Hochpunkt $(2\mid 4)$

c) Graph von $f$: der Graph von $e^x$

d) Graph von $f$: nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitel $(0\mid 0)$

Was zeigt die Zahl am Graphen von $F$?

e) $f(3)=2$

f) $F(3)=2$

Lösungen Schritt für Schritt

a) Nullstelle bei $-1$, Wechsel von minus nach plus: Tiefpunkt von $F$ bei $x=-1$.

$x<-1$: $f$ negativ, $F$ fällt. $x>-1$: $f$ positiv, $F$ steigt.

Kein Hoch- oder Tiefpunkt von $f$: kein Wendepunkt von $F$.

b) Nullstelle bei 0, Wechsel von minus nach plus: Tiefpunkt von $F$ bei $x=0$.

Nullstelle bei 4, Wechsel von plus nach minus: Hochpunkt von $F$ bei $x=4$.

$x<0$: $F$ fällt. $0<x<4$: $F$ steigt. $x>4$: $F$ fällt.

Hochpunkt von $f$ bei 2: Wendepunkt von $F$ bei $x=2$.

c) $e^x$ ist überall positiv: $F$ steigt überall.

Keine Nullstelle: kein Hoch- und kein Tiefpunkt von $F$.

$e^x$ hat keinen Hoch- oder Tiefpunkt: kein Wendepunkt von $F$.

d) Nullstelle bei 0 ohne Wechsel: $f$ ist links und rechts von 0 negativ. $F$ fällt überall und ist bei 0 waagerecht: Sattelpunkt.

Hochpunkt von $f$ bei 0: Der Sattelpunkt ist ein Wendepunkt.

e) $f(3)=2$ ist die Steigung von $F$ bei $x=3$: Der Graph von $F$ steigt dort, 1 nach rechts, 2 nach oben.

f) $F(3)=2$ ist die Höhe von $F$ bei $x=3$: Der Punkt $(3\mid 2)$ liegt auf dem Graphen von $F$. Über die Steigung dort sagt die Zahl nichts.