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Mengenlehre

Eine Menge beantwortet für jedes Ding eine Frage: drin oder nicht drin? Diese Seite stellt die Frage viermal, jedes Mal etwas anders:

1 3 5 7 2 3 drin, 2 draußen 2 3 1 4 B A liegt A ganz in B? 1 5 7 was liegt in beiden? 1 10 welche Zahlen sind drin?

Was ist eine Menge?

Die erste Frage: Ist eine Zahl drin oder nicht?

Eine Menge M ist wie ein Kreis um Dinge. Die 3 ist drin. Die 2 ist nicht drin. Aufgeschrieben: Elemente in { },getrennt durch Semikolon. M 1 3 5 7 3 ∈ M3 ist Element von M 2 2 ∉ M2 ist kein Element von M M = {1; 3; 5; 7}

Das Semikolon trennt, weil das Komma im Deutschen das Dezimalzeichen ist: {8,5; 7,2} sind zwei Zahlen, 8,5 und 7,2.

Was passiert, wenn man die Elemente anders aufschreibt?

M 1 3 5 7 {;;;} 7 5 3 1 = M {;;;;} 1 1 3 5 7 dieselbe 1: zählt einmal = M Andere Reihenfolge: dieselbe Menge? Ein Element doppelt: dieselbe Menge? M hat 4 verschiedene Elemente.Mächtigkeit: |M| = 4

Die Mächtigkeit |M| ist die Anzahl der verschiedenen Elemente:

MengeMächtigkeit
{3; 5; 7}3
{2; 5; 7; 9}4
{2; 2; 5}2, die 2 zählt einmal
Jetzt ihr
a) Ist 5 ∈ {1; 3; 5; 7}? b) Bestimmen Sie |{4; 8; 4; 8; 1}|.
Lösung
a) Ja, die 5 ist drin. b) Die verschiedenen Elemente sind 4, 8 und 1, also 3.

Teilmengen

Die zweite Frage, jetzt für zwei Mengen: Liegt jedes Element von A auch in B?

B = {1; 2; 3; 4; 7} A = {2; 3}. Liegt jedes Elementvon A auch in B? Ja: A ⊆ B,„A ist Teilmenge von B“. B hat noch mehr Elemente: 1, 4, 7. Darum auch A ⊂ B,„A ist echte Teilmenge von B“. B 1 4 7 3 2 A = {2; 3} 2 3 A A ⊆ B (Teilmenge) A ⊂ B (echte Teilmenge)

Man prüft jedes Element von A einzeln. Und wenn ein Element fehlt?

Dasselbe B. Jetzt D = {2; 9}. Liegt jedes Element von D in B? Die 9 liegt draußen: D ⊄ B,„D ist keine Teilmenge von B“. B 1 4 7 3 2 D = {2; 9} 2 9

Ein Element draußen reicht schon.

Sind beide Mengen gleich, gilt ⊆, aber nicht ⊂:

Aussagewahr?
{2; 3} ⊆ {2; 3}ja
{2; 3} ⊂ {2; 3}nein

⊆ ist wie ≤ (gleich ist erlaubt), ⊂ ist wie < (echt kleiner).

Achtung: ∈ steht vor einem Element, ⊆ vor einer Menge.

B 1 4 3 7 2 2 ∈ B die Zahl 2 B 1 4 3 7 {2} {2} ⊆ B die Menge {2}
Jetzt ihr
Gilt {1; 4; 5} ⊆ {1; 2; 3; 4; 7}?
Lösung
Nein, die 5 liegt nicht in der zweiten Menge.

Zahlbereiche

Die wichtigsten Mengen sind Zahlbereiche. Sie liegen ineinander wie A in B, das ist wieder die zweite Frage. Warum braucht man mehr als einen?

ℕ: die natürlichen Zahlen 0; 1; 2; 3; … 3 − 5 = −2. Liegt −2 in ℕ? Nein. Neuer Bereich ℤ, die ganzen Zahlen:dazu die negativen Zahlen. 2 : 5 = 2/5. Liegt 2/5 in ℤ? Nein. Neuer Bereich ℚ: alle Brüche,ganze Zahl : ganze Zahl (nicht durch 0). √2 ist kein Bruch.(Das kann man beweisen.) Neuer Bereich ℝ: alle Zahlenauf der Zahlengeraden. 6/3 sieht aus wie ein Bruch.Aber 6/3 = 2, also in ℕ. ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ: jeder Bereichliegt ganz im nächsten. ℕ natürliche Zahlen 0 1 3 5 −2 nicht in ℕ ℤ ganze Zahlen −1−8 2/5 nicht in ℤ ℚ Brüche −0,5 √2 nicht in ℚ ℝ reelle Zahlen πe 6/3 2

Eine Zahl liegt in ihrem kleinsten Bereich und in allen äußeren:

Zahlkleinster Bereichauch in
5ℕℤ, ℚ, ℝ
−1ℤℚ, ℝ
−0,5 = −1/2ℚℝ
6/3 = 2ℕℤ, ℚ, ℝ
√2ℝ

(Es gibt noch einen größeren Bereich, die komplexen Zahlen ℂ. Hier brauchen wir ihn nicht.)

Jetzt ihr
Geben Sie den kleinsten Zahlbereich an: a) −7 b) 0,25 c) π d) 10/5
Lösung
a) ℤ b) ℚ, denn 0,25 = 1/4 c) ℝ d) ℕ, denn 10/5 = 2

Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Differenzmenge

Die dritte Frage, für zwei Mengen, die sich überlappen: Was liegt in beiden, was in einer?

E = {1; 2; 5}, F = {5; 7; 8} Jedes Element liegt in einem Feld:nur in E, in beiden, nur in F. E F 1 2 5 7 8 nur Ebeidenur F E ∩ FSchnittmengein E und in F= {5} E ∪ FVereinigungsmengein E oder in F (5 nur einmal)= {1; 2; 5; 7; 8} E \ FDifferenzmenge„E ohne F“= {1; 2} F \ EDifferenzmenge„F ohne E“, nicht dasselbe!= {7; 8}

Und wenn sich zwei Mengen gar nicht überlappen?

K = {1; 2}, L = {10; 11}. Was liegt in beiden? Nichts. Die leere Mengehat keine Elemente. Vorsicht: {0} ist nicht leer. K 1 2 L 10 11 K ∩ L = ? K ∩ L = { } = = { }: 0 Elemente0{0}: 1 Element

Zum Üben: Eine Menge liegt ganz in der anderen.

T S 2 3 4 1 7
Jetzt ihr
S = {2; 3; 4} liegt ganz in T = {1; 2; 3; 4; 7}. Bestimmen Sie a) S ∩ T b) S ∪ T c) S \ T.
Lösung
a) {2; 3; 4} = S b) {1; 2; 3; 4; 7} = T c) ∅, denn kein Element von S liegt außerhalb von T.

Verknüpfte Mengenoperationen

Jetzt kommt die dritte Frage mehrmals hintereinander. Dafür brauchen wir eine neue Menge, die Primzahlen ℙ: natürliche Zahlen größer als 1, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind. ℙ = {2; 3; 5; 7; 11; 13; …}. Die 6 = 2 · 3 ist keine Primzahl. (Das Malzeichen ist ·. Man schreibt nicht ×, weil man es leicht mit der Variablen x verwechselt.)

Stehen mehrere Operationen hintereinander, welche rechnet man zuerst?

Bestimmen Sie (ℙ ∩ H) \ G. Die Klammer zuerst: Welche Elementevon H sind Primzahlen? 6 = 2 · 3 ist keine Primzahl. Dann \ G: Die 7 liegt in G,sie fällt weg. ℙ = {2; 3; 5; 7; 11; 13; …} H = {5; 6; 7} G = {2; 7; 8; 13} (ℙ ∩ H) \ G H = {5;6;7} ℙ ∩ H = {5; 7} {5;7} \ G (ℙ ∩ H) \ G = {5}

Spielt es eine Rolle, wo die Klammer steht?

Gleiche Mengen, andere Klammer:Ist das Ergebnis dasselbe? Oben: erst G ∪ H,dann die Primzahlen streichen. Unten: erst aus H die Primzahlenstreichen, dann mit G vereinigen. Nicht dasselbe: Die Klammerkann das Ergebnis ändern. ℙ = {2; 3; 5; 7; 11; 13; …} H = {5; 6; 7} G = {2; 7; 8; 13} (G ∪ H) \ ℙ G ∪ (H \ ℙ) G ∪ H = {2;5;6;7;8;13} (G ∪ H) \ ℙ = {6; 8} H = {5;6;7} H \ ℙ = {6} G ∪ {6} = {2; 6; 7; 8; 13} G ∪ (H \ ℙ) = {2; 6; 7; 8; 13} {6; 8} ≠ {2; 6; 7; 8; 13}

Stehen nur ∪ hintereinander (oder nur ∩), ist es egal, wo die Klammer steht, und sie darf weg. Beispiel mit G = {2; 7; 8; 13} und H = {5; 6; 7}:

- (G ∪ H) ∪ {1} = {2; 5; 6; 7; 8; 13} ∪ {1} = {1; 2; 5; 6; 7; 8; 13} - G ∪ (H ∪ {1}) = G ∪ {1; 5; 6; 7} = {1; 2; 5; 6; 7; 8; 13}

Ist eine Menge unendlich, schreibt man das Ergebnis kurz: ℙ ∪ {8} heißt „alle Primzahlen und dazu die 8“.

Jetzt ihr
G = {2; 7; 8; 13}, H = {5; 6; 7}. Bestimmen Sie a) ℙ ∪ G b) G ∪ H ∪ ℙ.
Lösung
a) 2, 7 und 13 sind schon Primzahlen, nur die 8 ist neu: ℙ ∪ {8}. b) Neu zu den Primzahlen kommen nur 6 und 8: ℙ ∪ {6; 8}.

Beschreibende Schreibweise

Die vierte Frage: Welche Zahlen sind drin? Wie schreibt man eine Menge mit vielen Elementen, ohne alle aufzuzählen? Mit einer Regel, die entscheidet, was drin ist.

Wir prüfen die ganzen Zahlen von −3 bis 8.x steht für die Zahl, die geprüft wird. Sieb 1: x ∈ ℕ.Nur natürliche Zahlen bleiben. Sieb 2: 2 ≤ x ≤ 6.Nur Zahlen von 2 bis 6 bleiben. Beide Siebe in einer Klammer.Der Strich | heißt „für die gilt“. −3 0 2 6 8 nicht in ℕ nicht 2 bis 6 x ∈ ℕ 2 ≤ x ≤ 6 {|}= {2; …; 6}Sieb 1Sieb 2| = für die gilt

Der Bereich vor dem Strich entscheidet mit. Was passiert mit derselben Bedingung in einem anderen Bereich?

Dieselbe Bedingung, drei Bereiche. In ℕ gibt es keine negativen Zahlen. In ℤ beginnt es bei −5. In ℝ: jede Zahl auf der Strecke. −5 ≤ x ≤ 10 −5 0 5 10 ℕ 11Zahlen −5 0 5 10 ℤ 16Zahlen −5 0 5 10 ℝ unend-lichviele

Bedingung −5 ≤ x ≤ 10:

Bereichaufgezählt
ℕ{0; 1; …; 10}
ℤ{−5; −4; …; 10}
ℝgeht nicht: unendlich viele

Intervalle

Die Menge in ℝ kann man nicht aufzählen. Dafür gibt es eine Kurzschrift, das Intervall: {x ∈ ℝ | 1 ≤ x ≤ 10} = [1; 10]. Wieder die vierte Frage: Welche Zahlen auf der Zahlengeraden sind drin, und sind die Ränder drin?

−51510[1; 10]1 ≤ x ≤ 10 [ ] 1 drin −51510]1; 10[1 < x < 10 ] [ 1 nicht drin −51510]1; 10]1 < x ≤ 10 ] ] = (1; 10] −502510[−5; 2[−5 ≤ x < 2 [ [ = [−5; 2) Ein Intervall: eine Strecke auf der Zahlengeraden.Die Klammer sagt, ob der Rand drin ist. [ und ] zeigen zur Zahl:der Rand ist drin, voller Punkt. ] und [ zeigen weg:der Rand ist nicht drin, leerer Kreis. Gemischt: 1 ist nicht drin,10 ist drin. Statt ] und [ nach außenschreibt man auch ( und ). Links drin, rechts nicht drin. Statt ] und [ nach außenschreibt man auch ( und ).

Gehört 1,001 zu ]1; 10]? Ja: 1,001 ist größer als 1. Nur die 1 selbst ist nicht drin.

Was bleibt, wenn x außerdem eine natürliche oder ganze Zahl sein soll?

−208x ∈ ℕ, x ∈ [−2; 8] {0; 1; …; 8} 110x ∈ ℕ, x ∈ ]1; 10] {2; 3; …; 10} −502x ∈ ℤ, x ∈ [−5; 2[ {−5; −4; …; 1} Wieder zwei Siebe: der Bereichund das Intervall. −2 und −1 liegen im Intervall,aber nicht in ℕ. Bei ]1; 10] ist der Rand 1nicht drin. Bei [−5; 2[ ist der Rand 2nicht drin.
Jetzt ihr
a) Schreiben Sie ]−3; 4] als Bedingung. b) x ∈ ℤ, x ∈ ]−3; 4]: Geben Sie alle x an. Schreiben Sie das Intervall auch mit runden Klammern.
Lösung
a) −3 < x ≤ 4 b) {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}; ]−3; 4] = (−3; 4]

Rückblick

Alles auf dieser Seite war dieselbe Frage: drin oder nicht drin?

1 3 5 7 2 3 drin, 2 draußen 2 3 1 4 B A liegt A ganz in B? 1 5 7 was liegt in beiden? 1 10 welche Zahlen sind drin?

- Menge: 3 ∈ M heißt „3 ist drin“, 2 ∉ M heißt „2 ist nicht drin“. - Teilmenge: A ⊆ B, wenn jedes Element von A auch in B ist. - Zwei Mengen: ∩ (in beiden), ∪ (in einer oder beiden), \ (ohne) wählen die Felder aus. - Zahlen: Bereich und Bedingung, als Sieb oder als Intervall, entscheiden, welche Zahlen drin sind.