Gewinnmaximum bestimmen – Menge, Gewinn und Preis

Die Gewinnfunktion sagt, welcher Gewinn bei einer verkauften Menge entsteht:

G (x) = E (x) - K (x) .

Bei $12 ME$ beträgt der Erlös $732 GE$ , die Kosten betragen $652 GE$ .

G (12) = 732 - 652 = 80 GE .

Bei $9 ME$ liegen die Kosten über dem Erlös:

G (9) = 603 - 622 = - 19 GE .

Der Abstand beträgt $19 GE$ ; der Gewinn ist negativ. Die Gewinnhöhe liegt unter der Nullachse.

Gewinnschwelle bei $x \approx 9, 53$ , Gewinngrenze bei $x \approx 19, 12$ : An beiden Grenzen gilt $E (x) = K (x)$ und $G (x) = 0$ . Dazwischen entsteht Gewinn.

Beispiel: die Gewinnfunktion bilden

Gegeben sind die Kostenfunktion und die Preis-Absatz-Funktion:

K (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 11 x^{2} + 130 x + 100,

p (x) = - 2 x + 85.

E (x) = x \cdot p (x) = x (- 2 x + 85) = - 2 x^{2} + 85 x .

G (x) = E (x) - K (x) = (- 2 x^{2} + 85 x) - (\frac{1}{3} x^{3} - 11 x^{2} + 130 x + 100) = - 2 x^{2} + 85 x - \frac{1}{3} x^{3} + 11 x^{2} - 130 x - 100 = - \frac{1}{3} x^{3} + 9 (- 2 + 11) x^{2} + - 45 (85 - 130) x - 100.

G (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 9 x^{2} - 45 x - 100.

Gewinnmaximum bestimmen

Bei welcher Menge ist der Gewinn am größten? Und wie groß ist er?

G (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 9 x^{2} - 45 x - 100.

Notwendige Bedingung: G′(x) = 0

G^{'} (x) - x^{2} + 18 x - 45 x^{2} - 18 x + 45 x_{1, 2} x_{1} = 3, = - x^{2} + 18 x - 45 = 0 ∣ \cdot (- 1) = 0 = 9 \pm 81 - 45 = 9 \pm 6 x_{2} = 15.

Hinreichende Bedingung: Hochpunkt prüfen

Welche der beiden Stellen ist der Hochpunkt?

G^{''} (x) = - 2 x + 18.

G^{''} (3) G^{''} (15) = - 2 \cdot 3 + 18 = 12 > 0 \Rightarrow Tiefpunkt, = - 2 \cdot 15 + 18 = - 12 < 0 \Rightarrow Hochpunkt .

Maximalen Gewinn berechnen

G (15) = - \frac{1}{3} \cdot 1 5^{3} + 9 \cdot 1 5^{2} - 45 \cdot 15 - 100 = - 1125 + 2025 - 675 - 100 = 125.

Zulässiger Bereich: $0 \leq x \leq 42, 5$ , denn Menge und Preis müssen nichtnegativ sein.

G^{'} (x) G (0) p (42, 5) K (42, 5) = - (x - 3) (x - 15), = - 100, = 0, E (42, 5) = 0, > 0 \Rightarrow G (42, 5) < 0.

Der Hochpunkt liefert $125 GE$ und damit mehr als beide Ränder.

Gewinnmaximale Menge: $15 ME$ . Maximaler Gewinn: $125 GE$ .

x_{m a x} = 15, G_{m a x} = 125, H (15 ∣ 125) .

Warum G′(x) = 0?

Die Tangente bei $x = 12$ hat die Gleichung $y = 27 (x - 12) + 80$ . An ihr gilt:

m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{54}{2} = 27 GE/ME .

G (12) = 80, G^{'} (12) = 27.

Die obere Höhe ist der Gewinn. Die untere Höhe ist die Steigung der oberen Tangente.

G^{'} (x) G^{'} (x) = - x^{2} + 18 x - 45 = 0 Steigung, waagerecht .

x^{2} - 18 x + 45 = 0 \Rightarrow x = 3 oder 15.

$G^{'} (x) = 0$ findet die Stellen mit waagerechter Tangente.

Warum G″(x) < 0?

Bei $x = 15$ nimmt die Steigung ab: positiv, null, negativ. Die Kurve von $G^{'}$ fällt durch die Null.

G^{'} (15) = 0, G^{''} (15) = - 12 < 0.

Bei $x = 3$ nimmt die Steigung zu: negativ, null, positiv. Die Kurve von $G^{'}$ steigt durch die Null.

G^{'} (3) = 0, G^{''} (3) = 12 > 0.

Bei $3 ME$ ist der Verlust in dieser Umgebung am größten: $163 GE$ . Der Tiefpunkt ist $T (3 ∣ - 163)$ .

Beide Bedingungen gehören zusammen: $G^{'} (x_{0}) = 0$ und $G^{''} (x_{0}) < 0$ bestätigen einen Hochpunkt.

x = 15 : x = 18 : G^{'} = 0, G^{''} = - 12 G^{'} = - 45, G^{''} = - 18 Hochpunkt, Tangente f \overset{a}{¨} llt .

Wenn die zweite Ableitung null ist

f (x) = - (x - 2)^{4}, h (x) = (x - 2)^{3} .

Bei beiden ist an $x = 2$ die erste und die zweite Ableitung null.

$G^{''} (x_{0}) = 0$ : Dieser Test entscheidet nicht. Der Wechsel der ersten Ableitung von positiv zu negativ zeigt den Hochpunkt.

Cournotscher Punkt

Welcher Preis gehört zu $15 ME$ ?

p (x) p (15) = - 2 x + 85, = - 2 \cdot 15 + 85 = 55.

Preis: $55 GE/ME$ . Cournotscher Punkt: $C (15 ∣ 55)$ .

Der Cournotsche Punkt liegt auf der Preis-Absatz-Funktion bei der gewinnmaximalen Menge.

15 ME \cdot 55 GE/ME 825 GE - 700 GE = 825 GE, = 125 GE .

Schema

Bereich und Gewinnfunktion: Zulässigen Mengenbereich festlegen; $E (x) = x \cdot p (x)$ und $G (x) = E (x) - K (x)$ bilden.

Suchen: $G^{'} (x) = 0$ lösen und zulässige innere Kandidaten behalten.

Prüfen: Bei $G^{'} (x_{0}) = 0$ bestätigt $G^{''} (x_{0}) < 0$ einen Hochpunkt, $G^{''} (x_{0}) > 0$ einen Tiefpunkt. Bei $G^{''} (x_{0}) = 0$ den Verlauf von $G^{'}$ links und rechts prüfen.

Vergleichen: Gewinnwerte der möglichen Maximalstellen und der Ränder vergleichen. Der größte Wert ist $G_{m a x}$ , seine Menge $x_{m a x}$ .

Preis: $p (x_{m a x})$ berechnen. Bei einem inneren Hochpunkt steht $H (x_{m a x} ∣ G_{m a x})$ auf $G$ , der Punkt $C (x_{m a x} ∣ p (x_{m a x}))$ auf der Preis-Absatz-Funktion. Eine Randlösung braucht keine waagerechte Tangente; ihr Ergebnispunkt heißt hier $P$ .

Beispiele

a) Ganzzahlige Menge

p (x) 0 = 6 - x, \leq x \leq 6. K (x) = 2 x + 1,

E (x) = 6 x - x^{2}, G (x) = - x^{2} + 4 x - 1.

Suchen

G^{'} (x) = - 2 x + 4 = 0 \Rightarrow 2 x = 4 \Rightarrow x = 2.

Prüfen

G^{''} (x) = - 2, G^{''} (2) = - 2 < 0.

Vergleichen

G (2) G (0) G (6) = - 4 + 8 - 1 = 3, = - 1, = - 36 + 24 - 1 = - 13.

Preis

p (2) = 6 - 2 = 4.

$G_{m a x} = 3 GE$ bei $2 ME$ ; Preis $4 GE/ME$ .

b) Eine Menge als Bruch

p (x) K (x) E (x) G (x) = 5 - 3 x, = 3 x + 0, 1, 0 \leq x \leq 1, = - 3 x^{2} + 5 x, = - 3 x^{2} + 2 x - 0, 1.

Suchen

G^{'} (x) = - 6 x + 2 = 0 \Rightarrow 6 x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{3} .

Prüfen

G^{''} (x) = - 6, G^{''} (\frac{1}{3}) = - 6 < 0.

Vergleichen

G (\frac{1}{3}) G (0) = - 3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{3} - \frac{1}{10} = \frac{1}{3} - \frac{1}{10} = \frac{7}{30}, = - \frac{1}{10}, G (1) = - \frac{11}{10} .

Preis

p (\frac{1}{3}) = 5 - 1 = 4.

$G_{m a x} = \frac{7}{30} GE$ bei $\frac{1}{3} ME$ ; Preis $4 GE/ME$ .

c) Eine andere Menge

p (x) K (x) E (x) G (x) = 10 - 0, 5 x, = 2 x + 12, 0 \leq x \leq 20, = - 0, 5 x^{2} + 10 x, = - 0, 5 x^{2} + 8 x - 12.

Suchen

G^{'} (x) = - x + 8 = 0 \Rightarrow x = 8.

Prüfen

G^{''} (x) = - 1, G^{''} (8) = - 1 < 0.

Vergleichen

G (8) G (0) G (20) = - 0, 5 \cdot 64 + 64 - 12 = 20, = - 12, = - 200 + 160 - 12 = - 52.

Preis

p (8) = 10 - 4 = 6.

$G_{m a x} = 20 GE$ bei $8 ME$ ; Preis $6 GE/ME$ .

d) Zwei Kandidaten

p (x) K (x) 0 E (x) G (x) = 25 - x, = x^{3} - 10 x^{2} + 40 x + 4, \leq x \leq 10, = - x^{2} + 25 x, = - x^{3} + 9 x^{2} - 15 x - 4.

Suchen

G^{'} (x) x_{1, 2} x_{1} = - 3 x^{2} + 18 x - 15 = 0 \Rightarrow x^{2} - 6 x + 5 = 0 = 3 \pm 9 - 5 = 3 \pm 2 = 1, x_{2} = 5.

Prüfen

G^{''} (x) G^{''} (1) G^{''} (5) = - 6 x + 18, = 12 > 0, = - 12 < 0.

Vergleichen

G (5) G (0) G (10) = - 125 + 225 - 75 - 4 = 21, = - 4, = - 1000 + 900 - 150 - 4 = - 254.

Preis

p (5) = 25 - 5 = 20.

$G_{m a x} = 21 GE$ bei $5 ME$ ; Preis $20 GE/ME$ .

e) Auch das Maximum ist negativ

p (x) K (x) E (x) G (x) = 16 - 2 x, = 4 x + 25, 0 \leq x \leq 8, = - 2 x^{2} + 16 x, = - 2 x^{2} + 12 x - 25.

Suchen

G^{'} (x) = - 4 x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3.

Prüfen

G^{''} (x) = - 4, G^{''} (3) = - 4 < 0.

Vergleichen

G (3) G (0) G (8) = - 18 + 36 - 25 = - 7, = - 25, = - 128 + 96 - 25 = - 57.

Preis

p (3) = 16 - 6 = 10.

$G_{m a x} = - 7 GE$ . Kleinster Verlust im Modell: $7 GE$ bei $3 ME$ .

Die fünf Rechnungen im Vergleich

G′(x) = 0 → Kandidaten	G″ am Hochpunkt	Menge; Gewinn	Preis; C
G′(x) = 0 → Kandidatena) $G = - x^{2} + 4 x - 1$ ; $- 2 x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2$	G″ am Hochpunkt $G^{''} (2) = - 2 < 0$	Menge; Gewinn $2$ ME; $3$ GE	Preis; C $p = 6 - x$ ; $p (2) = 4$ ; $C (2 ∣ 4)$
G′(x) = 0 → Kandidatenb) $G = - 3 x^{2} + 2 x - 0, 1$ ; $- 6 x + 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$	G″ am Hochpunkt $G^{''} (\frac{1}{3}) = - 6 < 0$	Menge; Gewinn $\frac{1}{3}$ ME; $\frac{7}{30}$ GE	Preis; C $p = 5 - 3 x$ ; $p (\frac{1}{3}) = 4$ ; $C (\frac{1}{3} ∣ 4)$
G′(x) = 0 → Kandidatenc) $G = - 0, 5 x^{2} + 8 x - 12$ ; $- x + 8 = 0 \Rightarrow x = 8$	G″ am Hochpunkt $G^{''} (8) = - 1 < 0$	Menge; Gewinn $8$ ME; $20$ GE	Preis; C $p = 10 - 0, 5 x$ ; $p (8) = 6$ ; $C (8 ∣ 6)$
G′(x) = 0 → Kandidatend) $G = - x^{3} + 9 x^{2} - 15 x - 4$ ; $- 3 x^{2} + 18 x - 15 = 0$ ; $x = 1$ oder $5$	G″ am Hochpunkt $G^{''} (5) = - 12 < 0$	Menge; Gewinn $5$ ME; $21$ GE	Preis; C $p = 25 - x$ ; $p (5) = 20$ ; $C (5 ∣ 20)$
G′(x) = 0 → Kandidatene) $G = - 2 x^{2} + 12 x - 25$ ; $- 4 x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3$	G″ am Hochpunkt $G^{''} (3) = - 4 < 0$	Menge; Gewinn $3$ ME; $- 7$ GE	Preis; C $p = 16 - 2 x$ ; $p (3) = 10$ ; $C (3 ∣ 10)$

Bei begrenzter Menge

G (x) p (x) = - x^{2} + 10 x - 9, 0 \leq x \leq 4, = 14 - x, K (x) = 4 x + 9.

G^{'} (x) = - 2 x + 10 = 0 \Rightarrow x = 5 \in / [0; 4] .

G (0) = - 9, G (4) = - 16 + 40 - 9 = 15.

Größter Gewinn: $15 GE$ bei $4 ME$ . $P (4 ∣ 15)$ liegt am rechten Rand.

G^{'} (4) = 2, p (4) = 10.

Unter der Kapazitätsgrenze ist die optimale Preis-Mengen-Kombination $C (4 ∣ 10)$ . Die Tangente am optimalen Randpunkt steigt.

Übungen

Bestimmt die gewinnmaximale Menge, den maximalen Gewinn und den zugehörigen Preis im angegebenen Bereich.

a) $G (x) = - 2 x^{2} + 16 x - 6$ , $p (x) = 20 - 2 x$ , $0 \leq x \leq 10$ .
b) $G (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 2$ , $p (x) = 23 - x$ , $0 \leq x \leq 10$ .
c) $G (x) = - x^{2} + 12 x - 8$ , $p (x) = 16 - x$ , $0 \leq x \leq 4$ .

Lösung

Lösung a

Suchen

G^{'} (x) = - 4 x + 16 = 0 \Rightarrow x = 4.

Prüfen

G^{''} (4) = - 4 < 0.

Vergleichen

G (4) G (0) G (10) = - 32 + 64 - 6 = 26, = - 6, = - 200 + 160 - 6 = - 46.

Preis

p (4) = 20 - 8 = 12.

$26 GE$ bei $4 ME$ ; Preis $12 GE/ME$ .

H (4 ∣ 26), C (4 ∣ 12) .

Lösung b

Suchen

G^{'} (x) x_{1, 2} x_{1} = - x^{2} + 8 x - 7 = 0 \Rightarrow x^{2} - 8 x + 7 = 0, = 4 \pm 16 - 7 = 4 \pm 3, = 1, x_{2} = 7.

Prüfen

G^{''} (x) G^{''} (1) G^{''} (7) = - 2 x + 8, = 6 > 0, = - 6 < 0.

Vergleichen

G (7) G (0) G (10) = - \frac{343}{3} + 196 - 49 - 2 = \frac{92}{3}, = - 2, = - \frac{1000}{3} + 400 - 70 - 2 = - \frac{16}{3} .

Preis

p (7) = 23 - 7 = 16.

$\frac{92}{3} GE$ bei $7 ME$ ; Preis $16 GE/ME$ .

H (7 ∣ \frac{92}{3}), C (7 ∣ 16) .

Lösung c

Suchen

G^{'} (x) = - 2 x + 12 = 0 \Rightarrow x = 6 \in / [0; 4] .

Vergleichen

G (0) = - 8, G (4) = - 16 + 48 - 8 = 24.

Preis

p (4) = 16 - 4 = 12.

$24 GE$ bei $4 ME$ , zugehöriger Preis $12 GE/ME$ .

P (4 ∣ 24), G^{'} (4) = 4.

Wirtschaftliche Deutung

G^{'} (x) G^{'} (x) = E^{'} (x) - K^{'} (x), = 0 \Rightarrow E^{'} (x) - K^{'} (x) = 0 \Rightarrow E^{'} (x) = K^{'} (x) .

E^{'} (15) K^{'} (15) = - 4 \cdot 15 + 85 = 25, = 1 5^{2} - 22 \cdot 15 + 130 = 25.

An dieser Stelle stimmen die momentanen Änderungen von Erlös und Kosten überein: Grenzerlös und Grenzkosten betragen jeweils $25 GE/ME$ . Die Funktionswerte sind verschieden: $825 GE$ Erlös, $700 GE$ Kosten, $125 GE$ Gewinn. Die Gleichheit der Steigungen ist die stationäre Bedingung; die Maximumprüfung gehört weiterhin dazu.