m3 2.2 Wo die Kosten kehren

Ein Foodtruck verkauft Burger auf einem Festival.

Das erste Schritt kostet viel.

Das zweite kostet weniger, das dritte noch weniger.

Irgendwann kostet jedes weitere Schritt wieder mehr als das davor.

Wo genau kehrt das um?

x zaehlt die Burger eines Abends.

K(x) ist die Abendrechnung bei x Burger.

$x$	$K (x)$
$0$	$300$
$20$	$596$
$40$	$748$
$60$	$852$
$80$	$1004$
$100$	$1300$

K (x) = 0, 002 x^{3} - 0, 3 x^{2} + 20 x + 300

Die Kosten steigen in jeder Zeile. Das ueberrascht niemanden.

Die Fixkosten Kf fallen auch an, wenn nichts produziert wird: Standgebuehr und Gas.

K f = K (0) = 300

Die erste Zeile der Tafel steht bei x = 0, und sie ist nicht null.

Standgebuehr und Gas laufen, bevor das erste Stueck fertig ist.

Der Zuwachs

Der Zuwachs ist, was die naechsten zehn Burger zusaetzlich kostet: die Differenz zweier Zeilen der Tafel.

Der Zuwachs ist der Sprung von einer Zeile der Tafel zur naechsten.

Interessant ist der Schritt von Zeile zu Zeile.

Der Zuwachs schrumpft erst und waechst dann wieder.

a) $K (20) - K (0) = 596 - 300 = 296$
b) $K (40) - K (20) = 748 - 596 = 152$
c) $K (60) - K (40) = 852 - 748 = 104$

Bevor ihr weiterlest: Der dritte Schritt kostet 104 Euro. Was kostet der vierte: weniger, gleich viel oder mehr? (Lösung: Mehr: 152 Euro. Der Zuwachs waechst wieder.)

d) $K (80) - K (60) = 1004 - 852 = 152$
e) $K (100) - K (80) = 1300 - 1004 = 296$

Der Zuwachs gehoert zu die naechsten zehn Burger. Den Preis je Burger zeigt erst K'(x) im naechsten Bereich.

Merken: Der Zuwachs faellt bis zur Mitte. Die Kosten selbst steigen immer.

Aus dem Gedächtnis: Wie hoch waren die Fixkosten?

Lösung: Kf = 300 Euro, die Zeile x = 0.

Die Kostenkehre

K'(x) ist die Ableitung von K(x).

$x$	$K^{'} (x)$
$0$	$20$
$20$	$10, 4$
$40$	$5, 6$
$60$	$5, 6$
$80$	$10, 4$
$100$	$20$

K'(x) ist die Steigung von K(x): das m der Beruehrgeraden an der Kurve, wie in y = mx + b.

K^{'} (x) = 0, 006 x^{2} - 0, 6 x + 20

Der Zuwachs je Burger ist K'(x).

K''(x) ist die zweite Ableitung.

K''(x) ist die Steigung von K'(x): sie sagt, ob K'(x) gerade faellt oder steigt.

K^{''} (x) = 0, 012 x - 0, 6

K''(x) wechselt das Vorzeichen genau an der Kehre.

	die Schrittweite
Zuwachs	ein Schritt
$K^{'} (x)$	ein Stueck

Der Zuwachs zaehlt einen Schritt, K'(x) ein Burger.

Herleitung:

Der Zuwachs je Stueck.

K^{'} (x) = 0, 006 x^{2} - 0, 6 x + 20

Wo K'(x) am kleinsten ist, ist seine eigene Steigung null.

K^{''} (x) = 0, 012 x - 0, 6

K''(x) = 0 hat genau eine Loesung.

0, 012 x - 0, 6 = 0

Der Zuwachs an der Kehre ist der kleinste.

x = 50

K^{'} (50) = 0, 006 \cdot 5 0^{2} - 0, 6 \cdot 50 + 20

= 15 - 30 + 20 = 5

Ergebnis: $K^{'} (50) = 5$

Die Kostenkehre ist der Burger, ab dem es wieder teurer wird.

Die Kostenkehre ist der tiefste Punkt von K'(x): davor faellt K'(x), danach steigt es.

Das naechste Burger ist bei 50 am billigsten.

Die Kehre ist das Minimum von K'(x).

Wo K'(x) am kleinsten ist, ist K''(x) null.

Merken: Kostenkehre ist die Stelle mit K''(x) = 0. Dort ist K'(x) am kleinsten.

Schema

a)K'(x) bilden
b)K''(x) bilden und null setzen
c)x ausrechnen: das ist die Kostenkehre
d)K'(x) dort ausrechnen: der kleinste Zuwachs

Weitere Beispiele:

K (x) = 0, 001 x^{3} - 0, 09 x^{2} + 5 x + 100

K^{''} (x) = 0, 006 x - 0, 18

0, 006 x - 0, 18 = 0

x = 30

Ergebnis: $x = 30$

K (x) = 0, 004 x^{3} - 0, 48 x^{2} + 25 x + 800

K^{''} (x) = 0, 024 x - 0, 96

0, 024 x - 0, 96 = 0

x = 40

Ergebnis: $x = 40$

K (x) = 0, 002 x^{3} - 0, 42 x^{2} + 40 x + 300

K^{''} (x) = 0, 012 x - 0, 84

0, 012 x - 0, 84 = 0

x = 70

Ergebnis: $x = 70$

Rechnet nach: Setzt x = 50 in K''(x) ein.

Lösung: K''(x) wird null: das ist die Kehre.

Warum die zweite Ableitung:

Ein Tiefpunkt von K'(x) hat Steigung null; die Steigung von K'(x) heisst K''(x).

Jetzt ihr:

a) $K (x) = 0, 001 x^{3} - 0, 24 x^{2} + 30 x + 500$ Wo liegt die Kostenkehre?

Lösung: $K^{''} (x) = 0, 006 x - 0, 48$ , $0, 006 x - 0, 48 = 0$ , $x = 80$ .

b) $K (x) = 0, 003 x^{3} - 0, 27 x^{2} + 12 x + 200$ Wo liegt die Kostenkehre?

Lösung: $K^{''} (x) = 0, 018 x - 0, 54$ , $0, 018 x - 0, 54 = 0$ , $x = 30$ .