[M4 k2 v1] Minimalkostenkombination

Eine Firma stellt eine feste Menge her. Dafür gibt es viele Rezepte. Welches ist das billigste?

Ein Rezept sagt, wie viel die Firma von Faktor 1 und von Faktor 2 einsetzt. Der Fachname ist Faktorkombination. Kurz schreibt man das Rezept als Punkt $(r_{1} ∣ r_{2})$ : erst $r_{1}$ , dann $r_{2}$ .

Rezepte für 40 ME

Alle vier Rezepte liefern 40 ME. Bei allen ist das Produkt $r_{1} \cdot r_{2}$ gleich 16.

r_{2} (r_{1}) = \frac{16}{r _{1}}, r_{1} > 0

Gelesen wird das wie $f (x)$ : $r_{1}$ geht hinein, $r_{2}$ kommt heraus. Die Menge $x = 40$ ME steht auf keiner Achse. Sie steht als Name an der Kurve.

Was die Rezepte kosten

Die Faktorpreise heißen $q_{1}$ und $q_{2}$ . Ein Rezept kostet:

K = q_{1} \cdot r_{1} + q_{2} \cdot r_{2}

Die Kosten fallen erst und steigen dann. Der billigste Punkt liegt zwischen $r_{1} = 4$ und $r_{1} = 16$ . Probieren findet ihn nicht genau.

Weg 1: die Kosten als Funktion von r1

K (r_{1}) = 3 r_{1} + \frac{192}{r _{1}}

Die Menge bleibt fest bei 40 ME. Nur das Rezept ändert sich.

Minimalkostenkombination (MKK): $(8 ∣ 2)$ , $K_{m i n} = 48$ GE. Das ist noch billiger als 49,2 GE bei $r_{1} = 10$ .

Schema 1

1. Kosten aufstellen: $K = q_{1} r_{1} + q_{2} r_{2}$ 2. Isoquante für $r_{2}$ einsetzen: $K (r_{1})$ 3. $K^{'} (r_{1}) = 0$ lösen, nur $r_{1}$ aus dem Definitionsbereich 4. $K^{''} (r_{1}) > 0$ : Minimum 5. $r_{2}$ aus der Isoquante 6. $K_{m i n} = q_{1} r_{1} + q_{2} r_{2}$ 7. Antwort: MKK $(r_{1} ∣ r_{2})$ , $K_{m i n}$ in GE

Beispiele

Das Neue ist jeweils orange.

a) Andere Menge. Isoquante $r_{2} = \frac{36}{r _{1}}$ für 60 ME, $q_{1} = 3$ , $q_{2} = 12$ .

K (r_{1}) K^{'} (r_{1}) r_{1}^{2} r_{1} K^{''} (12) r_{2} K_{m i n} = 3 r_{1} + \frac{432}{r _{1}} = 3 - \frac{432}{r _{1}^{2}} = 0 = 144 = 12 = 0, 5 > 0 = \frac{36}{12} = 3 = 72

MKK $(12 ∣ 3)$ , $K_{m i n} = 72$ GE.

b) Andere Preise. Isoquante $r_{2} = \frac{100}{r _{1}}$ , $q_{1} = 8$ , $q_{2} = 2$ .

K (r_{1}) K^{'} (r_{1}) r_{1}^{2} r_{1} K^{''} (5) r_{2} K_{m i n} = 8 r_{1} + \frac{200}{r _{1}} = 8 - \frac{200}{r _{1}^{2}} = 0 = 25 = 5 = 3, 2 > 0 = \frac{100}{5} = 20 = 80

MKK $(5 ∣ 20)$ , $K_{m i n} = 80$ GE.

c) $r_{1}^{2}$ im Nenner. Isoquante $r_{2} = \frac{54}{r _{1}^{2}}$ , $q_{1} = 2$ , $q_{2} = 4$ .

K (r_{1}) K^{'} (r_{1}) r_{1}^{3} r_{1} K^{''} (6) r_{2} K_{m i n} = 2 r_{1} + 216 r_{1}^{- 2} = 2 - 432 r_{1}^{- 3} = 2 - \frac{432}{r _{1}^{3}} = 0 = 216 = 6 = \frac{1296}{1296} = 1 > 0 = \frac{54}{36} = 1, 5 = 18

MKK $(6 ∣ 1, 5)$ , $K_{m i n} = 18$ GE.

d) Verschobener Nenner. Isoquante $r_{2} = \frac{4}{r _{1} - 2} + 1$ , $r_{1} > 2$ , $q_{1} = 2$ , $q_{2} = 8$ .

K (r_{1}) K^{'} (r_{1}) (r_{1} - 2)^{2} r_{1} - 2 r_{1} K^{''} (6) r_{2} K_{m i n} = 2 r_{1} + \frac{32}{r _{1} - 2} + 8 = 2 - \frac{32}{( r _{1} - 2 ) ^{2}} = 0 = 16 = 4 oder - 4 = 6 = \frac{64}{64} = 1 > 0 = \frac{4}{4} + 1 = 2 = 12 + 16 = 28

$r_{1} = - 2$ entfällt, denn $r_{1} > 2$ . MKK $(6 ∣ 2)$ , $K_{m i n} = 28$ GE.

Merken: Die Isoquante für $r_{2}$ in die Kosten einsetzen. Dann ist die MKK der Tiefpunkt von $K (r_{1})$ .

Jetzt ihr

a) Jetzt du: Isoquante

r_{2} = \frac{18}{r _{1}}

q_{1} = 2

q_{2} = 4

. Bestimmt MKK und

K_{m i n}

Lösung

MKK

(6 ∣ 3)

K_{m i n} = 24

Übungen 1

Berechnet die MKK und die minimalen Kosten.

Jetzt ihr

r_{2} = \frac{50}{r _{1}}

q_{1} = 2

q_{2} = 4

Lösung

MKK

(10 ∣ 5)

K_{m i n} = 40

GE) b)

r_{2} = \frac{250}{r _{1}^{2}}

q_{1} = 8

q_{2} = 2

(Lösung: MKK

(5 ∣ 10)

K_{m i n} = 60

GE) c)

r_{2} = \frac{8}{r _{1} - 3} + 2

r_{1} > 3

q_{1} = 4

q_{2} = 2

(Lösung: MKK

(5 ∣ 6)

K_{m i n} = 32

Lösungen Schritt für Schritt

Jetzt ihr

a) Rechenweg zu Übung 1a

Lösung

K (r_{1}) = 2 r_{1} + \frac{200}{r _{1}}

;

K^{'} (r_{1}) = 2 - \frac{200}{r _{1}^{2}} = 0

, also

r_{1}^{2} = 100

r_{1} = 10

;

K^{''} (10) = \frac{400}{1000} = 0, 4 > 0

;

r_{2} = \frac{50}{10} = 5

;

K_{m i n} = 20 + 20 = 40

GE) b) Rechenweg zu Übung 1b (Lösung:

K (r_{1}) = 8 r_{1} + \frac{500}{r _{1}^{2}}

;

K^{'} (r_{1}) = 8 - \frac{1000}{r _{1}^{3}} = 0

, also

r_{1}^{3} = 125

r_{1} = 5

;

K^{''} (5) = \frac{3000}{625} = 4, 8 > 0

;

r_{2} = \frac{250}{25} = 10

;

K_{m i n} = 40 + 20 = 60

GE) c) Rechenweg zu Übung 1c (Lösung:

K (r_{1}) = 4 r_{1} + \frac{16}{r _{1} - 3} + 4

;

K^{'} (r_{1}) = 4 - \frac{16}{( r _{1} - 3 ) ^{2}} = 0

, also

(r_{1} - 3)^{2} = 4

r_{1} = 5

;

r_{1} = 1

entfällt, denn

r_{1} > 3

;

K^{''} (5) = \frac{32}{8} = 4 > 0

;

r_{2} = \frac{8}{2} + 2 = 6

;

K_{m i n} = 20 + 12 = 32

Isokostenlinien

r_{2} = 5 - 0, 25 r_{1}

Alle Rezepte auf dieser Geraden kosten 60 GE.

r_{2} = \frac{K}{q _{2}} - \frac{q _{1}}{q _{2}} \cdot r_{1}

Jetzt ihr

a) Jetzt du:

q_{1} = 6

q_{2} = 3

K = 30

. Stellt die Isokostenlinie auf.

Lösung

r_{2} = \frac{30}{3} - \frac{6}{3} \cdot r_{1} = 10 - 2 r_{1}

, Achsenabschnitte

(0 ∣ 10)

und

(5 ∣ 0)

Berühren statt schneiden

Vom Marktgleichgewicht kennt ihr: gleichsetzen, der Schnittpunkt ist das Ergebnis. Hier nicht.

Der Berührpunkt $(8 ∣ 2)$ ist die MKK. Er liegt genau über dem Tiefpunkt $T (8 ∣ 48)$ von $K (r_{1})$ .

Merken: Schneidet eine Isokostenlinie die Isoquante zweimal, geht es billiger. Die MKK liegt, wo eine Isokostenlinie die Isoquante berührt.

Weg 2: gleiche Steigung

Im Berührpunkt ist die Isokostenlinie die Tangente der Isoquante. Die Steigung der Isoquante ist $r_{2}^{'} (r_{1})$ .

Dasselbe Rezept wie auf Weg 1, und $K$ kam erst am Ende heraus.

Jede Ableitung gibt ungefähr die Änderung für eine Einheit mehr an, wie die Grenzkosten $K^{'} (x)$ . Die Menge bleibt 40 ME, denn das Rezept wandert auf der Isoquante.

Merken: Im Berührpunkt sind beide Steigungen gleich: $r_{2}^{'} (r_{1}) = - \frac{q _{1}}{q _{2}}$ . Dieser Punkt ist die MKK.

Schema 2

1. Isoquante ableiten: $r_{2}^{'} (r_{1})$ 2. $r_{2}^{'} (r_{1}) = - \frac{q _{1}}{q _{2}}$ lösen, nur $r_{1}$ aus dem Definitionsbereich 3. $r_{2}$ aus der Isoquante 4. $K_{m i n} = q_{1} r_{1} + q_{2} r_{2}$ 5. Isokostenlinie: $r_{2} = \frac{K _{m i n}}{q _{2}} - \frac{q _{1}}{q _{2}} r_{1}$ 6. Krümmung: $r_{2}^{''} (r_{1}) > 0$ 7. Antwort: MKK $(r_{1} ∣ r_{2})$ , $K_{m i n}$ in GE

Beispiele

a) Andere Preise. $r_{2} = \frac{30}{r _{1}}$ , $q_{1} = 6$ , $q_{2} = 5$ .

- \frac{30}{r _{1}^{2}} r_{1}^{2} r_{1} r_{2} K_{m i n} r_{2} r_{2}^{''} = - \frac{6}{5} = 25 = 5 = 6 = 30 + 30 = 60 = 12 - 1, 2 r_{1} = \frac{60}{r _{1}^{3}} > 0

MKK $(5 ∣ 6)$ , $K_{m i n} = 60$ GE.

b) Verschobener Nenner. $r_{2} = \frac{9}{r _{1} - 1} + 2$ , $r_{1} > 1$ , $q_{1} = 8$ , $q_{2} = 2$ .

- \frac{9}{( r _{1} - 1 ) ^{2}} (r_{1} - 1)^{2} r_{1} - 1 r_{1} r_{2} K_{m i n} r_{2} = - \frac{8}{2} = 2, 25 = 1, 5 oder - 1, 5 = 2, 5 = \frac{9}{1 , 5} + 2 = 8 = 20 + 16 = 36 = 18 - 4 r_{1}

$r_{1} = - 0, 5$ entfällt, denn $r_{1} > 1$ . $r_{2}^{''} (r_{1}) = \frac{18}{( r _{1} - 1 ) ^{3}} > 0$ . MKK $(2, 5 ∣ 8)$ , $K_{m i n} = 36$ GE.

c) $r_{1}^{2}$ im Nenner. $r_{2} = \frac{16}{r _{1}^{2}}$ , $q_{1} = 2$ , $q_{2} = 4$ .

r_{2}^{'} - \frac{32}{r _{1}^{3}} r_{1}^{3} r_{1} r_{2} K_{m i n} r_{2} = - 32 r_{1}^{- 3} = - \frac{2}{4} = 64 = 4 = 1 = 8 + 4 = 12 = 3 - 0, 5 r_{1}

$r_{2}^{''} (r_{1}) = \frac{96}{r _{1}^{4}} > 0$ . MKK $(4 ∣ 1)$ , $K_{m i n} = 12$ GE.

d) Rückwärts. Isoquante $r_{2} = \frac{16}{r _{1}}$ . Bei welchem Preisverhältnis ist $(2 ∣ 8)$ die MKK?

r_{2}^{'} (2) - 4 \frac{q _{1}}{q _{2}} = - \frac{16}{4} = - 4 = - \frac{q _{1}}{q _{2}} = 4

$q_{1} : q_{2} = 4 : 1$ , zum Beispiel $q_{1} = 12$ GE je ME und $q_{2} = 3$ GE je ME.

Jetzt ihr

a) Jetzt du: Isoquante

r_{2} = \frac{32}{r _{1}}

q_{1} = 2

q_{2} = 4

. Bestimmt MKK,

K_{m i n}

und die Isokostenlinie der MKK.

Lösung

MKK

(8 ∣ 4)

K_{m i n} = 32

GE,

r_{2} = 8 - 0, 5 r_{1}

Wenn ein Faktor teurer wird

Der $r_{2}$ -Abschnitt $\frac{K}{q _{2}}$ hängt nicht von $q_{1}$ ab. Darum dreht sich die Linie um den Punkt $(0 ∣ 4)$ .

Merken: Ein anderes $K$ verschiebt die Isokostenlinie parallel, ein anderer Preis dreht sie. Für die Lage der MKK zählt nur $\frac{q _{1}}{q _{2}}$ .

Übungen 2

Bestimmt mit gleichen Steigungen MKK, $K_{m i n}$ und die Isokostenlinie der MKK.

Jetzt ihr

r_{2} = \frac{12}{r _{1}}

q_{1} = 3

q_{2} = 4

Lösung

MKK

(4 ∣ 3)

K_{m i n} = 24

GE,

r_{2} = 6 - 0, 75 r_{1}

) b)

r_{2} = \frac{2}{r _{1} - 1} + 3

r_{1} > 1

q_{1} = 6

q_{2} = 3

(Lösung: MKK

(2 ∣ 5)

K_{m i n} = 27

GE,

r_{2} = 9 - 2 r_{1}

) c) Isoquante

r_{2} = \frac{36}{r _{1}}

: Bei welchem Preisverhältnis ist

(9 ∣ 4)

die MKK? (Lösung:

q_{1} : q_{2} = 4 : 9

) d) Isoquante

r_{2} = \frac{12}{r _{1}}

q_{1} = 3

. Faktor 2 wird teurer:

q_{2} = 9

statt 4. Neue MKK? Was kostet das alte Rezept

(4 ∣ 3)

jetzt? (Lösung: neue MKK

(6 ∣ 2)

K_{m i n} = 36

GE; das alte Rezept kostet 39 GE

Lösungen Schritt für Schritt

Jetzt ihr

a) Rechenweg zu Übung 2a

Lösung

- \frac{12}{r _{1}^{2}} = - \frac{3}{4}

, also

r_{1}^{2} = 16

r_{1} = 4

;

r_{2} = 3

;

K_{m i n} = 12 + 12 = 24

;

r_{2} = \frac{24}{4} - \frac{3}{4} r_{1} = 6 - 0, 75 r_{1}

;

r_{2}^{''} = \frac{24}{r _{1}^{3}} > 0

) b) Rechenweg zu Übung 2b (Lösung:

- \frac{2}{( r _{1} - 1 ) ^{2}} = - \frac{6}{3}

, also

(r_{1} - 1)^{2} = 1

r_{1} = 2

;

r_{1} = 0

entfällt, denn

r_{1} > 1

;

r_{2} = \frac{2}{1} + 3 = 5

;

K_{m i n} = 12 + 15 = 27

;

r_{2} = 9 - 2 r_{1}

;

r_{2}^{''} = \frac{4}{( r _{1} - 1 ) ^{3}} > 0

) c) Rechenweg zu Übung 2c (Lösung:

r_{2}^{'} (9) = - \frac{36}{81} = - \frac{4}{9} = - \frac{q _{1}}{q _{2}}

, also

\frac{q _{1}}{q _{2}} = \frac{4}{9}

, zum Beispiel

q_{1} = 4

und

q_{2} = 9

) d) Rechenweg zu Übung 2d (Lösung:

- \frac{12}{r _{1}^{2}} = - \frac{3}{9}

, also

r_{1}^{2} = 36

r_{1} = 6

;

r_{2} = 2

;

K_{m i n} = 18 + 18 = 36

;

r_{2} = 4 - \frac{1}{3} r_{1}

;

r_{2}^{''} = \frac{24}{r _{1}^{3}} > 0

; altes Rezept:

3 \cdot 4 + 9 \cdot 3 = 39

MKK und Kostenfunktion

Menge $x$	Isoquante	MKK	$K_{m i n}$
40 ME	$\frac{16}{r _{1}}$	$(8 ∣ 2)$	48 GE
60 ME	$\frac{36}{r _{1}}$	$(12 ∣ 3)$	72 GE

Die Kostenfunktion $K (x)$ rechnet damit, dass die Firma jede Menge mit ihrer MKK herstellt. Beide Faktoren wachsen mit der Menge. Ihre Kosten sind darum variable Kosten $K_{v} (x)$ . Dazu kommen die Fixkosten: $K (x) = K_{v} (x) + K_{f}$ .

Jetzt ihr

a) Jetzt du: Für 90 ME gilt die Isoquante

r_{2} = \frac{81}{r _{1}}

. Berechnet

K_{v} (90)

bei

q_{1} = 3

und

q_{2} = 12

Lösung

MKK

(18 ∣ 4, 5)

K_{v} (90) = 54 + 54 = 108

Theorie: warum gleiche Steigung?

Warum liefern beide Wege dasselbe Rezept?

Mit Faktor- und Summenregel abgeleitet. 1 ME Faktor 1 mehr kostet $q_{1}$ . Dabei ändert sich $r_{2}$ um etwa $r_{2}^{'} (r_{1})$ ME, und das ändert die Kosten um $q_{2} \cdot r_{2}^{'} (r_{1})$ . Im Beispiel ist $q_{1} = 3$ und $q_{2} = 12$ .

Die gleiche Steigung ist also die notwendige Bedingung $K^{'} (r_{1}) = 0$ , nur umgestellt. Ebenso die zweite Ableitung:

K^{''} (r_{1}) K^{''} (8) = q_{2} \cdot r_{2}^{''} (r_{1}) = 12 \cdot \frac{32}{r _{1}^{3}} = \frac{384}{r _{1}^{3}} = \frac{384}{512} = 0, 75 > 0

Merken: Ist die Isoquante linksgekrümmt, ist $r_{2}^{''} > 0$ und damit $K^{''} > 0$ . Der Berührpunkt ist dann immer das Kostenminimum.