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Vom Abstand zweier Kurven zum Preis der besten Menge

Gewinnfunktion

Die Gewinnfunktion sagt, welcher Gewinn bei einer verkauften Menge entsteht:

G (x) = E (x) - K (x)

Die Menge $x$ wird in Mengeneinheiten (ME) gemessen. $E (x)$ ist der Erlös, also das Geld aus dem Verkauf dieser Menge. $K (x)$ sind die Kosten für ihre Herstellung. Erlös, Kosten und Gewinn werden in Geldeinheiten (GE) gemessen.

Wie viel Gewinn bleibt bei 12 ME? Und wie viel bei 9 ME?

Liegen die Kosten über dem Erlös, ist der Gewinn negativ. Ein negativer Gewinn ist ein Verlust.

Bei welchen Mengen gibt es weder Gewinn noch Verlust?

Die Gewinnschwelle ist die Menge, ab der ein Gewinn entsteht. Die Gewinngrenze ist die Menge, ab der wieder ein Verlust entsteht.

Beispiel

Ein Unternehmen hat die Kostenfunktion $K (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 11 x^{2} + 130 x + 100$ und die Preis-Absatz-Funktion $p (x) = - 2 x + 85$ . Aus diesen beiden Funktionen stammen die Kurven von oben.

Die Preis-Absatz-Funktion gibt den Preis an, zu dem sich die Menge $x$ verkaufen lässt. Der Preis wird in GE je ME gemessen, kurz GE/ME.

Der Erlös ist Menge mal Preis:

E (x) = x \cdot p (x) = x \cdot (- 2 x + 85) = - 2 x^{2} + 85 x

Vom Erlös gehen die Kosten ab:

G (x) = E (x) - K (x) = (- 2 x^{2} + 85 x) - (\frac{1}{3} x^{3} - 11 x^{2} + 130 x + 100) = - 2 x^{2} + 85 x - \frac{1}{3} x^{3} + 11 x^{2} - 130 x - 100 = - \frac{1}{3} x^{3} + 9 x^{2} - 45 x - 100

Gewinnmaximum bestimmen

G (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 9 x^{2} - 45 x - 100

Bei welcher Menge ist der Gewinn am größten? Und wie groß ist er?

Notwendige Bedingung: G′(x) = 0

Zuerst kommt die notwendige Bedingung, die jeder Hochpunkt erfüllt:

G^{'} (x) - x^{2} + 18 x - 45 x^{2} - 18 x + 45 x_{1, 2} x_{1} = 3, = - x^{2} + 18 x - 45 = 0 ∣ \cdot (- 1) = 0 = 9 \pm 81 - 45 = 9 \pm 6 x_{2} = 15

Welche der beiden Stellen ist der Hochpunkt?

Hinreichende Bedingung: Hochpunkt prüfen

Das entscheidet die hinreichende Bedingung, die einen Hochpunkt sicher bestätigt:

G^{''} (x) G^{''} (3) G^{''} (15) = - 2 x + 18 = - 2 \cdot 3 + 18 = 12 > 0 \Rightarrow Tiefpunkt = - 2 \cdot 15 + 18 = - 12 < 0 \Rightarrow Hochpunkt

Maximalen Gewinn berechnen

G (15) = - \frac{1}{3} \cdot 1 5^{3} + 9 \cdot 1 5^{2} - 45 \cdot 15 - 100 = - 1125 + 2025 - 675 - 100 = 125

Ist das der größte Gewinn überhaupt? Ein Hochpunkt liegt nur höher als die Punkte in seiner Nähe. Darum zählt jetzt der zulässige Bereich, also alle Mengen, die im Modell möglich sind. Die Menge ist nicht negativ. Der Preis ist es auch nicht:

- 2 x + 85 x \geq 0 \leq 42, 5

Zul \overset{a}{¨} ssiger Bereich: 0 \leq x \leq 42, 5

Dann die beiden Ränder:

G (0) p (42, 5) K (42, 5) = - 100 = 0 \Rightarrow E (42, 5) = 0 > 0 \Rightarrow G (42, 5) < 0

Der Gewinn am Hochpunkt ist größer als an beiden Rändern:

125 > - 100, 125 > G (42, 5)

Gewinnmaximale Menge: 15 ME. Maximaler Gewinn: 125 GE.

x_{m a x} G_{m a x} = 15 ME = G (15) = 125 GE

Der Hochpunkt trägt dieselben Zahlen ohne Einheiten:

H (15 ∣ 125)

Warum G′(x) = 0?

Die notwendige Bedingung hat zwei Mengen geliefert:

G^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = 3 oder x = 15

Was misst die Ableitung $G^{'}$ eigentlich, zum Beispiel bei 12 ME?

Die Ableitung $G^{'} (x)$ ist die Steigung der Tangente an den Graphen von G bei der Menge $x$ . Sie wird in GE/ME gemessen.

Wie ändert sich diese Steigung, wenn die Menge wächst?

Vor dem Hochpunkt steigt der Gewinn, danach fällt er. Am Hochpunkt selbst ist die Steigung null.

Wie findet die Rechnung solche Stellen?

- x^{2} + 18 x - 45 = 0

Der Term berechnet die Steigung bei jeder Menge. Die rechte Seite verlangt die Steigung null.

G′(x) = 0 findet die Stellen mit waagerechter Tangente.

Warum G″(x) < 0?

Am Hochpunkt und am Tiefpunkt ist die Tangente waagerecht. Was unterscheidet die beiden Stellen?

Am Hochpunkt gilt: Die Steigung nimmt ab. $G^{''} (15)$ misst diese Abnahme und ist darum negativ. Am Tiefpunkt nimmt die Steigung zu. Darum ist $G^{''} (3)$ positiv.

Der Tiefpunkt hat auch eine wirtschaftliche Bedeutung:

G (3) = - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 9 \cdot 3^{2} - 45 \cdot 3 - 100 = - 9 + 81 - 135 - 100 = - 163

Bei 3 ME ist der Verlust in dieser Umgebung am größten: 163 GE.

T (3 ∣ - 163)

Die Prüfung braucht immer beide Bedingungen zusammen. Dabei ist $x_{0}$ eine der gefundenen Stellen:

Gilt G′(x₀) = 0 und G″(x₀) < 0, dann liegt bei x₀ ein Hochpunkt.

x_{0} = 15 : G^{'} = 0, G^{''} = - 12 \Rightarrow Hochpunkt ✓ x_{0} = 18 : G^{'} = - 45, G^{''} = - 18 \Rightarrow Tangente f \overset{a}{¨} llt

Was geschieht, wenn $G^{''} (x_{0}) = 0$ ist? Zwei reine Formbeispiele zeigen es:

f (x) h (x) = - (x - 2)^{4} = (x - 2)^{3}

Bei beiden sind die erste und die zweite Ableitung bei 2 null.

G″(x₀) = 0: Dieser Test entscheidet nicht.

Dann entscheidet wieder der Wechsel von Steigen zu Fallen.

Cournotscher Punkt

Welcher Preis gehört zu 15 ME?

p (x) p (15) = - 2 x + 85 = - 2 \cdot 15 + 85 = 55

Preis: 55 GE/ME

Cournotscher Punkt: C (15 ∣ 55)

Der Cournotsche Punkt ist der Punkt auf der Preis-Absatz-Funktion, der zur gewinnmaximalen Menge gehört:

C (x_{m a x} ∣ p (x_{m a x}))

Wie hängen der Preis 55 GE/ME und der Gewinn 125 GE zusammen? Bei 15 ME betragen die Kosten $K (15) = 700$ GE.

15 ME \cdot 55 \frac{GE}{ME} 825 GE - 700 GE = 825 GE = 125 GE

Schema

Die ganze Rechnung passt in fünf Schritte. Innere Stellen sind dabei alle Mengen zwischen den Rändern des Bereichs.

1. Bereich und Gewinnfunktion. Zulässigen Mengenbereich festlegen; $E (x) = x \cdot p (x)$ , $G (x) = E (x) - K (x)$ .

2. Suchen. Notwendige Bedingung für innere Extremstellen: $G^{'} (x) = 0$ lösen; zulässige Kandidaten behalten.

3. Prüfen. Kandidaten prüfen: $G^{''} (x_{0}) < 0$ bestätigt bei $G^{'} (x_{0}) = 0$ einen Hochpunkt; $G^{''} (x_{0}) > 0$ einen Tiefpunkt. Bei $G^{''} (x_{0}) = 0$ den Verlauf von $G^{'}$ links und rechts prüfen.

4. Vergleichen. Gewinnwerte der möglichen Maximalstellen und der Ränder vergleichen. Der größte Wert ist $G_{m a x}$ , seine Menge $x_{m a x}$ .

5. Preis. $p (x_{m a x})$ berechnen; $H (x_{m a x} ∣ G_{m a x})$ bei einem inneren Hochpunkt, $C (x_{m a x} ∣ p (x_{m a x}))$ auf der Preis-Absatz-Funktion.

Fünf Beispiele

Dieselben Schritte laufen jetzt an fünf neuen Beispielen. Jedes Mal sind p, K und der Bereich gegeben.

Beispiel a

$p (x) = 6 - x$ , $K (x) = 2 x + 1$ , $0 \leq x \leq 6$

E (x) G (x) = 6 x - x^{2} = - x^{2} + 4 x - 1

Beispiel b

$p (x) = 5 - 3 x$ , $K (x) = 3 x + 0, 1$ . Die Kapazität, also die größte Menge, die der Betrieb herstellen kann, liegt bei 1 ME. Darum gilt $0 \leq x \leq 1$ .

E (x) G (x) = - 3 x^{2} + 5 x = - 3 x^{2} + 2 x - 0, 1

Suchen G^{'} (x) = - 6 x + 2 = 0 \Rightarrow 6 x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{3} Pr \ddot{u} fen G^{''} (x) = - 6, G^{''} (\frac{1}{3}) = - 6 < 0 Vergleichen G (\frac{1}{3}) = - 3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{3} - \frac{1}{10} G (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{10} = \frac{7}{30} G (0) = - \frac{1}{10}, G (1) = - \frac{11}{10} x_{m a x} = \frac{1}{3}, G_{m a x} = \frac{7}{30} Preis p (\frac{1}{3}) = 5 - 1 = 4 H (\frac{1}{3} ∣ \frac{7}{30}), C (\frac{1}{3} ∣ 4)

Beispiel c

$p (x) = 10 - 0, 5 x$ , $K (x) = 2 x + 12$ , $0 \leq x \leq 20$

E (x) G (x) = - 0, 5 x^{2} + 10 x = - 0, 5 x^{2} + 8 x - 12

Suchen G^{'} (x) = - x + 8 = 0 \Rightarrow x = 8 Pr \ddot{u} fen G^{''} (x) = - 1 G^{''} (8) = - 1 < 0 Vergleichen G (8) = - 0, 5 \cdot 64 + 64 - 12 = 20 G (0) = - 12 G (20) = - 200 + 160 - 12 = - 52 x_{m a x} = 8, G_{m a x} = 20 Preis p (8) = 10 - 4 = 6 H (8 ∣ 20), C (8 ∣ 6)

Beispiel d

$p (x) = 25 - x$ , $K (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 40 x + 4$ . Die Kapazität liegt bei 10 ME, also gilt $0 \leq x \leq 10$ .

E (x) G (x) = - x^{2} + 25 x = - x^{3} + 9 x^{2} - 15 x - 4

Suchen G^{'} (x) = - 3 x^{2} + 18 x - 15 - 3 x^{2} + 18 x - 15 = 0 ∣ : (- 3) x^{2} - 6 x + 5 = 0 x_{1, 2} = 3 \pm 9 - 5 = 3 \pm 2 x_{1} = 1, x_{2} = 5 Pr \ddot{u} fen G^{''} (x) = - 6 x + 18 G^{''} (1) = 12 > 0 \Rightarrow Tiefpunkt G^{''} (5) = - 12 < 0 \Rightarrow Hochpunkt Vergleichen G (5) = - 125 + 225 - 75 - 4 = 21 G (0) = - 4 G (10) = - 1000 + 900 - 150 - 4 G (10) = - 254 x_{m a x} = 5, G_{m a x} = 21 Preis p (5) = 25 - 5 = 20 H (5 ∣ 21), C (5 ∣ 20)

Beispiel e

$p (x) = 16 - 2 x$ , $K (x) = 4 x + 25$ , $0 \leq x \leq 8$

E (x) G (x) = - 2 x^{2} + 16 x = - 2 x^{2} + 12 x - 25

Suchen G^{'} (x) = - 4 x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3 Pr \ddot{u} fen G^{''} (x) = - 4, G^{''} (3) = - 4 < 0 Vergleichen G (3) = - 18 + 36 - 25 = - 7 G (0) = - 25 G (8) = - 128 + 96 - 25 = - 57 x_{m a x} = 3, G_{m a x} = - 7

Kleinster Verlust im Modell: 7 GE bei 3 ME

Auch ohne Verkauf fallen die Fixkosten von 25 GE an.

Preis p (3) = 16 - 6 = 10 H (3 ∣ - 7), C (3 ∣ 10)

Alle fünf Rechnungen in einer Tabelle:

	$G^{'} (x) = 0 \to$ Kandidaten	$G^{''}$ am Hochpunkt	$x_{m a x}; G_{m a x}$	$p (x_{m a x}); C$
a: $G (x) = - x^{2} + 4 x - 1$	$- 2 x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2$	$G^{''} (2) = - 2 < 0$	$2$ und $3$	$4$ und $C (2∣4)$
b: $G (x) = - 3 x^{2} + 2 x - 0, 1$	$- 6 x + 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$	$G^{''} (\frac{1}{3}) = - 6 < 0$	$\frac{1}{3}$ und $\frac{7}{30}$	$4$ und $C (\frac{1}{3} ∣4)$
c: $G (x) = - 0, 5 x^{2} + 8 x - 12$	$- x + 8 = 0 \Rightarrow x = 8$	$G^{''} (8) = - 1 < 0$	$8$ und $20$	$6$ und $C (8∣6)$
d: $G (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 15 x - 4$	$- 3 x^{2} + 18 x - 15 = 0 \Rightarrow x = 1$ oder $5$	$G^{''} (5) = - 12 < 0$	$5$ und $21$	$20$ und $C (5∣20)$
e: $G (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 25$	$- 4 x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3$	$G^{''} (3) = - 4 < 0$	$3$ und $- 7$	$10$ und $C (3∣10)$

Bei begrenzter Menge

Oft kann ein Betrieb nur eine begrenzte Menge herstellen. Hier sind es höchstens 4 ME:

G (x) 0 = - x^{2} + 10 x - 9 \leq x \leq 4

G^{'} (x) = - 2 x + 10 = 0 \Rightarrow x = 5

G (0) G (4) = - 9 = - 16 + 40 - 9 = 15

Größter Gewinn: 15 GE bei 4 ME.

Am rechten Rand steigt die Tangente noch:

G^{'} (4) = - 8 + 10 = 2

Der Punkt am Rand ist darum kein Hochpunkt. Er heißt einfach P:

P (4 ∣ 15)

Zu dieser Gewinnfunktion gehören $p (x) = 14 - x$ und $K (x) = 4 x + 9$ :

E (x) p (4) = x \cdot (14 - x) = - x^{2} + 14 x = 14 - 4 = 10

Beste Preis-Mengen-Kombination bei höchstens 4 ME: C(4|10).

Übungen

Bestimmt die gewinnmaximale Menge, den maximalen Gewinn und den zugehörigen Preis im angegebenen Bereich.

a) $G (x) = - 2 x^{2} + 16 x - 6$ , $p (x) = 20 - 2 x$ , $0 \leq x \leq 10$
b) $G (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 2$ , $p (x) = 23 - x$ , $0 \leq x \leq 10$
c) $G (x) = - x^{2} + 12 x - 8$ , $p (x) = 16 - x$ , $0 \leq x \leq 4$

Lösungen

Zu a):

Suchen G^{'} (x) = - 4 x + 16 = 0 \Rightarrow x = 4 Pr \ddot{u} fen G^{''} (x) = - 4, G^{''} (4) = - 4 < 0 Vergleichen G (4) = - 32 + 64 - 6 = 26 G (0) = - 6 G (10) = - 200 + 160 - 6 = - 46 x_{m a x} = 4, G_{m a x} = 26 Preis p (4) = 20 - 8 = 12 H (4 ∣ 26), C (4 ∣ 12)

Zu b):

Suchen G^{'} (x) = - x^{2} + 8 x - 7 = 0 ∣ \cdot (- 1) x^{2} - 8 x + 7 = 0 x_{1, 2} = 4 \pm 16 - 7 = 4 \pm 3 x_{1} = 1, x_{2} = 7 Pr \ddot{u} fen G^{''} (x) = - 2 x + 8 G^{''} (1) = 6 > 0 \Rightarrow Tiefpunkt G^{''} (7) = - 6 < 0 \Rightarrow Hochpunkt Vergleichen G (7) = - \frac{343}{3} + 196 - 49 - 2 G (7) = \frac{92}{3} G (0) = - 2 G (10) = - \frac{1000}{3} + 400 - 70 - 2 G (10) = - \frac{16}{3} x_{m a x} = 7, G_{m a x} = \frac{92}{3} Preis p (7) = 23 - 7 = 16 H (7 ∣ \frac{92}{3}), C (7 ∣ 16)

Zu c):

Suchen G^{'} (x) = - 2 x + 12 = 0 \Rightarrow x = 6 6 \in / [0; 4] außerhalb des Bereichs Vergleichen G (0) = - 8 G (4) = - 16 + 48 - 8 = 24 x_{m a x} = 4, G_{m a x} = 24 Preis p (4) = 16 - 4 = 12

24 GE bei 4 ME, zugehöriger Preis 12 GE/ME.

Wirtschaftliche Deutung

Aus $G (x) = E (x) - K (x)$ folgt $G^{'} (x) = E^{'} (x) - K^{'} (x)$ . Die notwendige Bedingung lässt sich darum auch so schreiben:

G^{'} (x) E^{'} (x) - K^{'} (x) E^{'} (x) = 0 = 0 = K^{'} (x)

Im Beispiel bei 15 ME:

E (x) E^{'} (x) E^{'} (15) K (x) K^{'} (x) K^{'} (15) = - 2 x^{2} + 85 x = - 4 x + 85 = - 4 \cdot 15 + 85 = 25 = \frac{1}{3} x^{3} - 11 x^{2} + 130 x + 100 = x^{2} - 22 x + 130 = 1 5^{2} - 22 \cdot 15 + 130 = 25

Die Ableitung $E^{'}$ heißt Grenzerlös. Die Ableitung $K^{'}$ heißt Grenzkosten.

An dieser Stelle stimmen die momentanen Änderungen von Erlös und Kosten überein.

$E^{'} (x) = K^{'} (x)$ ist nur eine andere Form der notwendigen Bedingung. Ob ein Hochpunkt vorliegt, entscheidet weiter $G^{''}$ .