[M4 t2 v5] Regeln für das unbestimmte Integral

Potenzen integrieren

Jede Integrationsregel ist eine Ableitungsregel, rückwärts gelesen.

Schaut auf die orange Hochzahl. Oben leiten wir ab, unten integrieren wir:

Beim Ableiten wandert die $Hochzahl$ nach vorn und wird um 1 kleiner.

Beim Integrieren läuft es rückwärts: Die $Hochzahl$ wird um 1 größer und wandert in den Nenner. Dahinter kommt $+ c$ .

Jetzt $\int x^{5} d x$ . Darunter die Probe: Wir leiten das Ergebnis wieder ab.

Beim Ableiten kommt die 6 nach vorn und hebt sich mit $\frac{1}{6}$ weg. Übrig bleibt $x^{5}$ .

Dasselbe viermal, Zeile für Zeile:

Die dritte Zeile: $x$ ist dasselbe wie $x^{1}$ .

Merken: Die Hochzahl geht um 1 nach oben, geteilt wird durch die neue Hochzahl, dahinter $+ c$ .

Für jede Hochzahl $n$ gilt dasselbe. Aus der 5 wird $n$ , aus der 6 wird $n + 1$ :

Das ist die Potenzregel:

\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + c

Jetzt ihr

\int x^{9} d x

Lösung

\frac{1}{10} x^{10} + c

Eine Zahl davor: die Faktorregel

Steht eine $Zahl$ vor der Potenz, bleibt sie stehen. Sie steigt oben in den Bruch:

Oben im Bruch die $5$ , unten die neue Hochzahl $4$ .

Oft lässt sich der Bruch danach kürzen:

integrieren	ergibt
$3 x^{2}$	$\frac{3}{3} x^{3} + c = x^{3} + c$
$2 x^{5}$	$\frac{2}{6} x^{6} + c = \frac{1}{3} x^{6} + c$
$6 x = 6 x^{1}$	$\frac{6}{2} x^{2} + c = 3 x^{2} + c$

Eine Zahl allein ist eine Zahl mal $x^{0}$ , denn $x^{0} = 1$ :

\int 4 d x = \int 4 x^{0} d x = \frac{4}{1} x^{1} + c = 4 x + c

Merken: Die Zahl davor bleibt stehen und kommt oben in den Bruch.

Das ist die Faktorregel ( $k$ ist eine feste Zahl):

\int k \cdot f (x) d x = k \cdot \int f (x) d x

Jetzt ihr

\int 10 x^{4} d x

Lösung

\frac{10}{5} x^{5} + c = 2 x^{5} + c

Summen: die Summenregel

Bei einer Summe integriert ihr jeden Summanden für sich. Seht, was mit den $c$ passiert:

Jeder Summand bekäme sein eigenes $c$ . Drei feste Zahlen zusammengezählt sind wieder eine feste Zahl. Darum steht am Ende nur einmal $+ c$ .

Die Probe: Ableiten gibt die Summe zurück.

(\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} - 4 x)^{'} = x^{2} + 6 x - 4 ✓

Noch drei Summen, Summand für Summand:

integrieren	ergibt
$4 x^{3} + 2 x$	$\frac{4}{4} x^{4} + \frac{2}{2} x^{2} + c = x^{4} + x^{2} + c$
$9 x^{2} - 5$	$\frac{9}{3} x^{3} - 5 x + c = 3 x^{3} - 5 x + c$
$8 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 7$	$2 x^{4} - x^{3} + x^{2} - 7 x + c$

Das ist die Summenregel:

\int (f (x) + g (x)) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x

Jetzt ihr

\int (6 x^{2} + 4 x - 1) d x

Lösung

\frac{6}{3} x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} - x + c = 2 x^{3} + 2 x^{2} - x + c

Schema: Summen von Potenzen integrieren

1. Jeden Summanden für sich nehmen. 2. Hochzahl um 1 erhöhen, durch die neue Hochzahl teilen; die Zahl davor kommt oben in den Bruch. 3. Kürzen, wo es geht. 4. Einmal $+ c$ ans Ende. 5. Probe: ableiten.

Übungen: Potenzen integrieren

Erst einzelne Potenzen:

Jetzt ihr

\int x^{7} d x

Lösung

\frac{1}{8} x^{8} + c

b) $\int 12 x^{5} d x$ (Lösung: $\frac{12}{6} x^{6} + c = 2 x^{6} + c$ )

c) $\int 2 x^{4} d x$ (Lösung: $\frac{2}{5} x^{5} + c$ )

Jetzt Summen:

Jetzt ihr

\int (x^{3} - 4 x + 2) d x

Lösung

\frac{1}{4} x^{4} - \frac{4}{2} x^{2} + 2 x + c = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2} + 2 x + c

b) $\int (5 x^{4} + 3 x^{2} - 6) d x$ (Lösung: $\frac{5}{5} x^{5} + \frac{3}{3} x^{3} - 6 x + c = x^{5} + x^{3} - 6 x + c$ )

Brüche und Wurzeln integrieren

Ein Bruch mit $x$ im Nenner ist eine Potenz in anderer Schreibweise. Seht, wie aus dem Bruch eine Potenz wird, und wie sie dann integriert wird:

Die Hochzahl $- 3$ wurde um 1 größer: $- 3 + 1 = - 2$ . Geteilt wird durch die neue Hochzahl $- 2$ .

Probe: $(- \frac{1}{2} x^{- 2})^{'} = - \frac{1}{2} \cdot (- 2) x^{- 3} = x^{- 3}$ ✓

Das Ergebnis darf als Potenz stehen bleiben. Als Bruch: $- \frac{1}{2} x^{- 2} = - \frac{1}{2 x ^{2}}$ .

Um 1 größer heißt auf dem Zahlenstrahl: ein Schritt nach rechts. Das gilt auch für negative Hochzahlen und für Brüche:

Aus $- 3$ wird $- 2$ , nicht $- 4$ . Aus $- \frac{1}{2}$ wird $\frac{1}{2}$ .

Auch eine Wurzel ist eine Potenz. Ihre Hochzahl ist ein Bruch, $x = x^{\frac{1}{2}}$ . Seht, wie sie integriert wird:

Durch $\frac{3}{2}$ teilen heißt mit $\frac{2}{3}$ malnehmen: 3 und 2 tauschen die Plätze.

Probe: $(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})^{'} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = x$ ✓

Drei Brüche, erst als Potenz geschrieben:

integrieren	als Potenz	ergibt
$\frac{1}{x ^{2}}$	$x^{- 2}$	$\frac{1}{- 1} x^{- 1} + c = - x^{- 1} + c$
$\frac{6}{x ^{4}}$	$6 x^{- 4}$	$\frac{6}{- 3} x^{- 3} + c = - 2 x^{- 3} + c$
$\frac{1}{x}$	$x^{- \frac{1}{2}}$	$\frac{1}{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + c = 2 x^{\frac{1}{2}} + c$

Drei Wurzeln:

integrieren	als Potenz	ergibt
$3 x$	$x^{\frac{1}{3}}$	$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + c$
$x x$	$x^{1} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$	$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + c$
$4 x^{3}$	$4 x^{\frac{3}{2}}$	$4 \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + c = \frac{8}{5} x^{\frac{5}{2}} + c$

Merken: Erst als Potenz schreiben, dann wie gewohnt integrieren.

Jetzt ihr

\int \frac{2}{x ^{3}} d x

Lösung

\int 2 x^{- 3} d x = \frac{2}{- 2} x^{- 2} + c = - x^{- 2} + c

Jetzt ihr

\int 4 x d x

Lösung

\int x^{\frac{1}{4}} d x = \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + c

Übungen: Brüche und Wurzeln integrieren

Erst Brüche:

Jetzt ihr

\int \frac{1}{x ^{4}} d x

Lösung

\int x^{- 4} d x = \frac{1}{- 3} x^{- 3} + c = - \frac{1}{3} x^{- 3} + c

b) $\int \frac{8}{x ^{3}} d x$ (Lösung: $\int 8 x^{- 3} d x = \frac{8}{- 2} x^{- 2} + c = - 4 x^{- 2} + c$ )

c) $\int (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) d x$ (Lösung: $\int (x^{2} + x^{- 2}) d x = \frac{1}{3} x^{3} - x^{- 1} + c$ )

Jetzt Wurzeln:

Jetzt ihr

\int x^{5} d x

Lösung

\int x^{\frac{5}{2}} d x = \frac{1}{\frac{7}{2}} x^{\frac{7}{2}} + c = \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + c

b) $\int \frac{3}{x} d x$ (Lösung: $\int 3 x^{- \frac{1}{2}} d x = \frac{3}{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + c = 6 x^{\frac{1}{2}} + c$ )

Grundintegrale: 1/x, e hoch x, sin x und cos x

Eine Hochzahl schafft die Potenzregel nicht: die $- 1$ . Seht, was passiert:

Die Antwort steht in der Ableitungstabelle. Dort steht: $ln x$ , der natürliche Logarithmus, hat die Ableitung $\frac{1}{x}$ . Rückwärts gelesen:

ln x ableiten \frac{1}{x}

ln ∣ x ∣ + c integrieren \frac{1}{x}

Warum der Betrag $∣ x ∣$ ? $ln x$ gibt es nur rechts von 0, $\frac{1}{x}$ auch links. $ln ∣ x ∣$ bekommt links ein Spiegelbild dazu:

Rechts ist das $ln x$ , links das Spiegelbild $ln (- x)$ .

Stimmt die Ableitung auf beiden Seiten? Oben $ln ∣ x ∣$ , unten $\frac{1}{x}$ . Vergleicht die orange Steigung oben mit der orangen Höhe unten:

Bei $x = 2$ sind beide $0, 5$ , bei $x = - 2$ beide $- 0, 5$ . Die Steigung von $ln ∣ x ∣$ ist an jeder Stelle die Höhe von $\frac{1}{x}$ . Also ist $ln ∣ x ∣$ die Stammfunktion von $\frac{1}{x}$ .

Genauso liefert die Ableitungstabelle die anderen Grundintegrale:

$f (x)$	$\int f (x) d x$	Probe
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + c$	$(ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{x}$
$e^{x}$	$e^{x} + c$	$(e^{x})^{'} = e^{x}$
$cos x$	$sin x + c$	$(sin x)^{'} = cos x$
$sin x$	$- cos x + c$	$(- cos x)^{'} = sin x$

Warum steht das Minus bei $sin x$ ? Aus der Ableitungstabelle: $sin x$ abgeleitet gibt $cos x$ , $cos x$ abgeleitet gibt $- sin x$ , und so weiter im Kreis. Integrieren läuft denselben Kreis rückwärts:

Potenzregel oder Tabelle? Das entscheidet die Hochzahl:

integrieren	Hochzahl	Regel
$\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$	$- 2$	Potenzregel
$\frac{1}{x} = x^{- 1}$	$- 1$	Tabelle
$e^{x}$	$x$	Tabelle

Faktorregel und Summenregel gelten hier genauso:

integrieren	ergibt
$2 sin x$	$2 \cdot (- cos x) + c = - 2 cos x + c$
$\frac{3}{4 x} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x}$	$\frac{3}{4} ln ∣ x ∣ + c$
$e^{x} - 5 sin x$	$e^{x} - 5 \cdot (- cos x) + c = e^{x} + 5 cos x + c$

Merken: $\frac{1}{x}$ , $e^{x}$ , $sin x$ und $cos x$ integriert ihr mit der Ableitungstabelle, rückwärts gelesen. Das Minus steht bei $sin x$ .

Jetzt ihr

\int (6 cos x + \frac{2}{x}) d x

Lösung

6 sin x + 2 ln ∣ x ∣ + c

Übungen: Grundintegrale

Mit einer Zahl davor:

Jetzt ihr

\int 5 e^{x} d x

Lösung

5 e^{x} + c

b) $\int (- 4 sin x) d x$ (Lösung: $- 4 \cdot (- cos x) + c = 4 cos x + c$ )

c) $\int \frac{5}{2 x} d x$ (Lösung: $\int \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{5}{2} ln ∣ x ∣ + c$ )

Jetzt Summen:

Jetzt ihr

\int (2 cos x - e^{x}) d x

Lösung

2 sin x - e^{x} + c

b) $\int (x^{3} + \frac{1}{x} + sin x) d x$ (Lösung: $\frac{1}{4} x^{4} + ln ∣ x ∣ - cos x + c$ )

Funktionen von ax + b integrieren

Steht innen $a x + b$ , integriert ihr außen wie gewohnt und teilt durch $a$ .

Der Grund ist die Kettenregel: Beim Ableiten kommt die Ableitung von innen als Faktor dazu. Bei $e^{3 x}$ ist das die violette 3:

Beim Ableiten kommt die $3$ nach vorn. Beim Integrieren wird durch sie geteilt.

Und wenn innen noch $+ b$ steht? Leitet innen ab:

Das $b$ fällt beim Ableiten weg. Darum spielt es beim Teilen keine Rolle.

Zum Beispiel $\int cos (2 x + 1) d x$ , also $a = 2$ :

außen integriert: sin (2 x + 1) durch 2 geteilt: \frac{1}{2} sin (2 x + 1) + c

Probe: $(\frac{1}{2} sin (2 x + 1))^{'} = \frac{1}{2} \cdot cos (2 x + 1) \cdot 2 = cos (2 x + 1)$ ✓

Mit $e$ , $sin$ und $cos$ außen:

integrieren	$a$	ergibt
$e^{2 x}$	$2$	$\frac{1}{2} e^{2 x} + c$
$e^{- x}$	$- 1$	$\frac{1}{- 1} e^{- x} + c = - e^{- x} + c$
$sin (3 x)$	$3$	$\frac{1}{3} \cdot (- cos (3 x)) + c = - \frac{1}{3} cos (3 x) + c$
$cos (\frac{1}{2} x)$	$\frac{1}{2}$	$2 sin (\frac{1}{2} x) + c$

Mit einer Potenz außen:

integrieren	$a$	ergibt
$(2 x + 1)^{3}$	$2$	$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} (2 x + 1)^{4} + c = \frac{1}{8} (2 x + 1)^{4} + c$
$\frac{1}{3 x - 2}$	$3$	$\frac{1}{3} ln ∣ 3 x - 2 ∣ + c$
$4 x + 1 = (4 x + 1)^{\frac{1}{2}}$	$4$	$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} (4 x + 1)^{\frac{3}{2}} + c = \frac{1}{6} (4 x + 1)^{\frac{3}{2}} + c$

Merken: Steht innen $a x + b$ : außen integrieren wie gewohnt, dann durch $a$ teilen. Das $b$ spielt keine Rolle.

Das ist die lineare Verkettung ( $F$ ist eine Stammfunktion der äußeren Funktion $f$ ):

\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + c

Jetzt ihr

\int e^{5 x + 2} d x

Lösung

\frac{1}{5} e^{5 x + 2} + c

Jetzt ihr

\int (3 x - 1)^{4} d x

Lösung

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} (3 x - 1)^{5} + c = \frac{1}{15} (3 x - 1)^{5} + c

Schema: Funktionen von ax + b integrieren

1. Innen $a x + b$ erkennen und $a$ ablesen. 2. Außen integrieren; innen bleibt $a x + b$ stehen. 3. Durch $a$ teilen. 4. $+ c$ ans Ende. 5. Probe: ableiten mit der Kettenregel.

Wo das Teilen nicht klappt

Das Teilen klappt nur, wenn innen eine Zahl mal $x$ plus eine Zahl steht. Bei $(x^{2})^{3}$ steht innen $x^{2}$ , die Ableitung von innen ist $2 x$ , keine Zahl.

Durch $2 x$ teilen gibt ein falsches Ergebnis:

\frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{4} (x^{2})^{4} = \frac{1}{8} x^{7} ✗ richtig: \int x^{6} d x = \frac{1}{7} x^{7} + c

Für solche Funktionen gibt es ein eigenes Verfahren, die Substitution. Sie kommt in einem späteren Kapitel.

Übungen: Funktionen von ax + b integrieren

Erst $e$ , $sin$ und $cos$ außen:

Jetzt ihr

\int e^{4 x} d x

Lösung

a = 4

, also

\frac{1}{4} e^{4 x} + c

b) $\int sin (2 x - 3) d x$ (Lösung: $a = 2$ , außen $- cos (2 x - 3)$ , also $- \frac{1}{2} cos (2 x - 3) + c$ )

c) $\int cos (\frac{1}{3} x) d x$ (Lösung: $a = \frac{1}{3}$ ; durch $\frac{1}{3}$ teilen heißt mal 3: $3 sin (\frac{1}{3} x) + c$ )

Jetzt Brüche:

Jetzt ihr

\int \frac{1}{( 3 x + 1 ) ^{2}} d x

Lösung

(3 x + 1)^{- 2}

a = 3

, außen

\frac{1}{- 1} (3 x + 1)^{- 1}

, also

- \frac{1}{3} (3 x + 1)^{- 1} + c

b) $\int \frac{1}{2 x + 5} d x$ (Lösung: $a = 2$ , außen $ln ∣2 x + 5∣$ , also $\frac{1}{2} ln ∣2 x + 5∣ + c$ )

Erst umformen, dann integrieren

Für Produkte gibt es keine eigene Regel. Faktor für Faktor integrieren geht schief, etwa bei $\int x \cdot x d x$ :

\frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} = \frac{1}{4} x^{4} ✗ Probe: (\frac{1}{4} x^{4})^{'} = x^{3}

Herauskommen müsste aber $x \cdot x = x^{2}$ . Richtig ist $\int x^{2} d x = \frac{1}{3} x^{3} + c$ .

Darum macht ihr aus dem Produkt zuerst eine Summe. Bei $x (3 x - 2)$ wandert das $x$ zu jedem Summanden:

Jetzt Summand für Summand:

\int (3 x^{2} - 2 x) d x = \frac{3}{3} x^{3} - \frac{2}{2} x^{2} + c = x^{3} - x^{2} + c

Bei einem Bruch mit Summe im Zähler bekommt jeder Summand seinen eigenen Nenner:

Jetzt integriert ihr Summand für Summand:

\int (x + \frac{1}{x}) d x = \frac{1}{2} x^{2} + ln ∣ x ∣ + c

Zwei Produkte, erst ausmultipliziert:

integrieren	umgeformt	ergibt
$(2 x - 1) (x + 3)$	$2 x^{2} + 5 x - 3$	$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - 3 x + c$
$x^{2} (x^{2} - 3)$	$x^{4} - 3 x^{2}$	$\frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{3} x^{3} + c = \frac{1}{5} x^{5} - x^{3} + c$

Drei Brüche, erst aufgeteilt:

integrieren	umgeformt	ergibt
$\frac{x ^{3} + 2 x}{x}$	$x^{2} + 2$	$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x + c$
$\frac{4 x ^{2} - 1}{x ^{2}}$	$4 - x^{- 2}$	$4 x - \frac{1}{- 1} x^{- 1} + c = 4 x + x^{- 1} + c$
$\frac{e ^{2 x} + 1}{e ^{x}}$	$e^{x} + e^{- x}$	$e^{x} - e^{- x} + c$

Merken: Produkte ausmultiplizieren, Brüche aufteilen, dann Summand für Summand integrieren.

Jetzt ihr

\int x^{2} (x + 1) d x

Lösung

\int (x^{3} + x^{2}) d x = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + c

Schema: unbestimmtes Integral berechnen

1. Umformen: Produkte ausmultiplizieren, Brüche mit Summe im Zähler aufteilen, Wurzeln und Brüche als Potenz schreiben. 2. Summand für Summand integrieren: - Potenz von $x$ mit Hochzahl $n \neq = - 1$ : Hochzahl um 1 erhöhen, durch die neue Hochzahl teilen. - $\frac{1}{x}$ , $e^{x}$ , $sin x$ , $cos x$ : Grundintegrale. - innen $a x + b$ : außen wie gewohnt integrieren, durch $a$ teilen. - eine Zahl davor bleibt stehen. 3. Einmal $+ c$ ans Ende. 4. Probe: ableiten.

Übungen: erst umformen, dann integrieren

Erst Produkte und einfache Brüche:

Jetzt ihr

\int x (x + 4) d x

Lösung

\int (x^{2} + 4 x) d x = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + c = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + c

b) $\int \frac{6 x ^{2} + 3}{x} d x$ (Lösung: $\int (6 x + \frac{3}{x}) d x = 3 x^{2} + 3 ln ∣ x ∣ + c$ )

c) $\int \frac{x ^{2} - 2}{x ^{3}} d x$ (Lösung: $\int (\frac{1}{x} - 2 x^{- 3}) d x = ln ∣ x ∣ - \frac{2}{- 2} x^{- 2} + c = ln ∣ x ∣ + x^{- 2} + c$ )

Jetzt mit Wurzel und $e$ :

Jetzt ihr

\int \frac{2 x + 3}{x} d x

Lösung

\int (2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}}) d x = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} + c

b) $\int \frac{e ^{3 x} + e ^{x}}{e ^{x}} d x$ (Lösung: $\int (e^{2 x} + 1) d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + x + c$ )

Herleitung: Warum die Regeln stimmen

Jede Regel wird durch Ableiten bestätigt.

Potenzregel. Wie bei $x^{5}$ kommt die Hochzahl $n + 1$ nach vorn und hebt sich weg:

Für $n = - 1$ stünde im Nenner $- 1 + 1 = 0$ .

Faktorregel. Die Zahl $k$ bleibt beim Ableiten stehen, also auch beim Integrieren: $(k \cdot F (x))^{'} = k \cdot f (x)$ .

Summenregel. Summanden werden einzeln abgeleitet, also auch einzeln integriert: $(F (x) + G (x))^{'} = f (x) + g (x)$ .

Lineare Verkettung. Beim Ableiten kommt das innere $a$ als Faktor dazu und hebt sich mit $\frac{1}{a}$ weg: