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[Diff] Kostenfunktionen: linear und ertragsgesetzlich

1 Was jede weitere Mengeneinheit kostet

Linear: Jede weitere ME kostet gleich viel

Bei einer linearen Kostenfunktion kostet jede weitere Mengeneinheit gleich viel. Zum Beispiel zahlt eine Werkstatt 100 GE Miete im Monat, und jedes Stück braucht Material für 4 GE:

K (x) = 4 x + 100

$x$ in ME	0	1	2	3
$K (x)$ in GE	100	104	108	112
Zuwachs in GE		+4	+4	+4

30 ME kosten zusammen $K (30) = 4 \cdot 30 + 100 = 220$ GE.

Der Graph ist eine Gerade:

K (x) = Steigung 4 x + Achsenabschnitt 100

- Steigung 4: Jede weitere ME kostet 4 GE. Das sind die Grenzkosten, $K^{'} (x) = 4$ GE je ME. - Achsenabschnitt $100 = K (0)$ : Das sind die Fixkosten $K_{f}$ . Die Miete fällt auch an, wenn die Werkstatt nichts herstellt.

Lineare Kostenfunktion mit Fixkosten und variablen Kosten

Ertragsgesetzlich: Jede weitere ME kostet erst weniger, dann mehr

Bei einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion kostet jede weitere ME erst weniger und dann mehr. Zum Beispiel hat ein Betrieb eine Halle mit drei Maschinen und diese Kosten:

K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 32

$x$ in ME	0	1	2	3	4	5	6
$K (x)$ in GE	32	42	46	50	60	82	122
Zuwachs in GE		+10	+4	+4	+10	+22	+40

Die dritte ME kostet 4 GE zusätzlich, die sechste 40 GE. Woher kommt das?

Halle und Maschinen sind fest.

- Für die ersten ME ist die Halle schlecht genutzt. Wenige Leute machen alles selbst und laufen von Maschine zu Maschine. - Mit mehr Menge teilen sich die Leute die Arbeit, und alle drei Maschinen laufen. Jede weitere ME braucht wenig zusätzliche Arbeit. - Bei großer Menge sind die Maschinen voll. Jede weitere ME braucht Überstunden, und Überstunden kosten mehr Lohn.

Das ist das Ertragsgesetz: In einer festen Halle bringt jede weitere Arbeitsstunde erst immer mehr Ertrag (fertige Ware), später immer weniger. Darum heißen Kostenfunktionen mit diesem Verlauf ertragsgesetzlich.

Den Typ erkennt ihr am Zuwachs:

Typ	Term	jede weitere ME kostet	Graph
linear	$4 x + 100$	gleich viel: +4, +4, +4, …	Gerade
ertragsgesetzlich	$x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 32$	erst weniger, dann mehr: +10, +4, +4, +10, +22, …	S-förmige Kurve

Degressiv und progressiv: Das Tempo wechselt

Die Kosten steigen bei jeder weiteren ME. Nur ihr Tempo wechselt. Das Tempo an einer Stelle ist die Steigung der Kurve dort, also die Grenzkosten $K^{'} (x)$ :

K^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 15

$x$ in ME	0	1	2	3	4	5	6
$K^{'} (x)$ in GE je ME	15	6	3	6	15	30	51

- Degressiver Kostenanstieg (degressiv: der Zuwachs wird kleiner) von 0 bis 2 ME: $K^{'}$ fällt, die Kosten steigen immer langsamer. $K$ ist rechtsgekrümmt. - Progressiver Kostenanstieg (progressiv: der Zuwachs wird größer) ab 2 ME: $K^{'}$ steigt, die Kosten steigen immer schneller. $K$ ist linksgekrümmt. - Kostenkehre bei 2 ME: Hier kehrt nur das Tempo um. Die Kosten steigen weiter: $K (1) = 42$ , $K (2) = 46$ , $K (3) = 50$ .

Merken: Kostenkehre = Wendestelle von $K$ = Tiefpunkt von $K^{'}$ . Dort sind die Grenzkosten am kleinsten.

Die Kostenkehre berechnen

Beide Namen führen auf dieselbe Gleichung:

Tiefpunkt von K^{'} : (K^{'})^{'} (x) = K^{''} (x) = 0 Wendestelle von K : K^{''} (x) = 0

Beispiel: $K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 32$

K^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 15 K^{''} (x) = 6 x - 12 K^{'''} (x) = 6

Notwendige Bedingung $K^{''} (x) = 0$ :

6 x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2

Hinreichende Bedingung: $K^{'''} (2) = 6 \neq = 0$ ✓

K (2) = 8 - 24 + 30 + 32 = 46 \Rightarrow W (2 ∣ 46)

K^{'} (2) = 12 - 24 + 15 = 3

> Kostenkehre bei 2 ME, Wendepunkt $W (2 ∣ 46)$ . Kleinste Grenzkosten: 3 GE je ME.

In der Tabelle von $K^{'}$ ist 3 der kleinste Wert.

Schema: Kostenkehre

Das eben Gerechnete, allgemein:

1. $K^{'} (x)$ , $K^{''} (x)$ und $K^{'''} (x)$ bilden. 2. Notwendige Bedingung: $K^{''} (x) = 0$ lösen. 3. Hinreichende Bedingung: $K^{'''} (x) \neq = 0$ prüfen. 4. $K (x)$ an dieser Stelle ausrechnen, Wendepunkt $W (x ∣ K (x))$ angeben. 5. Kleinste Grenzkosten: $K^{'} (x)$ an derselben Stelle.

Beispiele: Kostenkehre

	$K (x)$	$K^{''} (x) = 0$	$K^{'''} (x)$	Kostenkehre	Wendepunkt	kleinste Grenzkosten
A)	$x^{3} - 9 x^{2} + 30 x + 50$	$6 x - 18 = 0$	$6 \neq = 0$	$x = 3$	$K (3) = 27 - 81 + 90 + 50 = 86$ , $W (3 ∣ 86)$	$K^{'} (3) = 27 - 54 + 30 = 3$
B)	$2 x^{3} - 6 x^{2} + 10 x + 40$	$12 x - 12 = 0$	$12 \neq = 0$	$x = 1$	$K (1) = 2 - 6 + 10 + 40 = 46$ , $W (1 ∣ 46)$	$K^{'} (1) = 6 - 12 + 10 = 4$
C)	$0, 5 x^{3} - 6 x^{2} + 30 x + 128$	$3 x - 12 = 0$	$3 \neq = 0$	$x = 4$	$K (4) = 32 - 96 + 120 + 128 = 184$ , $W (4 ∣ 184)$	$K^{'} (4) = 24 - 48 + 30 = 6$
D)	$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 10$	$6 x - 6 = 0$	$6 \neq = 0$	$x = 1$	$K (1) = 1 - 3 + 4 + 10 = 12$ , $W (1 ∣ 12)$	$K^{'} (1) = 3 - 6 + 4 = 1$

Jetzt ihr

K (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 50 x + 98

Lösung

K^{''} (x) = 6 x - 24 = 0

x = 4

K^{'''} (4) = 6 \neq = 0

W (4 ∣ 170)

, kleinste Grenzkosten

K^{'} (4) = 2

GE je ME

Grenzkosten deuten

Was bedeutet $K^{'} (5) = 30$ ? An der Stelle 5 stehen zwei verschiedene Zahlen:

	Einheit	Bedeutung	im Bild
$K (5) = 82$	GE	So viel kosten 5 ME zusammen.	Höhe der Kurve
$K^{'} (5) = 30$	GE je ME	So schnell wachsen die Kosten bei 5 ME.	Steigung der Kurve

Die sechste ME kostet also ungefähr 30 GE zusätzlich. Genau sind es $K (6) - K (5) = 122 - 82 = 40$ GE, denn die Tangente ist gerade und die Kurve biegt sich nach oben weg:

Grenzkosten als Tangentensteigung bei x = 5

K^{'} (5) = 30 GE je ME K (6) - K (5) = 40 GE

K^{'} (2) = 3 GE je ME K (3) - K (2) = 4 GE

An der Kostenkehre ist die Kurve fast gerade. Dort passt die Näherung gut.

Merken: $K^{'} (x)$ ist ein Tempo in GE je ME. Es sagt ungefähr, was die nächste ME zusätzlich kostet.

Nicht jeder kubische Term passt

Drei kubische Terme, die sich nur in einer Zahl unterscheiden:

	$K (x)$	$K (0)$	$K (1)$	$K (2)$	$K (3)$	Zuwachs	Urteil
A)	$x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 32$	32	42	46	50	+10, +4, +4	ertragsgesetzliche Kostenfunktion ✓
B)	$x^{3} - 6 x^{2} + 10 x + 32$	32	37	36	35	+5, −1, −1	keine Kostenfunktion ✗
C)	$x^{3} + 6 x^{2} + 15 x + 32$	32	54	94	158	+22, +40, +64	Kostenfunktion, aber nicht ertragsgesetzlich ✗

Bei B wären drei ME billiger als eine. Das kann nicht sein, denn jede weitere ME kostet etwas. Kosten müssen überall steigen: $K^{'} (x) > 0$ .

Bei C steigen die Kosten überall, aber nur immer schneller. Der degressive Teil fehlt.

Die Kostenkehre, der Tiefpunkt von $K^{'}$ , zeigt beides:

	$K^{'} (x)$	$K^{''} (x) = 0$	Tiefpunkt von $K^{'}$
A)	$3 x^{2} - 12 x + 15$	$6 x - 12 = 0$ , $x = 2$	$(2 ∣ 3)$	rechts von 0 und über der x-Achse ✓
B)	$3 x^{2} - 12 x + 10$	$6 x - 12 = 0$ , $x = 2$	$(2 ∣ - 2)$	unter der x-Achse: $K$ fällt ✗
C)	$3 x^{2} + 12 x + 15$	$6 x + 12 = 0$ , $x = - 2$	$(- 2 ∣ 3)$	links von 0: kein degressiver Teil ✗

Drei kubische Terme A, B, C und ihre Ableitungen

Zu prüfen sind also zwei Dinge: Die Kostenkehre liegt bei einer positiven Menge, und $K^{'}$ ist dort positiv.

Herleitung: die zwei Prüfungen allgemein

Links steht die Rechnung für A, rechts dieselbe Rechnung mit Buchstaben:

	Beispiel A	allgemein
Kostenfunktion	$K (x) = 1 x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 32$	$K (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$
Ableitungen	$K^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 15$	$K^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$
	$K^{''} (x) = 6 x - 12$	$K^{''} (x) = 6 a x + 2 b$
Kostenkehre	$6 x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2$	$6 a x + 2 b = 0 \Rightarrow x = - \frac{b}{3 a}$
positive Menge?	$2 > 0$	$- \frac{b}{3 a} > 0$ , mit $a > 0$ heißt das $b < 0$
$K^{'}$ an der Kehre	$K^{'} (2) = 3 \cdot 2^{2} + (- 12) \cdot 2 + 15$	$K^{'} (- \frac{b}{3 a}) = 3 a \cdot (- \frac{b}{3 a})^{2} + 2 b \cdot (- \frac{b}{3 a}) + c$
	$= \frac{36}{3} - \frac{72}{3} + 15 = 3$	$= \frac{b ^{2}}{3 a} - \frac{2 b ^{2}}{3 a} + c = c - \frac{b ^{2}}{3 a}$
positiv?	$15 - \frac{36}{3} = 3 > 0$	$c - \frac{b ^{2}}{3 a} > 0$
mal $3 a$ (positiv, das $>$ bleibt)	$45 - 36 > 0$ , also $36 < 45$	$3 a c - b^{2} > 0$ , also $b^{2} < 3 a c$

Jede Bedingung ist ein Satz über den Betrieb:

Bedingung	Bedeutung im Betrieb
$a > 0$	Bei großen Mengen steigen die Kosten immer schneller.
$b < 0$	Die Kostenkehre liegt bei einer positiven Menge. Es gibt einen degressiven Teil.
$b^{2} < 3 a c$	Die kleinsten Grenzkosten sind positiv. Die Kosten steigen überall.
$d \geq 0$	Die Fixkosten sind nicht negativ.

Die Zahlen $a$ , $b$ , $c$ , $d$ stehen in $K$ :

K (x) = a 1 x^{3} b - 6 x^{2} + c 15 x + d 32

	$a$	$b$	$c$	$d$	$b^{2}$	$3 a c$	Urteil
A)	$1 > 0$	$- 6 < 0$	15	$32 \geq 0$	36	45	$36 < 45$ ✓ ertragsgesetzliche Kostenfunktion
B)	$1 > 0$	$- 6 < 0$	10	$32 \geq 0$	36	30	$36 > 30$ ✗ keine Kostenfunktion
C)	$1 > 0$	$6 > 0$ ✗	15	$32 \geq 0$	36	45	$36 < 45$ ✓ Kostenfunktion, aber nicht ertragsgesetzlich

Merken: $K (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ist eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion, wenn $a > 0$ , $b < 0$ , $b^{2} < 3 a c$ und $d \geq 0$ .

Jetzt ihr

K (x) = 0, 5 x^{3} - 6 x^{2} + 30 x + 128

Lösung

a = 0, 5 > 0

b = - 6 < 0

b^{2} = 36 < 45 = 3 a c

d = 128 \geq 0

: ertragsgesetzliche Kostenfunktion

Jetzt ihr

K (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 20 x + 50

Lösung

b^{2} = 144 > 120 = 3 a c

: keine Kostenfunktion. Probe: Kostenkehre bei 2,

K^{'} (2) = 24 - 48 + 20 = - 4 < 0

Übungen 1

Prüft, ob $K$ eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion ist. Wenn ja, bestimmt die Kostenkehre und die kleinsten Grenzkosten.

A) $K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 20 x + 40$

B) $K (x) = 0, 5 x^{3} - 6 x^{2} + 25 x + 60$

C) $K (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 20 x + 60$

D) $K (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 20$

Lösungen 1

A) $a = 1 > 0$ , $b = - 6 < 0$ , $d = 40 \geq 0$ , $b^{2} = 36 < 60 = 3 a c$ ✓ $K^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 20$ , $K^{''} (x) = 6 x - 12$ , $K^{'''} (x) = 6$ $6 x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2$ , $K^{'''} (2) = 6 \neq = 0$ $K (2) = 8 - 24 + 40 + 40 = 64 \Rightarrow W (2 ∣ 64)$ $K^{'} (2) = 12 - 24 + 20 = 8$ > Ertragsgesetzlich. Kostenkehre bei 2 ME, kleinste Grenzkosten 8 GE je ME.

B) $a = 0, 5 > 0$ , $b = - 6 < 0$ , $d = 60 \geq 0$ , $b^{2} = 36 < 37, 5 = 3 a c$ ✓ $K^{'} (x) = 1, 5 x^{2} - 12 x + 25$ , $K^{''} (x) = 3 x - 12$ , $K^{'''} (x) = 3$ $3 x - 12 = 0 \Rightarrow x = 4$ , $K^{'''} (4) = 3 \neq = 0$ $K (4) = 32 - 96 + 100 + 60 = 96 \Rightarrow W (4 ∣ 96)$ $K^{'} (4) = 24 - 48 + 25 = 1$ > Ertragsgesetzlich. Kostenkehre bei 4 ME, kleinste Grenzkosten 1 GE je ME.

C) $a = 1 > 0$ , $b = - 9 < 0$ , $d = 60 \geq 0$ , $b^{2} = 81 > 60 = 3 a c$ ✗ Probe: $K^{''} (x) = 6 x - 18 = 0 \Rightarrow x = 3$ , $K^{'} (3) = 27 - 54 + 20 = - 7 < 0$ > Keine Kostenfunktion: Um 3 ME fallen die Kosten.

D) $a = 1 > 0$ , $b = 3 > 0$ ✗, $d = 20 \geq 0$ , $b^{2} = 9 < 15 = 3 a c$ ✓ $K^{''} (x) = 6 x + 6 = 0 \Rightarrow x = - 1$ , die Kostenkehre liegt links von 0 > Kostenfunktion, aber nicht ertragsgesetzlich: Für $x \geq 0$ steigen die Kosten nur progressiv.

2 Was ein Stück kostet

Stückkosten: der Durchschnitt pro ME

Die Stückkosten sind die Kosten pro ME im Durchschnitt: $k (x) = \frac{K ( x )}{x}$ . Zum Beispiel kosten beim Betrieb mit $K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 32$ zwei ME zusammen $K (2) = 46$ GE. Pro ME sind das im Durchschnitt

k (2) = \frac{K ( 2 )}{2} = \frac{46}{2} = 23 GE je ME .

Was kostet also ein Stück? Bei 2 ME gibt es zwei Antworten, beide in GE je ME:

	Wert	Bedeutung
Stückkosten $k (2) = \frac{46}{2}$	23 GE je ME	So viel kostet eine ME im Durchschnitt.
Grenzkosten $K^{'} (2) = 12 - 24 + 15$	3 GE je ME	So schnell wachsen die Kosten gerade. Ungefähr so viel kostet die nächste ME zusätzlich.

Die Stückkosten sind ein Durchschnitt über alle ME. Die Grenzkosten sind das Tempo an einer Stelle.

Die Stückkosten fallen erst und steigen dann

$x$ in ME	1	2	3	4	5	6
$K (x)$ in GE	42	46	50	60	82	122
$k (x) = \frac{K ( x )}{x}$ in GE je ME	42	23	16,67	15	16,4	20,33

Warum erst billiger und dann teurer? Um das zu sehen, teilt ihr jeden Summanden einzeln durch $x$ :

k (x) = \frac{x ^{3} - 6 x ^{2} + 15 x + 32}{x} = k_{v} (x) x^{2} - 6 x + 15 + Fixkostenanteil \frac{32}{x}

Der erste Teil sind die variablen Stückkosten $k_{v} (x) = \frac{K _{v} ( x )}{x}$ . Der zweite Teil sind die Fixkosten von 32 GE, verteilt auf $x$ ME:

$x$ in ME	1	2	3	4	5	6
$k_{v} (x)$	10	7	6	7	10	15
$+ \frac{32}{x}$	32	16	10,67	8	6,4	5,33
$= k (x)$	42	23	16,67	15	16,4	20,33

Der Fixkostenanteil schrumpft bei jeder weiteren ME. $k_{v}$ wächst ab 3 ME. Bis 4 ME gewinnt das Schrumpfen, danach das Wachsen:

	$k_{v}$	$\frac{32}{x}$	$k$
von 3 auf 4 ME	$+ 1$	$- 2, 67$	$- 1, 67$ : fällt
von 4 auf 5 ME	$+ 3$	$- 1, 6$	$+ 1, 4$ : steigt

Stückkosten k, variable Stückkosten und Fixkostenanteil

Bei der Werkstatt mit $K (x) = 4 x + 100$ fehlt das Wachsen, denn $k_{v} (x) = \frac{4 x}{x} = 4$ bleibt gleich. Die Stückkosten $k (x) = 4 + \frac{100}{x}$ fallen darum bis zur Kapazitätsgrenze, hier 50 ME:

$x$ in ME	10	25	50
$k (x)$ in GE je ME	14	8	6

Das Betriebsoptimum berechnen

Die Menge mit den kleinsten Stückkosten heißt Betriebsoptimum. Gesucht ist also der Tiefpunkt von $k$ .

Hinweis: $\frac{32}{x} = 32 x^{- 1}$ , abgeleitet $- 32 x^{- 2} = - \frac{32}{x ^{2}}$ .

Beispiel: $K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 32$

k (x) = x^{2} - 6 x + 15 + \frac{32}{x} k^{'} (x) = 2 x - 6 - \frac{32}{x ^{2}} k^{''} (x) = 2 + \frac{64}{x ^{3}}

Notwendige Bedingung $k^{'} (x) = 0$ :

2 x - 6 - \frac{32}{x ^{2}} = 0

Damit der Bruch verschwindet, nehmt ihr beide Seiten mal $x^{2}$ . Damit vor $x^{3}$ eine 1 steht, teilt ihr dann durch 2:

2 x^{3} - 6 x^{2} - 32 = 0 : 2 \Rightarrow x^{3} - 3 x^{2} - 16 = 0

Eine Nullstelle raten, unter den Teilern von 16: $x = 2$ ergibt $8 - 12 - 16 = - 20$ , $x = 4$ ergibt $64 - 48 - 16 = 0$ ✓. Polynomdivision:

(x^{3} - 3 x^{2} + 0 x - 16) : (x - 4) = x^{2} + x + 4

Probe durch Ausmultiplizieren: $(x - 4) (x^{2} + x + 4) = x^{3} + x^{2} + 4 x - 4 x^{2} - 4 x - 16 = x^{3} - 3 x^{2} - 16$ ✓

$x^{2} + x + 4 = 0$ hat keine Lösung, denn in der pq-Formel steht unter der Wurzel $0, 25 - 4 < 0$ . Also bleibt nur $x = 4$ .

Hinreichende Bedingung: $k^{''} (4) = 2 + \frac{64}{64} = 3 > 0$ ✓, also ein Tiefpunkt.

k (4) = 16 - 24 + 15 + \frac{32}{4} = 15 \Rightarrow T (4 ∣ 15)

> Betriebsoptimum bei 4 ME. Die kleinsten Stückkosten sind 15 GE je ME.

In der Tabelle war 15 der kleinste Wert.

Die Grenzkostenkurve schneidet k im Tiefpunkt

Bei 4 ME sind auch die Grenzkosten genau 15: $K^{'} (4) = 48 - 48 + 15 = 15$ . Warum dieselbe Zahl?

$x$ in ME	Durchschnitt $k (x)$	Tempo $K^{'} (x)$		$k$ …
2	23	3	$K^{'} < k$	fällt
4	15	15	$K^{'} = k$	hat seinen Tiefpunkt
6	20,33	51	$K^{'} > k$	steigt

Kommt etwas dazu, das kleiner ist als der Durchschnitt, sinkt der Durchschnitt. Ist es größer, steigt er. Wie viel pro ME gerade dazukommt, zeigt das Tempo $K^{'}$ . Im Tiefpunkt von $k$ sind beide gleich.

K oben, K' und k unten mit Betriebsoptimum

Merken: Die Grenzkostenkurve schneidet $k$ in seinem Tiefpunkt. Probe für das Betriebsoptimum: $K^{'} (x) = k (x)$ .

Schema: Betriebsoptimum

Das eben Gerechnete, allgemein:

1. $k (x) = \frac{K ( x )}{x}$ bilden: jeden Summanden einzeln durch $x$ teilen. 2. $k^{'} (x)$ und $k^{''} (x)$ bilden, dabei $\frac{K _{f}}{x} = K_{f} \cdot x^{- 1}$ . 3. Notwendige Bedingung $k^{'} (x) = 0$ : mal $x^{2}$ nehmen, dann so teilen, dass vor $x^{3}$ eine 1 steht. 4. Eine Nullstelle raten, Polynomdivision, zeigen, dass der Rest keine Nullstelle hat. 5. Hinreichende Bedingung: $k^{''} (x) > 0$ . 6. $k (x)$ ausrechnen, Tiefpunkt $T (x ∣ k (x))$ angeben. 7. Probe: $K^{'} (x) = k (x)$ .

Beispiele: Betriebsoptimum

A) $K (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 50 x + 98$ $k (x) = x^{2} - 12 x + 50 + \frac{98}{x}$ , $k^{'} (x) = 2 x - 12 - \frac{98}{x ^{2}}$ , $k^{''} (x) = 2 + \frac{196}{x ^{3}}$ $2 x^{3} - 12 x^{2} - 98 = 0 : 2 \Rightarrow x^{3} - 6 x^{2} - 49 = 0$ $x = 7$ : $343 - 294 - 49 = 0$ ✓, Rest $x^{2} + x + 7$ ohne Nullstelle $k^{''} (7) > 0$ , $k (7) = 49 - 84 + 50 + 14 = 29 \Rightarrow T (7 ∣ 29)$ Probe: $K^{'} (7) = 147 - 168 + 50 = 29$ ✓ > Betriebsoptimum 7 ME, kleinste Stückkosten 29 GE je ME.

B) $K (x) = 0, 5 x^{3} - 6 x^{2} + 30 x + 128$ $k (x) = 0, 5 x^{2} - 6 x + 30 + \frac{128}{x}$ , $k^{'} (x) = x - 6 - \frac{128}{x ^{2}}$ , $k^{''} (x) = 1 + \frac{256}{x ^{3}}$ $x^{3} - 6 x^{2} - 128 = 0$ , vor $x^{3}$ steht schon eine 1 $x = 8$ : $512 - 384 - 128 = 0$ ✓, Rest $x^{2} + 2 x + 16$ ohne Nullstelle $k^{''} (8) > 0$ , $k (8) = 32 - 48 + 30 + 16 = 30 \Rightarrow T (8 ∣ 30)$ Probe: $K^{'} (8) = 96 - 96 + 30 = 30$ ✓ > Betriebsoptimum 8 ME, kleinste Stückkosten 30 GE je ME.

C) $K (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 30 x + 200$ $k (x) = 2 x^{2} - 12 x + 30 + \frac{200}{x}$ , $k^{'} (x) = 4 x - 12 - \frac{200}{x ^{2}}$ , $k^{''} (x) = 4 + \frac{400}{x ^{3}}$ $4 x^{3} - 12 x^{2} - 200 = 0 : 4 \Rightarrow x^{3} - 3 x^{2} - 50 = 0$ $x = 5$ : $125 - 75 - 50 = 0$ ✓, Rest $x^{2} + 2 x + 10$ ohne Nullstelle $k^{''} (5) > 0$ , $k (5) = 50 - 60 + 30 + 40 = 60 \Rightarrow T (5 ∣ 60)$ Probe: $K^{'} (5) = 150 - 120 + 30 = 60$ ✓ > Betriebsoptimum 5 ME, kleinste Stückkosten 60 GE je ME.

Jetzt ihr

K (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 30 x + 144

Lösung

2 x^{3} - 8 x^{2} - 144 = 0 : 2 \Rightarrow x^{3} - 4 x^{2} - 72 = 0

x = 6

, Rest

x^{2} + 2 x + 12

ohne Nullstelle,

k (6) = 36 - 48 + 30 + 24 = 42

: Betriebsoptimum 6 ME, kleinste Stückkosten 42 GE je ME. Probe

K^{'} (6) = 108 - 96 + 30 = 42

✓

Übungen 2

Bestimmt das Betriebsoptimum und die kleinsten Stückkosten.

A) $K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 100$

B) $K (x) = 0, 5 x^{3} - 3 x^{2} + 10 x + 108$

C) $K (x) = 2 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 36$

Lösungen 2

A) $k (x) = x^{2} - 6 x + 15 + \frac{100}{x}$ , $k^{'} (x) = 2 x - 6 - \frac{100}{x ^{2}}$ , $k^{''} (x) = 2 + \frac{200}{x ^{3}}$ $2 x^{3} - 6 x^{2} - 100 = 0 : 2 \Rightarrow x^{3} - 3 x^{2} - 50 = 0$ $x = 5$ : $125 - 75 - 50 = 0$ ✓, Rest $x^{2} + 2 x + 10$ ohne Nullstelle $k^{''} (5) > 0$ , $k (5) = 25 - 30 + 15 + 20 = 30 \Rightarrow T (5 ∣ 30)$ Probe: $K^{'} (5) = 75 - 60 + 15 = 30$ ✓ > Betriebsoptimum 5 ME, kleinste Stückkosten 30 GE je ME.

B) $k (x) = 0, 5 x^{2} - 3 x + 10 + \frac{108}{x}$ , $k^{'} (x) = x - 3 - \frac{108}{x ^{2}}$ , $k^{''} (x) = 1 + \frac{216}{x ^{3}}$ $x^{3} - 3 x^{2} - 108 = 0$ , vor $x^{3}$ steht schon eine 1 $x = 6$ : $216 - 108 - 108 = 0$ ✓, Rest $x^{2} + 3 x + 18$ ohne Nullstelle $k^{''} (6) > 0$ , $k (6) = 18 - 18 + 10 + 18 = 28 \Rightarrow T (6 ∣ 28)$ Probe: $K^{'} (6) = 54 - 36 + 10 = 28$ ✓ > Betriebsoptimum 6 ME, kleinste Stückkosten 28 GE je ME.

C) $k (x) = 2 x^{2} - 8 x + 20 + \frac{36}{x}$ , $k^{'} (x) = 4 x - 8 - \frac{36}{x ^{2}}$ , $k^{''} (x) = 4 + \frac{72}{x ^{3}}$ $4 x^{3} - 8 x^{2} - 36 = 0 : 4 \Rightarrow x^{3} - 2 x^{2} - 9 = 0$ $x = 3$ : $27 - 18 - 9 = 0$ ✓, Rest $x^{2} + x + 3$ ohne Nullstelle $k^{''} (3) > 0$ , $k (3) = 18 - 24 + 20 + 12 = 26 \Rightarrow T (3 ∣ 26)$ Probe: $K^{'} (3) = 54 - 48 + 20 = 26$ ✓ > Betriebsoptimum 3 ME, kleinste Stückkosten 26 GE je ME.

Theorie: Stückkosten im Bild der Gesamtkosten

Die Stückkosten $k (x) = \frac{K ( x )}{x}$ sind auch eine Steigung, nämlich die der Geraden vom Ursprung zum Kurvenpunkt $(x ∣ K (x))$ :

m = \frac{K ( x ) - 0}{x - 0} = \frac{K ( x )}{x} = k (x)

Solche Geraden heißen Fahrstrahlen.

Fahrstrahlen vom Ursprung an den Graphen von K

Die Fahrstrahlen werden erst flacher und dann wieder steiler: 42, 23, 15, 20,33. Der flachste berührt die Kurve in $(4 ∣ 60)$ , im Betriebsoptimum. Dort ist er zugleich Tangente, und die Steigung der Tangente ist $K^{'} (4)$ . Darum gilt dort $K^{'} (4) = k (4) = 15$ .

3 Wie tief darf der Preis fallen?

Eine Preisuntergrenze ist der niedrigste Marktpreis, bei dem ein Betrieb noch herstellt. Den Preis $p$ macht der Markt. Der Betrieb wählt nur seine Menge $x$ .

Langfristig: Der Preis muss die Stückkosten decken

Langfristig laufen alle Verträge aus, auch die Miete für Halle und Maschinen. Dann kann der Betrieb alle Kosten loswerden, auch die Fixkosten. Er stellt nur her, wenn der Erlös die Kosten deckt, also mindestens so groß ist wie die Kosten.

Zum Beispiel zahlt der Markt $p = 15$ GE je ME. Der Betrieb mit $K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 32$ stellt 4 ME her:

E (4) = 15 \cdot 4 = 60 GE K (4) = 60 GE G (4) = 60 - 60 = 0

Der Erlös deckt die Kosten genau. Mehr Gewinn als 0 ist bei diesem Preis nicht möglich. Das zeigt der Gewinn pro ME. Mit $K (x) = k (x) \cdot x$ wird

G (x) = p \cdot x - k (x) \cdot x = x \cdot (p - k (x))

Im Bild der Stückkosten ist der Gewinn ein Rechteck: Breite $x$ , Höhe $p - k (x)$ .

Preisgerade und Gewinn über den Stückkosten

Bei $p = 20$ und 4 ME: $4 \cdot (20 - 15) = 20$ GE Gewinn. Bei $p = 15$ berührt die Preisgerade nur noch den Tiefpunkt von $k$ , und das Rechteck hat höchstens die Höhe 0. Unter 15 liegt $k$ überall über der Preisgeraden: Jede Menge bringt Verlust.

> Langfristige Preisuntergrenze: 15 GE je ME, der Tiefstwert von $k$ . Er liegt beim Betriebsoptimum, 4 ME.

Kurzfristig: Verlust kann besser sein als Stillstand

Kurzfristig, etwa in den nächsten Monaten, laufen die Verträge noch. Die Fixkosten muss der Betrieb dann zahlen, auch wenn er nichts herstellt. Stillstand kostet $K (0) = 32$ GE.

Der Preis fällt auf $p = 10$ GE je ME. Das ist weniger als 15, also bringt jede Menge Verlust. Soll der Betrieb sofort aufhören?

$p = 10$	Erlös $E (x) = 10 x$	Kosten $K (x)$	Gewinn $G (x)$
Stillstand, $x = 0$	0	32	$- 32$
$x = 3$	30	50	$- 20$
$x = 4$	40	60	$- 20$

Mit 3 oder 4 ME verliert der Betrieb 20 GE, beim Stillstand 32 GE. Weiterproduzieren ist besser.

Warum? Bei 4 ME bringt jede ME 10 GE. Ihre variablen Kosten sind $k_{v} (4) = 16 - 24 + 15 = 7$ GE. Pro ME bleiben 3 GE übrig, bei 4 ME also 12 GE:

Preisgerade und Deckungsbeitrag über k_v

Diese 12 GE heißen Deckungsbeitrag (der Teil des Erlöses, der nach den variablen Kosten übrig bleibt). Sie bezahlen einen Teil der Fixkosten:

G (4) = Deckungsbeitrag 12 4 \cdot (10 - 7) - K_{f} 32 = - 20

Allgemein, mit $K (x) = k_{v} (x) \cdot x + K_{f}$ :

G (x) = p \cdot x - k_{v} (x) \cdot x - K_{f} = x \cdot (p - k_{v} (x)) - K_{f}

Ist der Deckungsbeitrag positiv, ist der Verlust kleiner als beim Stillstand.

Wie tief darf der Preis also fallen? Mit dem Preis sinkt die Preisgerade, und das Rechteck wird flacher. Bei $p = 6$ berührt die Preisgerade den Tiefpunkt von $k_{v}$ . Das Rechteck hat dann höchstens die Höhe 0, und der Verlust ist 32 GE, so viel wie beim Stillstand. Unter 6 liegt $k_{v}$ überall über der Preisgeraden. Dann verliert jede Menge mehr als der Stillstand, zum Beispiel bei $p = 5$ und 3 ME: $3 \cdot (5 - 6) - 32 = - 35$ .

Den Tiefpunkt von $k_{v}$ berechnet ihr wie jeden Tiefpunkt:

k_{v} (x) = x^{2} - 6 x + 15 k_{v}^{'} (x) = 2 x - 6 k_{v}^{''} (x) = 2

Notwendige Bedingung: $2 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ . Hinreichende Bedingung: $k_{v}^{''} (3) = 2 > 0$ ✓

k_{v} (3) = 9 - 18 + 15 = 6 \Rightarrow T (3 ∣ 6)

Probe: Die Grenzkostenkurve schneidet auch $k_{v}$ in seinem Tiefpunkt. Links davon liegt $K^{'}$ unter $k_{v}$ , rechts darüber. $K^{'} (3) = 27 - 36 + 15 = 6 = k_{v} (3)$ ✓

> Betriebsminimum: 3 ME, die Tiefstelle der variablen Stückkosten $k_{v}$ . Kurzfristige Preisuntergrenze: 6 GE je ME, der Tiefstwert von $k_{v}$ .

Preiszonen: Gewinn, kurzfristig weiter, stilllegen

Marktpreis $p$	Der Betrieb …
über 15 GE je ME	macht Gewinn.
zwischen 6 und 15 GE je ME	macht Verlust, aber weniger als die Fixkosten. Er produziert kurzfristig weiter und hört langfristig auf.
unter 6 GE je ME	legt sofort still.

Merken: Kurzfristig muss der Preis die variablen Stückkosten decken, langfristig die ganzen Stückkosten.

Beispiele: Betriebsminimum

	$K (x)$	$k_{v} (x)$	$k_{v}^{'} (x) = 0$	Betriebsminimum	kurzfristige Preisuntergrenze	Probe
A)	$0, 5 x^{3} - 6 x^{2} + 30 x + 128$	$0, 5 x^{2} - 6 x + 30$	$x - 6 = 0$	6 ME	$k_{v} (6) = 18 - 36 + 30 = 12$ GE je ME	$K^{'} (6) = 54 - 72 + 30 = 12$ ✓
B)	$2 x^{3} - 12 x^{2} + 30 x + 200$	$2 x^{2} - 12 x + 30$	$4 x - 12 = 0$	3 ME	$k_{v} (3) = 18 - 36 + 30 = 12$ GE je ME	$K^{'} (3) = 54 - 72 + 30 = 12$ ✓
C)	$x^{3} - 9 x^{2} + 30 x + 108$	$x^{2} - 9 x + 30$	$2 x - 9 = 0$	4,5 ME	$k_{v} (4, 5) = 20, 25 - 40, 5 + 30 = 9, 75$ GE je ME	$K^{'} (4, 5) = 60, 75 - 81 + 30 = 9, 75$ ✓

Jetzt ihr

K (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 50 x + 98

Lösung

k_{v} (x) = x^{2} - 12 x + 50

2 x - 12 = 0

, Betriebsminimum 6 ME, kurzfristige Preisuntergrenze

k_{v} (6) = 36 - 72 + 50 = 14

GE je ME, Probe

K^{'} (6) = 108 - 144 + 50 = 14

✓

Jedes Fachwort gehört zu einer Funktion

Fachwort	Funktion	Eigenschaft	Beispiel
Kostenkehre	$K$	Wendestelle	2 ME
kleinste Grenzkosten	$K^{'}$	Tiefstwert	3 GE je ME
Betriebsminimum	$k_{v}$	Tiefstelle	3 ME
kurzfristige Preisuntergrenze	$k_{v}$	Tiefstwert	6 GE je ME
Betriebsoptimum	$k$	Tiefstelle	4 ME
langfristige Preisuntergrenze	$k$	Tiefstwert	15 GE je ME

Die Tiefstelle ist eine Menge in ME, der Tiefstwert ein Betrag in GE je ME: $T (3 ∣ 6)$ von $k_{v}$ heißt 3 ME und 6 GE je ME.

Kostenkehre, Betriebsminimum und Betriebsoptimum

Die drei Stellen liegen immer in derselben Reihenfolge. Kostenkehre und Betriebsminimum allgemein, für $K (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ mit $k_{v} (x) = a x^{2} + b x + c$ :

	Bedingung	Stelle	Beispiel $a = 1$ , $b = - 6$
Kostenkehre	$K^{''} (x) = 6 a x + 2 b = 0$	$x = \frac{- b}{3 a}$	$\frac{6}{3} = 2$
Betriebsminimum	$k_{v}^{'} (x) = 2 a x + b = 0$	$x = \frac{- b}{2 a}$	$\frac{6}{2} = 3$

Oben steht beide Male dieselbe positive Zahl $- b$ . Durch $3 a$ geteilt ergibt das weniger als durch $2 a$ .

Im Betriebsminimum ist $k_{v}$ gerade flach, aber der Fixkostenanteil $\frac{K _{f}}{x}$ fällt noch. Also fällt dort auch $k = k_{v} + \frac{K _{f}}{x}$ noch, und sein Tiefpunkt liegt weiter rechts. Mit Fixkosten über 0 gilt darum immer:

Kostenkehre < Betriebsminimum < Betriebsoptimum

Steht es in einer Rechnung anders, steckt ein Fehler darin.

Die Miete steigt

Was ändert sich, wenn nur die Fixkosten $K_{f}$ steigen? Von $K^{'}$ , $k_{v}$ und $k$ enthält nur $k$ die Fixkosten:

K^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 15 k_{v} (x) = x^{2} - 6 x + 15 k (x) = x^{2} - 6 x + 15 + \frac{K _{f}}{x}

$K_{f}$	Kostenkehre	Betriebsminimum	kurzfristige Preisuntergrenze	Betriebsoptimum	langfristige Preisuntergrenze
0	2 ME	3 ME	6 GE je ME	3 ME	6 GE je ME
32	2 ME	3 ME	6 GE je ME	4 ME	15 GE je ME
100	2 ME	3 ME	6 GE je ME	5 ME	30 GE je ME

Die Fixkosten ändern keine Steigung. Kostenkehre, Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze bleiben darum gleich. Nur $k$ wird um $\frac{K _{f}}{x}$ angehoben, und mit ihm wandern Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze.

Beispiel: vollständige Untersuchung

K (x) = x^{3} - 18 x^{2} + 120 x + 200, Marktpreis p = 50 GE je ME

Prüfen

$a = 1 > 0$ , $b = - 18 < 0$ , $b^{2} = 324 < 360 = 3 a c$ , $d = 200 \geq 0$ ✓

Kostenkehre

$K^{'} (x) = 3 x^{2} - 36 x + 120$ , $K^{''} (x) = 6 x - 36$ , $K^{'''} (x) = 6$ Notwendige Bedingung: $6 x - 36 = 0 \Rightarrow x = 6$ . Hinreichende Bedingung: $K^{'''} (6) = 6 \neq = 0$ ✓ Kleinste Grenzkosten: $K^{'} (6) = 108 - 216 + 120 = 12$ GE je ME

Betriebsminimum

$k_{v} (x) = x^{2} - 18 x + 120$ , $k_{v}^{'} (x) = 2 x - 18$ , $k_{v}^{''} (x) = 2$ Notwendige Bedingung: $2 x - 18 = 0 \Rightarrow x = 9$ . Hinreichende Bedingung: $k_{v}^{''} (9) = 2 > 0$ ✓ $k_{v} (9) = 81 - 162 + 120 = 39 \Rightarrow T (9 ∣ 39)$

Betriebsoptimum

$k (x) = x^{2} - 18 x + 120 + \frac{200}{x}$ , $k^{'} (x) = 2 x - 18 - \frac{200}{x ^{2}}$ , $k^{''} (x) = 2 + \frac{400}{x ^{3}}$ Notwendige Bedingung: $2 x^{3} - 18 x^{2} - 200 = 0 : 2 \Rightarrow x^{3} - 9 x^{2} - 100 = 0$ $x = 10$ : $1000 - 900 - 100 = 0$ ✓, Rest $x^{2} + x + 10$ ohne Nullstelle Hinreichende Bedingung: $k^{''} (10) > 0$ ✓ $k (10) = 100 - 180 + 120 + 20 = 60 \Rightarrow T (10 ∣ 60)$

Probe

$K^{'} (9) = 243 - 324 + 120 = 39 = k_{v} (9)$ ✓ $K^{'} (10) = 300 - 360 + 120 = 60 = k (10)$ ✓ Reihenfolge: $6 < 9 < 10$ ✓

> Kostenkehre 6 ME. Betriebsminimum 9 ME, kurzfristige Preisuntergrenze 39 GE je ME. Betriebsoptimum 10 ME, langfristige Preisuntergrenze 60 GE je ME. Bei $p = 50$ gilt $39 < 50 < 60$ : Der Betrieb produziert kurzfristig weiter, langfristig hört er auf.

Schema: vollständige Untersuchung

Das eben Gerechnete, allgemein:

1. Prüfen: $a > 0$ , $b < 0$ , $b^{2} < 3 a c$ , $d \geq 0$ . 2. Kostenkehre: $K^{''} (x) = 0$ und $K^{'''} (x) \neq = 0$ . Kleinste Grenzkosten: $K^{'} (x)$ an dieser Stelle. 3. Betriebsminimum: $k_{v} (x) = \frac{K _{v} ( x )}{x}$ , dann $k_{v}^{'} (x) = 0$ und $k_{v}^{''} (x) > 0$ . Kurzfristige Preisuntergrenze: $k_{v} (x)$ an dieser Stelle. 4. Betriebsoptimum: $k (x) = \frac{K ( x )}{x}$ , dann $k^{'} (x) = 0$ (mal $x^{2}$ , so teilen, dass vor $x^{3}$ eine 1 steht, raten, Polynomdivision) und $k^{''} (x) > 0$ . Langfristige Preisuntergrenze: $k (x)$ an dieser Stelle. 5. Probe: $K^{'} = k_{v}$ im Betriebsminimum, $K^{'} = k$ im Betriebsoptimum, Kostenkehre < Betriebsminimum < Betriebsoptimum. 6. Entscheidung: den Marktpreis mit beiden Preisuntergrenzen vergleichen.

Übungen 3

Bestimmt Betriebsminimum, kurzfristige Preisuntergrenze, Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze. Was macht der Betrieb beim Marktpreis $p$ ?

A) $K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 18 x + 100$ , $p = 40$

B) $K (x) = 0, 5 x^{3} - 5 x^{2} + 20 x + 36$ , $p = 10$

C) $K (x) = 2 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 128$ , $p = 10$

Lösungen 3

A) $k_{v} (x) = x^{2} - 6 x + 18$ , $k_{v}^{'} (x) = 2 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ , $k_{v}^{''} (3) = 2 > 0$ , $k_{v} (3) = 9 - 18 + 18 = 9 \Rightarrow T (3 ∣ 9)$ $k (x) = x^{2} - 6 x + 18 + \frac{100}{x}$ , $k^{'} (x) = 2 x - 6 - \frac{100}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow 2 x^{3} - 6 x^{2} - 100 = 0 : 2 \Rightarrow x^{3} - 3 x^{2} - 50 = 0$ $x = 5$ : $125 - 75 - 50 = 0$ ✓, Rest $x^{2} + 2 x + 10$ ohne Nullstelle $k^{''} (5) > 0$ , $k (5) = 25 - 30 + 18 + 20 = 33 \Rightarrow T (5 ∣ 33)$ Probe: $K^{'} (3) = 27 - 36 + 18 = 9$ ✓, $K^{'} (5) = 75 - 60 + 18 = 33$ ✓, $3 < 5$ ✓ > Betriebsminimum 3 ME, kurzfristige Preisuntergrenze 9 GE je ME. Betriebsoptimum 5 ME, langfristige Preisuntergrenze 33 GE je ME. $p = 40 > 33$ : Der Betrieb macht Gewinn.

B) $k_{v} (x) = 0, 5 x^{2} - 5 x + 20$ , $k_{v}^{'} (x) = x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ , $k_{v}^{''} (5) = 1 > 0$ , $k_{v} (5) = 12, 5 - 25 + 20 = 7, 5 \Rightarrow T (5 ∣ 7, 5)$ $k (x) = 0, 5 x^{2} - 5 x + 20 + \frac{36}{x}$ , $k^{'} (x) = x - 5 - \frac{36}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow x^{3} - 5 x^{2} - 36 = 0$ , vor $x^{3}$ steht schon eine 1 $x = 6$ : $216 - 180 - 36 = 0$ ✓, Rest $x^{2} + x + 6$ ohne Nullstelle $k^{''} (6) > 0$ , $k (6) = 18 - 30 + 20 + 6 = 14 \Rightarrow T (6 ∣ 14)$ Probe: $K^{'} (5) = 37, 5 - 50 + 20 = 7, 5$ ✓, $K^{'} (6) = 54 - 60 + 20 = 14$ ✓, $5 < 6$ ✓ > Betriebsminimum 5 ME, kurzfristige Preisuntergrenze 7,5 GE je ME. Betriebsoptimum 6 ME, langfristige Preisuntergrenze 14 GE je ME. $7, 5 < 10 < 14$ : kurzfristig weiterproduzieren, langfristig aufhören.

C) $k_{v} (x) = 2 x^{2} - 8 x + 20$ , $k_{v}^{'} (x) = 4 x - 8 = 0 \Rightarrow x = 2$ , $k_{v}^{''} (2) = 4 > 0$ , $k_{v} (2) = 8 - 16 + 20 = 12 \Rightarrow T (2 ∣ 12)$ $k (x) = 2 x^{2} - 8 x + 20 + \frac{128}{x}$ , $k^{'} (x) = 4 x - 8 - \frac{128}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow 4 x^{3} - 8 x^{2} - 128 = 0 : 4 \Rightarrow x^{3} - 2 x^{2} - 32 = 0$ $x = 4$ : $64 - 32 - 32 = 0$ ✓, Rest $x^{2} + 2 x + 8$ ohne Nullstelle $k^{''} (4) > 0$ , $k (4) = 32 - 32 + 20 + 32 = 52 \Rightarrow T (4 ∣ 52)$ Probe: $K^{'} (2) = 24 - 32 + 20 = 12$ ✓, $K^{'} (4) = 96 - 64 + 20 = 52$ ✓, $2 < 4$ ✓ > Betriebsminimum 2 ME, kurzfristige Preisuntergrenze 12 GE je ME. Betriebsoptimum 4 ME, langfristige Preisuntergrenze 52 GE je ME. $p = 10 < 12$ : sofort stilllegen.

Rückwärts: die Kostenfunktion aus Betriebsangaben

Aus Betriebsangaben wird eine Kostenfunktion, wenn ihr jede Angabe in eine Gleichung übersetzt. Zum Beispiel ist $K (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ gesucht, mit $K^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ und $K^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ :

	Angabe	Gleichung	eingesetzt
I	Fixkosten 128 GE	$K (0) = 128$	$d = 128$
II	Kostenkehre bei 4 ME	$K^{''} (4) = 0$	$24 a + 2 b = 0$
III	Grenzkosten dort 6 GE je ME	$K^{'} (4) = 6$	$48 a + 8 b + c = 6$
IV	Gesamtkosten bei 2 ME: 168 GE	$K (2) = 168$	$8 a + 4 b + 2 c + 128 = 168$

Aus II: $b = - 12 a$ . In III: $48 a - 96 a + c = 6 \Rightarrow c = 6 + 48 a$ . In IV: $8 a - 48 a + 2 \cdot (6 + 48 a) = 40 \Rightarrow 56 a + 12 = 40 \Rightarrow a = 0, 5$ Also $b = - 6$ und $c = 30$ .

> $K (x) = 0, 5 x^{3} - 6 x^{2} + 30 x + 128$

Probe, ob das eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion ist: $a = 0, 5 > 0$ , $b = - 6 < 0$ , $b^{2} = 36 < 45 = 3 a c$ , $d = 128 \geq 0$ ✓

Jetzt ihr

Fixkosten 64 GE, Kostenkehre bei 2 ME, dort Grenzkosten 6 GE je ME, Gesamtkosten bei 1 ME: 84 GE.

Lösung

K (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 30 x + 64

Jetzt ihr

Fixkosten 20 GE, Kostenkehre bei 1 ME, dort Grenzkosten 2 GE je ME, Gesamtkosten bei 2 ME: 26 GE.

Lösung

K (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x + 20