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[m3 IR 4 20:59] Kosten + Erlös

Eine Werkstatt näht T-Shirts.

Der Chef rechnet mit einer festen Zahl je Stück.

Zwanzig Stück mehr kosten ihn immer gleich viel und bringen immer gleich viel ein.

Die Buchhaltung misst nach und findet jedes Mal andere Zahlen.

Warum steht die Menge x in den Kosten und im Erlös?

x ist die Menge, die die Werkstatt an einem Tag näht.

K(x) sind die Kosten für x Stück am Tag.

K (x) = 0, 002 x^{3} - 0, 15 x^{2} + 10 x + 200

Miete und Maschinen laufen, bevor ein Shirt genäht ist.

Dieser Betrag steht am Ende von K(x).

Die Fixkosten Kf sind 200 Euro.

Jede Menge in K(x) eingesetzt:

$x$	$K (x)$
$0$	$200$
$20$	$356$
$40$	$488$
$60$	$692$
$80$	$1064$
$100$	$1700$

Der Kostenzuwachs ist, was die nächsten zwanzig Stück zusätzlich kosten.

Der Kostenzuwachs schrumpft erst und wächst dann wieder.

Schritt	Kostenzuwachs
$0 \to 20$	$156$
$20 \to 40$	$132$
$40 \to 60$	$204$
$60 \to 80$	$372$
$80 \to 100$	$636$

a) $K (20) - K (0) = 356 - 200 = 156$
b) $K (40) - K (20) = 488 - 356 = 132$
c) $K (60) - K (40) = 692 - 488 = 204$
d) $K (80) - K (60) = 1064 - 692 = 372$
e) $K (100) - K (80) = 1700 - 1064 = 636$

Die Reihe hat zwei Teile.

Degressiv heißt: jedes weitere Stück kostet weniger als das davor.

Progressiv heißt: jedes weitere Stück kostet mehr als das davor.

Merken: Eine Kostenfunktion mit diesen zwei Teilen heißt ertragsgesetzlich.

Merken: Der Kostenzuwachs schrumpft erst und wächst dann wieder. Die Kosten selbst steigen immer.

p(x) ist der Preis, den der Markt bei der Menge x zahlt.

p (x) = 60 - 0, 5 x

$x$	$p (x)$
$0$	$60$
$20$	$50$
$40$	$40$
$60$	$30$
$80$	$20$
$100$	$10$

Aus dem Vorkapitel kennt ihr den Preis zu jeder Menge.

Der Markt zahlt für die größere Menge weniger je Stück.

E(x) ist das Geld, das für x Stück hereinkommt.

Herleitung:

Der Preis je Stück hängt selbst von der Menge ab.

E (x) = p (x) \cdot x

E (x) = (60 - 0, 5 x) \cdot x

E (x) = - 0, 5 x^{2} + 60 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 5 x^{2} + 60 x$

Jede Menge in E(x) eingesetzt:

$x$	$E (x)$
$0$	$0$
$20$	$1000$
$40$	$1600$
$60$	$1800$
$80$	$1600$
$100$	$1000$

Schema

a)p(x) hinschreiben
b)E(x) als p(x) mal x aufstellen
c)die Klammer ausmultiplizieren
d)die gesuchte Menge in E(x) einsetzen

Der Erlöszuwachs ist, was die nächsten zwanzig Stück zusätzlich einbringen.

Der Erlöszuwachs wird in jedem Schritt kleiner und kippt ins Minus.

a) $E (20) - E (0) = 1000 - 0 = 1000$
b) $E (40) - E (20) = 1600 - 1000 = 600$
c) $E (60) - E (40) = 1800 - 1600 = 200$
d) $E (80) - E (60) = 1600 - 1800 = - 200$
e) $E (100) - E (80) = 1000 - 1600 = - 600$

Ab der Mitte steht dort ein Minus.

Merken: Mehr Verkauf bringt dann weniger Geld herein.

E (x) = - 0, 5 x^{2} + 60 x

Schritt	Kostenzuwachs	Erlöszuwachs
$0 \to 20$	$156$	$1000$
$40 \to 60$	$204$	$200$
$80 \to 100$	$636$	$- 600$

Beim Kostenzuwachs steht nie ein Minus.

Beim Erlöszuwachs steht am Ende ein Minus.

Der Chef wollte eine feste Zahl je Stück.

Beide Reihen zeigen in jedem Schritt eine andere Zahl.

In K(x) und in E(x) steht die Menge x.

Merken: Der Betrag je Stück hängt selbst von der Menge x ab.

Jetzt ihr

Ein Betrieb hat

p (x) = 40 - 0, 25 x

. Stellt E(x) auf und rechnet E(40) aus.

Lösung

E (x) = (40 - 0, 25 x) \cdot x

E (x) = - 0, 25 x^{2} + 40 x

E (40) = 1200