[M4 m2 v1 A1] 2.1 Potenzgesetze

Was eine Potenz ist

Man liest „2 hoch 3“. Den Exponenten nennt man umgangssprachlich auch „Hochzahl“.

Potenz	Faktoren	Wert
$1 0^{4}$	$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$	$10000$
$5^{2}$	$5 \cdot 5$	$25$
$x^{5}$	$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$	bleibt $x^{5}$
$x^{1}$	ein einzelner Faktor $x$	$x$

Achtung: $5^{2}$ ist $5 \cdot 5 = 25$ , nicht $5 \cdot 2 = 10$ .

Allgemein ist $x^{n}$ das Produkt aus $n$ Faktoren $x$ . Dabei steht $n$ für irgendeine Anzahl.

Minus vor einer Potenz

Der Exponent gehört nur zu dem, was direkt vor ihm steht.

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Probe mit Zahlen: $2^{2} \cdot 2^{5} = 4 \cdot 32 = 128$ , und $2^{7} = 128.$

x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}

Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert.

- $x^{3} \cdot x^{4} = x^{7}$ - $x \cdot x^{6} = x^{1} \cdot x^{6} = x^{7}$ - $y^{4} \cdot y^{4} = y^{8}$ , nicht $y^{16}$

Bei verschiedenen Basen und bei einer Summe gilt das Gesetz nicht:

Potenzen mit gleicher Basis dividieren

Eine Division schreibt man als Bruch: $x^{5} : x^{2} = \frac{x ^{5}}{x ^{2}}$ .

Probe mit Zahlen: $\frac{2 ^{5}}{2 ^{2}} = \frac{32}{4} = 8$ , und $2^{3} = 8.$

\frac{x ^{m}}{x ^{n}} = x^{m - n}

Bei gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert. Man schreibt auch $x^{m} : x^{n}$ .

- $\frac{x ^{7}}{x ^{4}} = x^{3}$ - $\frac{2 ^{6}}{2 ^{2}} = 2^{4} = 16$

Bei einer Differenz und bei verschiedenen Basen gilt das Gesetz nicht:

Der Exponent 0

$\neq =$ heißt „ungleich“. Für $x = 0$ stünde $\frac{0}{0}$ da, und durch $0$ kann man nicht teilen.

- $5^{0} = 1$ - $(- 3)^{0} = 1$

$x^{0}$ ist keine Anzahl von Faktoren. Man legt es so fest, dass das Gesetz weiter gilt.

Negative Exponenten

Ein negativer Exponent heißt: Die Faktoren stehen im Nenner.

- $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ - $2^{- 2} = \frac{1}{4}$ . Das ist positiv, nicht $- 4$ .

Aus $\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ folgt: Eine Potenz kann über den Bruchstrich wandern. Das Vorzeichen ihres Exponenten, also $+$ oder $-$ , wechselt dabei.

Eine Zahl im Zähler (hier die $3$ , allgemein $c$ ) bleibt stehen:

\frac{c}{x ^{n}} = c \cdot x^{- n}

- $\frac{1}{x ^{5}} = x^{- 5}$

Es geht auch rückwärts: Ein negativer Exponent im Nenner wird oben positiv.

- $\frac{4}{x ^{- 3}} = 4 \cdot x^{3}$ - $\frac{10}{x ^{- 4}} = 10 \cdot x^{4}$

Potenzen potenzieren

Probe mit Zahlen: $(2^{2})^{3} = 4^{3} = 64$ , und $2^{6} = 64.$

(x^{m})^{n} = x^{m \cdot n}

Die Exponenten werden multipliziert.

- $(x^{3})^{2} = x^{6}$ - $(x^{2})^{5} = x^{10}$ - $(x^{2})^{12} = x^{24}$

Produkt und Quotient potenzieren

Ein Produkt ist ein Malnehmen wie $x \cdot y$ , ein Quotient ein Bruch wie $\frac{x}{y}$ .

(x \cdot y)^{n} = x^{n} \cdot y^{n}

(\frac{x}{y})^{n} = \frac{x ^{n}}{y ^{n}}

Der Exponent gilt für jeden Faktor in der Klammer und für Zähler und Nenner, auch für eine Zahl:

- $(2 x)^{3} = 2^{3} x^{3} = 8 x^{3}$ - $(3 y)^{2} = 9 y^{2}$ - $(\frac{x}{2})^{2} = \frac{x ^{2}}{4}$

Bei einer Summe (Plus) gilt das nicht:

(x + y)^{2} \neq = x^{2} + y^{2}

Probe mit $x = 1$ , $y = 2$ : $(1 + 2)^{2} = 9$ , aber $1^{2} + 2^{2} = 5$ .

Wurzeln als Potenzen

Die kleine Zahl an der Wurzel zählt die Faktoren. Steht keine da, sind es zwei.

Ein Exponent ist jetzt keine Anzahl mehr. Er wird wieder so gewählt, dass die Gesetze weiter gelten:

x = x^{\frac{1}{2}}

Probe: $9^{\frac{1}{2}} = 9 = 3$ . Genauso mit drei Faktoren:

x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = x^{1}

Allgemein:

n x = x^{\frac{1}{n}}

n x^{m} = x^{\frac{m}{n}}

- $3 x = x^{\frac{1}{3}}$ - $7 x^{9} = x^{\frac{9}{7}}$ - $38 = 8^{\frac{1}{3}} = 2$ , denn $2^{3} = 8$

Als Potenz geschrieben gelten für Wurzeln alle Gesetze:

- $x \cdot x = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{1} = x^{\frac{1}{2} + 1} = x^{\frac{3}{2}}$ - $\frac{1}{x} = x^{- \frac{1}{2}}$

Überblick

Gesetz	Formel
gleiche Basis multiplizieren	$x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$
gleiche Basis dividieren	$\frac{x ^{m}}{x ^{n}} = x^{m - n}$
Potenz potenzieren	$(x^{m})^{n} = x^{m \cdot n}$
Produkt potenzieren	$(x y)^{n} = x^{n} y^{n}$
Quotient potenzieren	$(\frac{x}{y})^{n} = \frac{x ^{n}}{y ^{n}}$
negativer Exponent	$\frac{c}{x ^{n}} = c \cdot x^{- n}$
Wurzel	$n x^{m} = x^{\frac{m}{n}}$
Sonderfälle	$x^{1} = x$ , $x^{0} = 1$ $(x \neq = 0)$

Aufgaben

Jetzt ihr

Vereinfachen Sie. a)

x^{4} \cdot x^{3}

\frac{y ^{9}}{y ^{3}}

(x^{4})^{3}

Lösung

x^{7}

y^{6}

x^{12}

Jetzt ihr

Vereinfachen Sie. a)

(2 x)^{3}

(\frac{x}{3})^{2}

Lösung

8 x^{3}

\frac{x ^{2}}{9}

Jetzt ihr

Schreiben Sie als Potenz. a)

\frac{5}{x ^{2}}

4 x^{3}

\frac{1}{3 x}

Lösung

5 x^{- 2}

x^{\frac{3}{4}}

x^{- \frac{1}{3}}

Jetzt ihr

Berechnen Sie. a)

(- 4)^{2}

- 4^{2}

2^{- 1}

Lösung

16

- 16

\frac{1}{2}