[M4 g9 v1] Gewinnfunktion und Gewinnschwelle

Ein Betrieb stellt Fahrradlampen her. Ab welcher Menge macht er Gewinn?

Mengen zählt ihr in ME (Mengeneinheiten, zum Beispiel je 100 Lampen), Geld in GE (Geldeinheiten). Die Menge in ME heißt $x$.

- Preis: 10 GE je ME. So viel bekommt der Betrieb für jede verkaufte ME. - Erlös, das Geld aus dem Verkauf: $E(x)=10x$. - Kosten: $K(x)=4x+30$, also 30 GE Fixkosten, die immer anfallen, und 4 GE variable Kosten für jede ME.

Im Bild lest ihr die 5 ME ab. Ausrechnen könnt ihr sie in drei Schritten:

1. den Gewinn bei einer Menge berechnen, 2. daraus die Gewinnfunktion $G(x)$ aufstellen, 3. $G(x)=0$ lösen.

Schritt 1: Den Gewinn bei einer Menge berechnen

Schritt 2: Die Gewinnfunktion aufstellen

Das ist die Gewinnfunktion: $G(x)=E(x)-K(x)$. Bei den Lampen ist $G(x)=6x-30$. Was bedeuten die beiden Zahlen?

Probe mit den Gewinnen aus Schritt 1: $G(8)=6\cdot 8-30=18$ und $G(3)=6\cdot 3-30=-12$.

Schritt 3: Die Gewinnschwelle berechnen

An der Gewinnschwelle ist der Gewinn null. Von jeder ME bleiben 6 GE, und die 30 GE Fixkosten sollen bezahlt sein. Wie viele ME braucht der Betrieb dafür? Ihr setzt $G(x)=0$:

- „$|+30$“: Auf beiden Seiten wird 30 addiert. - „$|:6$“: Beide Seiten werden durch 6 geteilt. So viele Stufen zu 6 GE bezahlen die 30 GE.

Ergebnis: Gewinnschwelle 5 ME.

Das ist die Menge aus dem Bild ganz oben. Dort lag sie zwischen den beiden Pfeilen aus Schritt 1:

Die Gewinnschwelle ist die Menge, bei der der Verlust in Gewinn übergeht. Dort ist $G(x)=0$, und Erlös und Kosten sind gleich.

Die Klammer beim Aufstellen ist wichtig. Ohne sie kommt eine negative Menge heraus:

Eine Menge kann nicht negativ sein. Kommt $x$ negativ heraus, prüft zuerst die Klammer.

Die Gewinnschwelle im Bild

Die Gewinnschwelle ist ausgerechnet. Wo liegt sie im Graphen von $G$?

Warum genau 5 ME?

Zwei Verwechslungen

So bestimmt ihr die Gewinnschwelle

In $G(x)=6x-30$ stecken die Zahlen der Lampen. Allgemein heißen sie so:

Schritt 1, der Gewinn bei einer Menge, war nur der Weg zur Gewinnfunktion. In einer Aufgabe genügen die Schritte 2 und 3, dazu die Probe:

- Schritt 2: Gewinnfunktion aufstellen, $G(x)=E(x)-K(x)$, die Kosten in Klammern. - Schritt 3: $G(x)=0$ setzen und nach $x$ auflösen. Die Antwort ist eine Menge in ME. - Probe: Dort ist $E(x)=K(x)$.

Andere Namen für die Gewinnschwelle sind Nutzenschwelle und Break-even-Point.

Beispiele

Jedes Beispiel ändert etwas gegenüber den Lampen.

a) Andere Zahlen: Preis 12 GE je ME, $K(x)=7x+40$

Der Erlös ist $E(x)=12x$.

Probe: $E(8)=96$ und $K(8)=56+40=96$. Gewinnschwelle 8 ME.

b) Die Schwelle ist keine ganze Zahl: Preis 15 GE je ME, $K(x)=7x+60$

Probe: $E(7,5)=112,5$ und $K(7,5)=52,5+60=112,5$. Gewinnschwelle 7,5 ME. Eine ME sind hier viele Stück, zum Beispiel 100 Lampen. 7,5 ME sind dann 750 Lampen.

c) Doppelte Fixkosten: die Lampen mit $K(x)=4x+60$

Probe: $E(10)=100$ und $K(10)=40+60=100$. Gewinnschwelle 10 ME. Von jeder ME bleiben wieder 6 GE, aber jetzt müssen sie 60 GE bezahlen. Dafür braucht der Betrieb doppelt so viele Stufen zu 6 GE.

d) Preis gleich variable Kosten: Preis 4 GE je ME, $K(x)=4x+30$

$G(x)=-30$ ist bei jeder Menge negativ und nie 0. Von jeder ME bleibt nichts übrig, die Fixkosten werden nie bezahlt. Keine Gewinnschwelle.

e) Preis kleiner als variable Kosten: Preis 3 GE je ME, $K(x)=4x+30$

„$|\cdot (-1)$“ heißt: Beide Seiten werden mit $-1$ malgenommen. Die Klammer stimmt hier, und trotzdem ist die Menge negativ. Von jeder ME bleiben $3-4=-1$ GE: Jede ME macht den Verlust größer. Keine Gewinnschwelle.

Eine negative Menge hat also zwei mögliche Gründe:

- Die Klammer fehlt. Dann rechnet ihr neu. - Der Preis ist kleiner als die variablen Kosten je ME. Dann gibt es keine Gewinnschwelle.

Aufgaben

So stehen die Aufgaben in der Prüfung. „Ermitteln Sie die Gewinnfunktion“ heißt: Stellt $G(x)$ auf. „Bestimmen Sie die Gewinnschwelle“ heißt: Löst $G(x)=0$.