m3 2.1 Wo die Kosten kehren
Eine Naeherei stellt T-Shirts her.
Das erste Dutzend kostet viel.
Das zweite kostet weniger, das dritte noch weniger.
Irgendwann kostet jedes weitere Dutzend wieder mehr als das davor.
Wo genau kehrt das um?
Die Kosten haengen an der Menge x, die am Tag genaeht wird.
Die 300 stehen auch bei x = 0.
Miete und Maschinen laufen, bevor ein einziges Shirt genaeht ist.
Das sind die Fixkosten Kf.
Fuenf Mengen, jedes Mal in K eingesetzt:
Die Kosten steigen in jeder Zeile. Das ueberrascht niemanden.
Wichtiger als die Kosten ist, was das naechste Dutzend zusaetzlich kostet.
Der Zuwachs je 20 Stueck steht in der rechten Spalte.
Der Zuwachs schrumpft also erst und waechst dann wieder.
- a)
- b)
- c)
- d)
- e)
Merken: Der Zuwachs faellt bis zur Mitte und steigt danach wieder. Die Kosten selbst steigen immer.
Die Kostenkehre ist die Stelle, an der der Zuwachs vom Schrumpfen ins Wachsen kippt.
In der Tabelle liegt der kleinste Zuwachs beim Schritt 40 auf 60. Genauer geht es mit der Ableitung.
Der Zuwachs je Stueck statt je Dutzend ist die Ableitung K'(x).
Ergebnis:
Bei 50 Stueck kostet das naechste Stueck 5 Euro, weniger als irgendwo sonst.
Herleitung:
Wo K'(x) am kleinsten ist, ist seine eigene Steigung null.
Ergebnis:
Schema
- a)K'(x) bilden
- b)K''(x) bilden und null setzen
- c)x ausrechnen: das ist die Kostenkehre
- d)K'(x) dort ausrechnen: der kleinste Zuwachs
Die Kostenkehre ist die Stelle, an der der Zuwachs vom Schrumpfen ins Wachsen kippt.
Die Kostenkehre liegt bei 50 Stueck.
Bei 40 Stueck kostet das naechste Stueck 5,6 Euro.
Bei 50 sind es 5 Euro, bei 60 wieder 5,6 Euro.
Merken: Kostenkehre ist die Stelle mit K''(x) = 0. Dort ist K'(x) am kleinsten.