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[M4 t2 v9] Potenzen integrieren

Zuerst das Ableiten, das du kennst. Dann dasselbe rückwärts.

ableitenx44x43 Exponent Potenzen ableiten kennst du schon.Die kleine Zahl oben heißt Exponent(umgangssprachlich: Hochzahl).Beim Ableiten wandert der Exponent nach vorn …… und oben steht jetzt eine Zahl weniger: 3.Integrieren ist Ableiten, rückwärts.Der Exponent wird um 1 größer: aus 3 wird 4.Dann teilst du durch den neuen Exponenten.Warum teilen? Leitest du ¼x⁴ ab,kommt die 4 wieder nach vorn.¼ · 4 = 1.Dahinter schreibst du + c.Das kennst du schon: …… eine Zahl allein fällt beim Ableiten weg.Darum schreiben wir sie immer mit. integrierenx3 x4 1 4 ¼ · 4 = 1 + c (x⁴ +5)′ = 4x³ + 0 0

Das zweite Beispiel. Das erste bleibt klein oben stehen.

x44x314x4+ cx3 ∫x5dx= Neues Beispiel: ∫ x⁵ dx.Der Exponent wird um 1 größer: 6.Teilen durch den neuen Exponenten.Und + c.Probe: ableiten. x 56 1 6 + c (16x6)′= 6 16·x5 1

Vom Beispiel zur Regel.

x44x314x4+ cx3∫x5dx=16x6+ c ∫x5ndx=16n+1x6n+1+ c+ c Das geht mit jedem Exponenten.Wir nennen ihn n.

Die Regel heißt Potenzregel:

Weitere Beispiele, immer dasselbe Muster.

∫xndx=1n+1xn+1+ c ∫x2dx= Beispiel: ∫ x² dx.Nicht ½: geteilt wird durch denneuen Exponenten.x allein hat den Exponenten 1.Auch große Exponenten: ∫ x¹¹ dx. x 23 1 3 + c 12 ∫x1dx= x 12 1 2 + c ∫x11dx= x 1112 1 12 + c ∫x5dx=16x6+ c Kurz gesagt: Exponent + 1, durch den neuenExponenten teilen, + c.

Jetzt du.

Jetzt du: ∫ x⁹ dx.∫x9dx=x+ c
Jetzt ihr
a)
Lösung