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Gewinnfunktion und Gewinnmaximum

Die Gewinnfunktion sagt, welcher Gewinn bei einer verkauften Menge entsteht:

G (x) = E (x) - K (x)

Beispiel: Gewinnfunktion aufstellen

Gegeben:

p (x) K (x) = - 2 x + 85 = \frac{1}{3} x^{3} - 11 x^{2} + 130 x + 100

Erlös: E(x) = x · p(x)

E (x) = x \cdot (- 2 x + 85) = - 2 x^{2} + 85 x

Gewinn: G(x) = E(x) − K(x)

G (x) = - 2 x^{2} + 85 x - (\frac{1}{3} x^{3} - 11 x^{2} + 130 x + 100)

G (x) = - 2 x^{2} + 85 x - \frac{1}{3} x^{3} + 11 x^{2} - 130 x - 100

G (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 9 x^{2} - 45 x - 100

Gewinnfunktion: $G (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 9 x^{2} - 45 x - 100$

Gewinnmaximum bestimmen

Bei welcher Menge ist der Gewinn am größten? Und wie groß ist er?

Suchen – notwendige Bedingung: G′(x) = 0

G^{'} (x) 00 x_{1, 2} = - x^{2} + 18 x - 45 = - x^{2} + 18 x - 45 ∣ \cdot (- 1) = x^{2} - 18 x + 45 = 9 \pm 81 - 45 = 9 \pm 6

Zwei Stellen: $x_{1} = 3$ und $x_{2} = 15$

Welche der beiden Stellen ist der Hochpunkt?

Prüfen – hinreichende Bedingung: G″(x) < 0

G^{''} (x) G^{''} (3) G^{''} (15) = - 2 x + 18 = 12 > 0 \Rightarrow Tiefpunkt = - 12 < 0 \Rightarrow Hochpunkt

Gewinn berechnen: G(15)

G (15) = - \frac{1}{3} \cdot 1 5^{3} + 9 \cdot 1 5^{2} - 45 \cdot 15 - 100 = - 1125 + 2025 - 675 - 100 = 125

Vergleichen: der ganze Bereich

Ist 125 GE auch der größte Gewinn für alle Mengen? Der Preis darf nicht negativ werden:

- 2 x + 85 x \geq 0 \leq 42, 5

Zulässiger Bereich: $0 \leq x \leq 42, 5$ . An den Rändern:

G (0) G (42, 5) = - 100 < 0 (E = 0, K > 0)

$G$ fällt bis 3, steigt bis 15 und fällt danach. Nur bei 15 liegt ein Hochpunkt, und 125 ist größer als beide Randwerte.

Gewinnmaximale Menge: 15 ME. Maximaler Gewinn: 125 GE. Hochpunkt $H (15 ∣ 125)$ .

Warum G′(x) = 0?

Die Rechnung hat 3 und 15 geliefert. So hängt $G^{'}$ mit der Steigung von $G$ zusammen:

$G^{'} (x) = 0$ findet die Stellen mit waagerechter Tangente.

Warum G″(x) < 0?

$G^{''}$ ist die Steigung von $G^{'}$ . Am Hochpunkt fällt $G^{'}$ durch null, am Tiefpunkt steigt $G^{'}$ durch null:

Bei 3 ME ist der Verlust in dieser Umgebung am größten: 163 GE.

Hochpunkt bei $x_{0}$ : $G^{'} (x_{0}) = 0$ und $G^{''} (x_{0}) < 0$

Beide Bedingungen gehören zusammen. Bei 18 ist $G^{''}$ auch negativ:

Stelle	$G^{'}$	$G^{''}$
15	0	−12	Hochpunkt
18	−45	−18	Tangente fällt

$G^{''} (x_{0}) = 0$ : Dieser Test entscheidet nicht.

Cournotscher Punkt

Welcher Preis gehört zu 15 ME?

p (15) = - 2 \cdot 15 + 85 = 55

Cournotscher Punkt: $C (15 ∣ 55)$ . Preis: 55 GE/ME.

Preis, Erlös und Gewinn passen zusammen:

E (15) K (15) G (15) = 15 \cdot 55 = 825 = 1125 - 2475 + 1950 + 100 = 700 = 825 - 700 = 125

Schema

Bereich und Gewinnfunktion: zulässigen Mengenbereich festlegen; $E (x) = x \cdot p (x)$ , $G (x) = E (x) - K (x)$ .

Suchen (notwendige Bedingung): $G^{'} (x) = 0$ lösen; die Stellen $x_{0}$ im Bereich behalten.

Prüfen (hinreichende Bedingung): $G^{''} (x_{0}) < 0$ ⇒ Hochpunkt; $G^{''} (x_{0}) > 0$ ⇒ Tiefpunkt; $G^{''} (x_{0}) = 0$ entscheidet nicht.

Vergleichen: Gewinn am Hochpunkt und an den Rändern vergleichen. Der größte Wert ist $G_{m a x}$ , seine Menge $x_{m a x}$ .

Preis: $p (x_{m a x})$ berechnen. $H (x_{m a x} ∣ G_{m a x})$ auf $G$ , $C (x_{m a x} ∣ p (x_{m a x}))$ auf $p$ . Liegt das Maximum am Rand: Punkt auf $G$ , kein $H$ .

Beispiel a)

$p (x) = 6 - x$ , $K (x) = 2 x + 1$ , $0 \leq x \leq 6$

E (x) G (x) = 6 x - x^{2} = - x^{2} + 4 x - 1

Suchen

G^{'} (x) x = - 2 x + 4 = 0 = 2

Prüfen

G^{''} (2) = - 2 < 0

Vergleichen

G (2) G (0) G (6) = - 4 + 8 - 1 = 3 = - 1 = - 13

Preis

p (2) = 4

$H (2 ∣ 3)$ , $C (2 ∣ 4)$

Beispiel b)

$p (x) = 5 - 3 x$ , $K (x) = 3 x + 0, 1$ , $0 \leq x \leq 1$

E (x) G (x) = - 3 x^{2} + 5 x = - 3 x^{2} + 2 x - 0, 1

Suchen

G^{'} (x) x = - 6 x + 2 = 0 = \frac{1}{3}

Prüfen

G^{''} (\frac{1}{3}) = - 6 < 0

Vergleichen

G (\frac{1}{3}) G (0) G (1) = - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} - \frac{1}{10} = \frac{7}{30} = - 0, 1 = - 1, 1

Preis

p (\frac{1}{3}) = 4

$H (\frac{1}{3} ∣ \frac{7}{30})$ , $C (\frac{1}{3} ∣ 4)$

Beispiel c)

$p (x) = 10 - 0, 5 x$ , $K (x) = 2 x + 12$ , $0 \leq x \leq 20$

E (x) G (x) = - 0, 5 x^{2} + 10 x = - 0, 5 x^{2} + 8 x - 12

Suchen

G^{'} (x) x = - x + 8 = 0 = 8

Prüfen

G^{''} (8) = - 1 < 0

Vergleichen

G (8) G (0) G (20) = - 32 + 64 - 12 = 20 = - 12 = - 52

Preis

p (8) = 6

$H (8 ∣ 20)$ , $C (8 ∣ 6)$

Beispiel d)

$p (x) = 25 - x$ , $K (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 40 x + 4$ , $0 \leq x \leq 10$

E (x) G (x) = - x^{2} + 25 x = - x^{3} + 9 x^{2} - 15 x - 4

Suchen

G^{'} (x) 0 x x_{1} = - 3 x^{2} + 18 x - 15 = x^{2} - 6 x + 5 = 3 \pm 2 = 1, x_{2} = 5

Prüfen

G^{''} (x) G^{''} (1) G^{''} (5) = - 6 x + 18 = 12 > 0 = - 12 < 0

Vergleichen

G (5) G (0) G (10) = - 125 + 225 - 75 - 4 = 21 = - 4 = - 254

Preis

p (5) = 20

$H (5 ∣ 21)$ , $C (5 ∣ 20)$

Beispiel e)

$p (x) = 16 - 2 x$ , $K (x) = 4 x + 25$ , $0 \leq x \leq 8$

E (x) G (x) = - 2 x^{2} + 16 x = - 2 x^{2} + 12 x - 25

Suchen

G^{'} (x) x = - 4 x + 12 = 0 = 3

Prüfen

G^{''} (3) = - 4 < 0

Vergleichen

G (3) G (0) G (8) = - 18 + 36 - 25 = - 7 = - 25 = - 57

Preis

p (3) = 10

$H (3 ∣ - 7)$ , $C (3 ∣ 10)$ . Kleinster Verlust im Modell: 7 GE bei 3 ME.

Die fünf Beispiele im Überblick

	$G^{'} (x) = 0$	$G^{''}$	Ergebnis
a	$x = 2$	$- 2$	$H (2 ∣ 3)$ , $C (2 ∣ 4)$
b	$x = \frac{1}{3}$	$- 6$	$H (\frac{1}{3} ∣ \frac{7}{30})$ , $C (\frac{1}{3} ∣ 4)$
c	$x = 8$	$- 1$	$H (8 ∣ 20)$ , $C (8 ∣ 6)$
d	$x = 1$ oder $5$	$- 12$ bei 5	$H (5 ∣ 21)$ , $C (5 ∣ 20)$
e	$x = 3$	$- 4$	$H (3 ∣ - 7)$ , $C (3 ∣ 10)$

Bei begrenzter Menge

$p (x) = 14 - x$ , $K (x) = 4 x + 9$ , $0 \leq x \leq 4$

G (x) = - x^{2} + 10 x - 9

Suchen

G^{'} (x) x = - 2 x + 10 = 0 = 5

5 liegt außerhalb des Bereichs.

Vergleichen

G (0) G (4) = - 9 = - 16 + 40 - 9 = 15

Preis

p (4) = 10

Größter Gewinn: 15 GE bei 4 ME, $P (4 ∣ 15)$ , $C (4 ∣ 10)$ . Der Rand ist optimal, obwohl die Tangente dort steigt: $G^{'} (4) = 2$ .

Übungen

Jetzt ihr

a) Bestimmt die gewinnmaximale Menge, den maximalen Gewinn und den Preis.

G (x) = - 2 x^{2} + 16 x - 6

p (x) = 20 - 2 x

0 \leq x \leq 10

Lösung

Suchen:

G^{'} (x) = - 4 x + 16 = 0

, also

x = 4

. Prüfen:

G^{''} (4) = - 4 < 0

. Vergleichen:

G (4) = 26

G (0) = - 6

G (10) = - 46

. Preis:

p (4) = 12

. Ergebnis:

H (4 ∣ 26)

C (4 ∣ 12)

Jetzt ihr

b) Bestimmt die gewinnmaximale Menge, den maximalen Gewinn und den Preis.

G (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 2

p (x) = 23 - x

0 \leq x \leq 10

Lösung

Suchen:

G^{'} (x) = - x^{2} + 8 x - 7 = 0

, also

x = 4 \pm 3

x_{1} = 1

x_{2} = 7

. Prüfen:

G^{''} (1) = 6 > 0

Tiefpunkt,

G^{''} (7) = - 6 < 0

Hochpunkt. Vergleichen:

G (7) = \frac{92}{3}

G (0) = - 2

G (10) = - \frac{16}{3}

. Preis:

p (7) = 16

. Ergebnis:

H (7 ∣ \frac{92}{3})

C (7 ∣ 16)

Jetzt ihr

c) Bestimmt die gewinnmaximale Menge, den maximalen Gewinn und den Preis.

G (x) = - x^{2} + 12 x - 8

p (x) = 16 - x

0 \leq x \leq 4

Lösung

Suchen:

G^{'} (x) = - 2 x + 12 = 0

, also

x = 6

, außerhalb des Bereichs. Vergleichen:

G (0) = - 8

G (4) = 24

. Preis:

p (4) = 12

. Ergebnis: 24 GE bei 4 ME, Preis 12 GE/ME,

P (4 ∣ 24)

Wirtschaftliche Deutung

G^{'} (x) = E^{'} (x) - K^{'} (x) = 0 \Rightarrow E^{'} (x) = K^{'} (x)

E^{'} (15) K^{'} (15) = - 4 \cdot 15 + 85 = 25 = 1 5^{2} - 22 \cdot 15 + 130 = 25

An dieser Stelle stimmen die momentanen Änderungen von Erlös und Kosten überein.