Exercises

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Integral calculus

\int x^{9} d x

Solution

\frac{1}{10} x^{10} + c

Explained in: Regeln für das unbestimmte Integral

\int 10 x^{4} d x

Solution

2 x^{5} + c

Explained in: Regeln für das unbestimmte Integral

\int (6 x^{2} + 4 x - 1) d x

Solution

2 x^{3} + 2 x^{2} - x + c

Explained in: Regeln für das unbestimmte Integral

\int \frac{2}{x ^{3}} d x

Solution

- x^{- 2} + c

Explained in: Regeln für das unbestimmte Integral

\int 4 x d x

Solution

\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + c

Explained in: Regeln für das unbestimmte Integral

\int (6 cos x + \frac{2}{x}) d x

Solution

6 sin x + 2 ln ∣ x ∣ + c

Explained in: Regeln für das unbestimmte Integral

\int e^{5 x + 2} d x

Solution

\frac{1}{5} e^{5 x + 2} + c

Explained in: Regeln für das unbestimmte Integral

\int (3 x - 1)^{4} d x

Solution

\frac{1}{15} (3 x - 1)^{5} + c

Explained in: Regeln für das unbestimmte Integral

\int x^{2} (x + 1) d x

Solution

\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + c

Explained in: Regeln für das unbestimmte Integral

\int (x + 1) \cdot e^{x} d x

Solution

(x + 1) \cdot e^{x} - (e^{x}) + c = x \cdot e^{x} + c

. Probe:

(x \cdot e^{x})^{'} = e^{x} + x \cdot e^{x} = (x + 1) \cdot e^{x}

✓

Explained in: Partielle Integration

\int x^{2} \cdot sin x d x

Solution

- x^{2} \cdot cos x + 2 x \cdot sin x + 2 cos x + c

Explained in: Partielle Integration

\int x^{3} \cdot ln x d x

Solution

\frac{1}{4} x^{4} \cdot ln x - \frac{1}{16} x^{4} + c

Explained in: Partielle Integration

\int e^{- x} \cdot cos x d x

Solution

\frac{1}{2} e^{- x} \cdot (sin x - cos x) + c

Explained in: Partielle Integration

\int (x^{4} + 1)^{2} \cdot 4 x^{3} d x

Solution

\frac{1}{3} (x^{4} + 1)^{3} + c

. Probe durch Ableiten:

\frac{3}{3} (x^{4} + 1)^{2} \cdot 4 x^{3}

✓

Explained in: Integration durch Substitution

\int cos (e^{x}) \cdot e^{x} d x

Solution

sin (e^{x}) + c

. Probe durch Ableiten:

cos (e^{x}) \cdot e^{x}

✓

Explained in: Integration durch Substitution

\int x \cdot (x^{2} + 4)^{3} d x

Solution

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} (x^{2} + 4)^{4} + c = \frac{1}{8} (x^{2} + 4)^{4} + c

. Probe durch Ableiten:

\frac{4}{8} (x^{2} + 4)^{3} \cdot 2 x = x \cdot (x^{2} + 4)^{3}

✓

Explained in: Integration durch Substitution

\int x \cdot sin (x^{2}) d x

Solution

- \frac{1}{2} cos (x^{2}) + c

. Probe durch Ableiten:

\frac{1}{2} sin (x^{2}) \cdot 2 x

✓

Explained in: Integration durch Substitution

\int \frac{x ^{2}}{( x ^{3} + 1 ) ^{2}} d x

Solution

- \frac{1}{3 ( x ^{3} + 1 )} + c

. Mit

u = x^{3} + 1

und

d x = \frac{d u}{3 x ^{2}}

wird daraus

\frac{1}{3} \int u^{- 2} d u

Explained in: Integration durch Substitution

\int \frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{3} + x} d x

Solution

ln ∣ x^{3} + x ∣ + c

Explained in: Logarithmische Integration

\int \frac{x}{x ^{2} - 9} d x

Solution

\frac{1}{2} ln ∣ x^{2} - 9∣ + c

Explained in: Logarithmische Integration

\int 4 x^{3} \cdot (x^{4} - 2)^{- 1} d x

Solution

ln ∣ x^{4} - 2∣ + c

Explained in: Logarithmische Integration

Braucht

\int \frac{3 x ^{2}}{x ^{3} - 8} d x

den Betrag?

Solution

ln ∣ x^{3} - 8∣ + c

; ja, bei

x = 0

ist

x^{3} - 8 = - 8

Explained in: Logarithmische Integration

\int_{2}^{3} 2 x d x

Solution

F (x) = x^{2}

F (3) = 9

F (2) = 4

, also

[x^{2}]_{2}^{3} = 9 - 4 = 5

Explained in: Das bestimmte Integral

\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos x d x

Solution

F (x) = sin x

F (\frac{π}{2}) = 1

F (0) = 0

, also

[sin x]_{0}^{\frac{π}{2}} = 1 - 0 = 1

Explained in: Das bestimmte Integral

\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) d x

Solution

Nullstellen −1 und 1,

f (0, 5) = - 0, 75

, also unter der x-Achse;

F (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x

F (1) = - \frac{2}{3}

F (0) = 0

, Integral

- \frac{2}{3}

A = \frac{2}{3}

Explained in: Das bestimmte Integral

f (x) = x^{2} - 1

von 0 bis 2

Solution

Nullstelle 1; Teilintegrale

- \frac{2}{3}

und

\frac{4}{3}

;

A = 2

Explained in: Flächenberechnungen

{)

f (x) = x^{2} - 9

Solution

Grenzen

- 3

und 3; Teilintegral

F (3) - F (- 3) = - 36

;

A = 36

Explained in: Flächenberechnungen

f (x) = 5 x

g (x) = x^{2}

Solution

Schnittstellen 0 und 5;

d (x) = 5 x - x^{2}

;

A = \frac{125}{6} \approx 20, 83

Explained in: Flächenberechnungen

})

f (x) = x^{3} + 2 x

g (x) = 3 x^{2}

Solution

Schnittstellen 0, 1 und 2; Teilintegrale

\frac{1}{4}

und

- \frac{1}{4}

;

A = \frac{1}{2}

Explained in: Flächenberechnungen