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[M4 m2 v1 A2] 2.2 Terme umformen

$3 (x + 4)$ und $3 x + 12$ sind zwei Terme: Rechenausdrücke mit Zahlen und einer Variable $x$ , einem Buchstaben für eine Zahl. $3 x$ heißt $3 \cdot x$ , und $3 (x + 4)$ heißt $3 \cdot (x + 4)$ : Der Malpunkt fehlt oft. Man rechnet zuerst die Klammer, dann Punkt vor Strich.

Setzt man für $x$ eine Zahl ein, bekommt jeder Term einen Wert.

Für jede Zahl kommt bei beiden dasselbe heraus. Die Terme sind gleich, nur in anderer Gestalt.

Umformen: neue Gestalt, gleicher Wert.

Probe: eine Zahl einsetzen, beide Werte vergleichen.

Wie verwandelt man die eine Gestalt in die andere? Fünf Wege:

1. zusammenfassen 2. ausmultiplizieren 3. ausklammern 4. kürzen 5. Brüche addieren

Fassen Sie zusammen

Die Teile eines Terms zwischen $+$ und $-$ heißen Glieder; das Zeichen davor gehört zum Glied. $3 x + 5 x$ hat zwei Glieder. Jedes $x$ ist ein Stück derselben Sorte:

Darf man auch $x$ und $x^{2}$ zusammenfassen? $x^{2}$ heißt $x \cdot x$ ; die kleine $2$ heißt Exponent, $x^{2}$ eine Potenz.

$x$ und $x^{2}$ sind verschiedene Sorten. Darum bleibt $x + x^{2}$ so stehen.

Zusammenfassen darf man nur Glieder mit derselben Variable und demselben Exponenten. Man rechnet die Zahlen davor zusammen, mit ihrem Vorzeichen, dem $+$ oder $-$ davor. Steht keine Zahl davor, ist es eine $1$ . Zahlen ohne Variable sind auch eine Sorte:

2 x + 7 + 4 x - 3 = 2 x + 4 x + 7 - 3 = 6 x + 4

Probe mit $x = 1$ : $2 + 7 + 4 - 3 = 10$ und $6 + 4 = 10$ .

$ab$ heißt $a \cdot b$ , wie $3 x$ .

Term	zusammengefasst
$4 a^{2} - 1 a^{2}$	$3 a^{2}$
$5 ab - 2 ab$	$3 ab$
$3 x + 5 y$	bleibt so
$x \cdot x$	$x^{2}$ , nicht $2 x$

Multiplizieren Sie aus

$3 (x + 4)$ ist die Fläche des ganzen Rechtecks, $3 x + 12$ die Summe seiner Teile.

Probe mit $x = 2$ : $3 \cdot (2 + 4) = 3 \cdot 6 = 18$ und $3 \cdot 2 + 12 = 18$ .

Die Zahl vor der Klammer ist ein Faktor: Sie wird malgenommen, und zwar mit jedem Glied in der Klammer. In der Regel steht $k$ für den Faktor, $m$ und $n$ für die Glieder.

Falsch ist $3 (x + 4) = 3 x + 4$ : Die $4$ hat den Faktor nicht bekommen. Mit $x = 1$ : $3 \cdot 5 = 15$ , aber $3 + 4 = 7$ .

Term	ausmultipliziert
$2 (5 x - 3)$	$10 x - 6$
$x (x + 3)$	$x^{2} + 3 x$

Minus vor der Klammer

Ein Minus vor der Klammer ist der Faktor $- 1$ . Für ihn gilt:

- Minus mal Plus gibt Minus: $(- 1) \cdot 2 x = - 2 x$ . - Minus mal Minus gibt Plus: $(- 1) \cdot (- 4) = + 4$ .

Probe mit $x = 1$ : $5 - (2 - 4) = 5 - (- 2) = 7$ und $3 + 4 = 7$ .

Jedes Vorzeichen in der Klammer kehrt sich um.

Term	ausmultipliziert
$10 - (x + 3)$	$7 - x$
$- 4 (x - 2)$	$- 4 x + 8$
$a + (b - c)$	$a + b - c$

Probe für die erste Zeile mit $x = 1$ : $10 - (1 + 3) = 6$ und $7 - 1 = 6$ .

Zwei Klammern

Ein Rechteck hat jetzt zwei geteilte Seiten, $x + 2$ und $x + 5$ . Jedes Glied der einen Seite wird mit jedem Glied der anderen multipliziert:

Probe mit $x = 1$ : $(1 + 2) (1 + 5) = 3 \cdot 6 = 18$ und $1 + 7 + 10 = 18$ .

Binomische Formeln

Eine Klammer mit zwei Gliedern heißt Binom, etwa $x + 3$ . $(x + 3)^{2}$ heißt $(x + 3) \cdot (x + 3)$ : Beide Seiten sind gleich, das Rechteck ist ein Quadrat.

Die zwei gleichen Glieder in der Mitte heißen Mittelglieder.

Probe mit $x = 1$ : $(1 + 3)^{2} = 16$ und $1 + 6 + 9 = 16$ .

Falsch ist $(x + 3)^{2} = x^{2} + 9$ : Die Mittelglieder fehlen. Mit $x = 1$ : $16$ , aber $1 + 9 = 10$ .

Mit Minus in der Klammer rechnet man im selben Schema aus vier Feldern, jedes Glied mit jedem. Die Felder sind hier nur ein Rechenschema, keine Flächen: Eine Länge $- 5$ gibt es nicht.

Probe mit $x = 1$ : $(1 - 5)^{2} = (- 4)^{2} = 16$ und $1 - 10 + 25 = 16$ .

Bei $(x + 4) (x - 4)$ heben sich die Mittelglieder auf:

Probe mit $x = 5$ : $(5 + 4) (5 - 4) = 9 \cdot 1 = 9$ und $25 - 16 = 9$ .

Die drei Fälle, darunter jeweils allgemein. Statt $x$ steht $a$ , statt $3$ , $5$ oder $4$ steht $b$ . Jedes Mittelglied ist $a \cdot b$ , zusammen $2 ab$ ; bei $(a + b) (a - b)$ heben sie sich auf.

(x + 3)^{2} (a + b)^{2} = x^{2} + 6 x + 9 = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(x - 5)^{2} (a - b)^{2} = x^{2} - 10 x + 25 = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(x + 4) (x - 4) (a + b) (a - b) = x^{2} - 16 = a^{2} - b^{2}

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$ und $10 x = 2 \cdot x \cdot 5$ . Das sind die drei binomischen Formeln:

(a + b)^{2} (a - b)^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} + 2 ab + b^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} = a^{2} - b^{2}

Auch $a$ kann ein Term sein. Bei $(2 x + 1)^{2}$ ist $a = 2 x$ und $b = 1$ :

a^{2} 2 ab b^{2} = (2 x)^{2} = 4 x^{2} = 2 \cdot 2 x \cdot 1 = 4 x = 1

Also $(2 x + 1)^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1$ . Probe mit $x = 1$ : $3^{2} = 9$ und $4 + 4 + 1 = 9$ .

Klammern Sie aus

Das ist der Rückweg vom Ausmultiplizieren: Ein Faktor, der in jedem Glied steckt, kommt vor die Klammer.

Probe: wieder ausmultiplizieren. $3 (2 x + 5) = 6 x + 15$ .

Auch eine Variable kann der Faktor sein:

x^{2} + 4 x = x \cdot x + 4 \cdot x = x (x + 4)

Man klammert den größten Faktor aus, der in allen Gliedern steckt. $x^{3}$ heißt $x \cdot x \cdot x$ . In $2 x^{3} - 6 x^{2}$ steckt in beiden Gliedern $2 x^{2}$ :

2 x^{3} 6 x^{2} = 2 x^{2} \cdot x = 2 x^{2} \cdot 3

Also $2 x^{3} - 6 x^{2} = 2 x^{2} (x - 3)$ . $2 (x^{3} - 3 x^{2})$ stimmt auch, ist aber nicht fertig: In der Klammer steckt noch $x^{2}$ .

Term	ausgeklammert
$10 a - 15$	$5 (2 a - 3)$
$4 x^{2} + 2 x$	$2 x (2 x + 1)$

Kürzen Sie

Steckt ein Faktor oben und unten in einem Bruch, darf man ihn streichen. Das heißt kürzen.

Gekürzt wird nur ein Faktor, der im ganzen Zähler und im ganzen Nenner steckt. Steht im Zähler eine Summe, also Glieder mit $+$ , klammert man zuerst aus:

\frac{x ^{2} + 3 x}{x} = \frac{x ( x + 3 )}{x} = x + 3

Das gilt nur für $x \neq = 0$ ( $\neq =$ heißt „ungleich“), denn durch $0$ kann man nicht teilen.

Falsch ist $\frac{x + 3}{3} = x$ : Die $3$ oben ist ein Glied, kein Faktor. Mit $x = 3$ : $\frac{6}{3} = 2$ , aber nicht $3$ .

Addieren Sie die Brüche

Brüche mit demselben Nenner addiert man so: Zähler addieren, der Nenner bleibt.

\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

Haben die Nenner verschiedene Werte, macht man sie erst gleich. Dazu nimmt man Zähler und Nenner mit derselben Zahl mal; der Wert bleibt. Das heißt erweitern:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

$6$ ist der gemeinsame Nenner von $2$ und $3$ .

Für $\frac{1}{x}$ und $\frac{2}{3}$ ist der gemeinsame Nenner $3 x$ , denn darin stecken $x$ und $3$ :

$\frac{3}{3 x}$ kürzt man hier nicht, sonst ist der gemeinsame Nenner wieder weg.

Probe mit $x = 3$ : $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$ und $\frac{3 + 6}{9} = 1$ .

Allgemein, hier mit $a = 1$ , $b = x$ , $c = 2$ , $d = 3$ :

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}

Term	addiert
$\frac{1}{x} + \frac{1}{2}$	$\frac{2 + x}{2 x}$
$\frac{3}{x} - \frac{1}{4}$	$\frac{12 - x}{4 x}$

Probe für die zweite Zeile mit $x = 4$ : $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ und $\frac{12 - 4}{16} = \frac{1}{2}$ .

Zähler und Nenner addiert man nicht getrennt: $\frac{1}{x} + \frac{2}{3}$ ist nicht $\frac{3}{x + 3}$ . Mit $x = 3$ : $1$ , aber $\frac{1}{2}$ .

Überblick

Jede Umformung ändert die Gestalt, nicht den Wert:

1. zusammenfassen: $3 x + 5 x = 8 x$ 2. ausmultiplizieren: $3 (x + 4) = 3 x + 12$ - Minus vor der Klammer: $- (x - 4) = - x + 4$ - binomische Formel: $(x + 3)^{2}$ wird $x^{2} + 6 x + 9$ 3. ausklammern: $6 x + 15 = 3 (2 x + 5)$ 4. kürzen: $\frac{6 x}{3} = 2 x$ 5. Brüche addieren: $\frac{1}{x} + \frac{2}{3}$ wird $\frac{3 + 2 x}{3 x}$

Ob eine Umformung stimmt, prüft man immer gleich: eine Zahl einsetzen. Beide Gestalten müssen denselben Wert haben.