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[M4 k2 v2] Minimalkostenkombination

Eine Firma will eine feste Menge herstellen. Welches Rezept ist dafür am billigsten?

Wie findet man diesen Punkt, ohne die ganze Kurve abzulaufen? Dafür gibt es zwei Rechenwege. Zuerst braucht ihr die Kurve selbst.

Rezepte für 40 ME: die Isoquante

Eine Firma stellt 40 ME her. Diese Menge heißt Ausbringungsmenge $x$ . Sie braucht zwei Produktionsfaktoren (das, was in die Produktion hineingeht, zum Beispiel Arbeit und Maschinen): Faktor 1 und Faktor 2.

So ein Rezept heißt Faktorkombination. Kurz schreibt man den Punkt $(2 ∣ 8)$ : erst $r_{1}$ , dann $r_{2}$ .

Die Firma kann auch andere Rezepte nehmen.

Was haben die vier Rezepte gemeinsam?

Aus diesem Muster wird eine Formel.

Mit der Formel rechnet ihr jedes Rezept aus.

Weg 1: die Kosten als Funktion von r₁

Was ein Rezept kostet

Faktor 1 kostet $q_{1} = 3$ GE je ME, Faktor 2 kostet $q_{2} = 12$ GE je ME. Das sind die Faktorpreise. Die Firma zahlt beide.

Das billigste Rezept kennt ihr aus dem Bild oben: $(8 ∣ 2)$ für 48 GE. Durch Probieren findet man es nicht sicher. Ihr braucht eine Rechnung.

Eine Variable weniger

Die Kosten hängen noch von $r_{1}$ und $r_{2}$ ab. Die Isoquante sagt, wie $r_{2}$ von $r_{1}$ abhängt.

Die Menge bleibt 40 ME, nur das Rezept ändert sich.

Das Bild zu K(r₁)

Jedes Rezept hat einen Preis. Diese Preise tragt ihr unter der Isoquante auf.

Den Tiefpunkt berechnen

Zum Ableiten schreibt ihr den Bruch als Potenz:

K (r_{1}) = 3 r_{1} + 192 r_{1}^{- 1}

Notwendige Bedingung: Der Exponent $- 1$ wandert nach vorn.

K^{'} (r_{1}) = 3 - 192 r_{1}^{- 2} = 3 - \frac{192}{r _{1}^{2}}

3 - \frac{192}{r _{1}^{2}} 3 r_{1}^{2} - 192 3 r_{1}^{2} r_{1}^{2} r_{1} = 0 = 0 = 192 = 64 = 8 \cdot r_{1}^{2} + 192 : 3

$r_{1} = - 8$ entfällt, denn $r_{1} > 0$ .

Hinreichende Bedingung:

K^{''} (r_{1}) K^{''} (8) = \frac{384}{r _{1}^{3}} = \frac{384}{512} = 0, 75 > 0

Also ein Minimum.

Rezept und Kosten:

r_{2} K_{m i n} = \frac{16}{8} = 2 = 3 \cdot 8 + 12 \cdot 2 = 24 + 24 = 48

MKK $(8 ∣ 2)$ , $K_{m i n} = 48$ GE. Diese Zahlen gehören an ihren Ort im Bild:

Schema: MKK berechnen (Weg 1)

1. Kosten aufstellen: $K = q_{1} \cdot r_{1} + q_{2} \cdot r_{2}$ (im Beispiel $3 r_{1} + 12 r_{2}$ ) 2. Isoquante für $r_{2}$ einsetzen: $K (r_{1}) = q_{1} \cdot r_{1} + q_{2} \cdot r_{2} (r_{1})$ (hier $3 r_{1} + \frac{192}{r _{1}}$ ) 3. Notwendige Bedingung: $K^{'} (r_{1}) = 0$ lösen, nur $r_{1}$ aus dem Definitionsbereich behalten (hier $r_{1} = 8$ ) 4. Hinreichende Bedingung: $K^{''} (r_{1}) > 0$ , also Minimum (hier $0, 75 > 0$ ) 5. $r_{2}$ berechnen: $r_{1}$ in die Isoquante einsetzen (hier $r_{2} = 2$ ) 6. $K_{m i n} = q_{1} \cdot r_{1} + q_{2} \cdot r_{2}$ (hier 48) 7. Antwort: MKK $(r_{1} ∣ r_{2})$ , $K_{m i n}$ in GE

Beispiele

a) Andere Menge: $r_{2} = \frac{36}{r _{1}}$ (für 60 ME), $q_{1} = 3$ , $q_{2} = 12$

K (r_{1}) K^{'} (r_{1}) r_{1}^{2} r_{1} = 3 r_{1} + 12 \cdot \frac{36}{r _{1}} = 3 r_{1} + \frac{432}{r _{1}} = 3 - \frac{432}{r _{1}^{2}} = 0 = 144 = 12

K^{''} (r_{1}) K^{''} (12) r_{2} K_{m i n} = \frac{864}{r _{1}^{3}} = 0, 5 > 0 = \frac{36}{12} = 3 = 36 + 36 = 72

MKK $(12 ∣ 3)$ , $K_{m i n} = 72$ GE.

b) Faktor 1 teurer als Faktor 2: $r_{2} = \frac{100}{r _{1}}$ , $q_{1} = 8$ , $q_{2} = 2$

K (r_{1}) K^{'} (r_{1}) r_{1}^{2} r_{1} = 8 r_{1} + 2 \cdot \frac{100}{r _{1}} = 8 r_{1} + \frac{200}{r _{1}} = 8 - \frac{200}{r _{1}^{2}} = 0 = 25 = 5

K^{''} (5) r_{2} K_{m i n} = \frac{400}{125} = 3, 2 > 0 = \frac{100}{5} = 20 = 40 + 40 = 80

MKK $(5 ∣ 20)$ , $K_{m i n} = 80$ GE.

c) $r_{1}^{2}$ im Nenner: $r_{2} = \frac{54}{r _{1}^{2}}$ , $q_{1} = 2$ , $q_{2} = 4$

K (r_{1}) = 2 r_{1} + 4 \cdot \frac{54}{r _{1}^{2}} = 2 r_{1} + \frac{216}{r _{1}^{2}} = 2 r_{1} + 216 r_{1}^{- 2}

K^{'} (r_{1}) r_{1}^{3} r_{1} = 2 - 432 r_{1}^{- 3} = 2 - \frac{432}{r _{1}^{3}} = 0 = 216 = 6

K^{''} (r_{1}) K^{''} (6) r_{2} K_{m i n} = \frac{1296}{r _{1}^{4}} = 1 > 0 = \frac{54}{36} = 1, 5 = 12 + 6 = 18

MKK $(6 ∣ 1, 5)$ , $K_{m i n} = 18$ GE.

d) Eine Lösung entfällt: $r_{2} = \frac{4}{r _{1} - 2} + 1$ , $r_{1} > 2$ , $q_{1} = 2$ , $q_{2} = 8$

Zuerst das Bild dieser Isoquante:

K (r_{1}) = 2 r_{1} + 8 \cdot (\frac{4}{r _{1} - 2} + 1) = 2 r_{1} + \frac{32}{r _{1} - 2} + 8

K^{'} (r_{1}) (r_{1} - 2)^{2} = 2 - \frac{32}{( r _{1} - 2 ) ^{2}} = 0 = 16

Also $r_{1} - 2 = 4$ oder $r_{1} - 2 = - 4$ , das heißt $r_{1} = 6$ oder $r_{1} = - 2$ . $r_{1} = - 2$ entfällt: Es liegt sogar links der $r_{2}$ -Achse; Rezepte gibt es nur rechts der gestrichelten Linie $r_{1} = 2$ .

K^{''} (r_{1}) K^{''} (6) r_{2} K_{m i n} = \frac{64}{( r _{1} - 2 ) ^{3}} = 1 > 0 = \frac{4}{4} + 1 = 2 = 12 + 16 = 28

MKK $(6 ∣ 2)$ , $K_{m i n} = 28$ GE.

Merken: Isoquante für $r_{2}$ in die Kosten einsetzen. Dann hängen die Kosten nur noch von $r_{1}$ ab, und die MKK ist ihr Tiefpunkt.

Übungen 1

Berechnet die Minimalkostenkombination und die minimalen Kosten.

Jetzt ihr

r_{2} = \frac{18}{r _{1}}

q_{1} = 2

q_{2} = 4

Lösung

K (r_{1}) = 2 r_{1} + \frac{72}{r _{1}}

;

K^{'} (r_{1}) = 2 - \frac{72}{r _{1}^{2}} = 0

, also

r_{1}^{2} = 36

r_{1} = 6

;

K^{''} (6) = \frac{144}{216} > 0

;

r_{2} = 3

;

K_{m i n} = 12 + 12 = 24

; MKK

(6 ∣ 3)

, 24 GE

Jetzt ihr

r_{2} = \frac{50}{r _{1}}

q_{1} = 2

q_{2} = 4

Lösung

K (r_{1}) = 2 r_{1} + \frac{200}{r _{1}}

;

K^{'} = 2 - \frac{200}{r _{1}^{2}} = 0

, also

r_{1}^{2} = 100

r_{1} = 10

;

K^{''} (10) = \frac{400}{1000} = 0, 4 > 0

;

r_{2} = 5

;

K_{m i n} = 20 + 20 = 40

; MKK

(10 ∣ 5)

, 40 GE) b)

r_{2} = \frac{250}{r _{1}^{2}}

q_{1} = 8

q_{2} = 2

(Lösung:

K (r_{1}) = 8 r_{1} + \frac{500}{r _{1}^{2}}

;

K^{'} = 8 - \frac{1000}{r _{1}^{3}} = 0

, also

r_{1}^{3} = 125

r_{1} = 5

;

K^{''} (5) = \frac{3000}{625} = 4, 8 > 0

;

r_{2} = \frac{250}{25} = 10

;

K_{m i n} = 40 + 20 = 60

; MKK

(5 ∣ 10)

, 60 GE) c)

r_{2} = \frac{8}{r _{1} - 3} + 2

r_{1} > 3

q_{1} = 4

q_{2} = 2

(Lösung:

K (r_{1}) = 4 r_{1} + \frac{16}{r _{1} - 3} + 4

;

K^{'} = 4 - \frac{16}{( r _{1} - 3 ) ^{2}} = 0

, also

(r_{1} - 3)^{2} = 4

r_{1} = 5

;

r_{1} = 1

entfällt, denn

r_{1} > 3

;

K^{''} (5) = \frac{32}{8} = 4 > 0

;

r_{2} = \frac{8}{2} + 2 = 6

;

K_{m i n} = 20 + 12 = 32

; MKK

(5 ∣ 6)

, 32 GE

Weg 2: im Bild der Rezepte

Weg 1 findet die MKK als Tiefpunkt eines zweiten Graphen. Weg 2 findet denselben Punkt $(8 ∣ 2)$ direkt im Bild der Isoquante. Dafür braucht ihr Linien gleicher Kosten.

Rezepte mit gleichen Kosten

Zwei Rezepte aus Weg 1 kosten gleich viel.

Wo trifft die Linie die Achsen, und wie steil ist sie?

Allgemein, Gleiches über Gleichem:

r_{2} r_{2} = \frac{60}{12} - \frac{3}{12} \cdot r_{1} = \frac{K}{q _{2}} - \frac{q _{1}}{q _{2}} \cdot r_{1}

Jetzt ihr

q_{1} = 6

q_{2} = 3

K = 30

. Stellt die Isokostenlinie auf.

Lösung

r_{2} = \frac{30}{3} - \frac{6}{3} \cdot r_{1} = 10 - 2 r_{1}

; Achsenabschnitte

(0 ∣ 10)

und

(5 ∣ 0)

Berühren statt schneiden

Die Linie für 60 GE schneidet die Isoquante zweimal. Was passiert mit weniger Geld?

Und mit noch weniger Geld?

Merken: Schneidet eine Isokostenlinie die Isoquante zweimal, geht es billiger. Die MKK liegt dort, wo eine Isokostenlinie die Isoquante berührt.

Zur Kontrolle rechnerisch: Wie viele gemeinsame Punkte hat die Linie mit der Isoquante? Setzt beide gleich, für ein beliebiges $K$ . Schritt für Schritt:

\frac{16}{r _{1}} 192 3 r_{1}^{2} + 192 3 r_{1}^{2} - K r_{1} + 192 r_{1}^{2} - \frac{K}{3} r_{1} + 64 = \frac{K}{12} - 0, 25 r_{1} = K r_{1} - 3 r_{1}^{2} = K r_{1} = 0 = 0 \cdot 12 r_{1} + 3 r_{1}^{2} - K r_{1} : 3

Jetzt die drei Linien einzeln, jede mit der p-q-Formel $r_{1} = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q$ .

$K = 60$ : $r_{1}^{2} - 20 r_{1} + 64 = 0$ , also $p = - 20$ , $q = 64$ .

r_{1} = 10 \pm 1 0^{2} - 64 = 10 \pm 36 = 10 \pm 6

Zwei Lösungen, 4 und 16: die Linie schneidet zweimal.

$K = 48$ : $r_{1}^{2} - 16 r_{1} + 64 = 0$ , also $p = - 16$ , $q = 64$ .

r_{1} = 8 \pm 8^{2} - 64 = 8 \pm 0 = 8

Eine Lösung, 8: die Linie berührt.

$K = 36$ : $r_{1}^{2} - 12 r_{1} + 64 = 0$ , also $p = - 12$ , $q = 64$ .

r_{1} = 6 \pm 6^{2} - 64 = 6 \pm - 28

Unter der Wurzel steht eine negative Zahl: keine Lösung, die Linie verfehlt.

Zwei, eine, keine Lösung: schneiden, berühren, verfehlen.

Gleiche Steigung

In der Szene oben war $K = 48$ schon bekannt. Wie findet man den Berührpunkt, ohne $K$ zu kennen?

Wie steil ist diese Tangente im Berührpunkt?

Jetzt rechnen. Ableiten, der Exponent wandert nach vorn:

r_{2} r_{2}^{'} (r_{1}) = 16 r_{1}^{- 1} = - 16 r_{1}^{- 2} = - \frac{16}{r _{1}^{2}}

Gleiche Steigung:

- \frac{16}{r _{1}^{2}} - 16 r_{1}^{2} r_{1} = - 0, 25 = - 0, 25 r_{1}^{2} = 64 = 8 \cdot r_{1}^{2} : (- 0, 25)

$r_{1} = - 8$ entfällt. Dann $r_{2} = \frac{16}{8} = 2$ und $K_{m i n} = 3 \cdot 8 + 12 \cdot 2 = 48$ .

MKK $(8 ∣ 2)$ , $K_{m i n} = 48$ GE. Dasselbe Rezept wie in Weg 1, und $K$ kam erst am Ende heraus.

Was r₂′ sagt

Jede Ableitung gibt ungefähr die Änderung für eine Einheit mehr an, so wie die Grenzkosten $K^{'} (x)$ . Hier: 1 ME Faktor 1 mehr, dann ändert sich $r_{2}$ um etwa $r_{2}^{'} (r_{1})$ ME. Die Menge bleibt 40 ME.

Die Tangente zeigt die Änderung nur ungefähr. Bei $(2 ∣ 8)$ ist der Unterschied groß: Auf der Kurve sinkt $r_{2}$ von 8 auf $\frac{16}{3} \approx 5, 33$ , also um 2,67 statt 4. Bei $(8 ∣ 2)$ passt es gut: $r_{2} (9) = \frac{16}{9} \approx 1, 78$ , also etwa 0,22 statt 0,25 weniger.

Von links nach rechts wächst die Steigung: $- 4 < - 1 < - 0, 25 < - 0, 0625$ . Eine ME Faktor 1 mehr ersetzt immer weniger Faktor 2, je mehr Faktor 1 schon im Rezept ist.

Warum der Berührpunkt das billigste Rezept ist

Weil die Steigung wächst, ist die Isoquante linksgekrümmt. Rechnerisch:

r_{2}^{''} (r_{1}) = 32 r_{1}^{- 3} = \frac{32}{r _{1}^{3}} > 0

für $r_{1} > 0$ .

Merken: Im Berührpunkt sind beide Steigungen gleich: $r_{2}^{'} (r_{1}) = - \frac{q _{1}}{q _{2}}$ . Ist die Isoquante linksgekrümmt, ist dieser Punkt die MKK.

Schema: MKK über gleiche Steigungen (Weg 2)

1. Isoquante ableiten: $r_{2}^{'} (r_{1})$ (hier $- \frac{16}{r _{1}^{2}}$ ) 2. Gleiche Steigung: $r_{2}^{'} (r_{1}) = - \frac{q _{1}}{q _{2}}$ lösen, nur $r_{1}$ aus dem Definitionsbereich behalten (hier $r_{1} = 8$ ) 3. Krümmung prüfen: $r_{2}^{''} (r_{1}) > 0$ , also Kostenminimum (hier $\frac{32}{r _{1}^{3}} > 0$ ) 4. $r_{2}$ berechnen: $r_{1}$ in die Isoquante einsetzen (hier 2) 5. $K_{m i n} = q_{1} \cdot r_{1} + q_{2} \cdot r_{2}$ (hier 48) 6. Isokostenlinie der MKK: $r_{2} = \frac{K _{m i n}}{q _{2}} - \frac{q _{1}}{q _{2}} \cdot r_{1}$ (hier $4 - 0, 25 r_{1}$ ) 7. Antwort: MKK $(r_{1} ∣ r_{2})$ , $K_{m i n}$ in GE

Beispiele

a) Andere Preise: $r_{2} = \frac{30}{r _{1}}$ , $q_{1} = 6$ , $q_{2} = 5$

- \frac{30}{r _{1}^{2}} r_{1}^{2} r_{1} = - \frac{6}{5} = 25 = 5

$r_{2}^{''} = \frac{60}{r _{1}^{3}} > 0$ ; $r_{2} = 6$ ; $K_{m i n} = 30 + 30 = 60$ ; Isokostenlinie $r_{2} = \frac{60}{5} - \frac{6}{5} \cdot r_{1} = 12 - 1, 2 r_{1}$ . MKK $(5 ∣ 6)$ , 60 GE.

b) Eine Lösung entfällt: $r_{2} = \frac{9}{r _{1} - 1} + 2$ , $r_{1} > 1$ , $q_{1} = 8$ , $q_{2} = 2$

- \frac{9}{( r _{1} - 1 ) ^{2}} (r_{1} - 1)^{2} = - 4 = 2, 25

Also $r_{1} - 1 = 1, 5$ oder $- 1, 5$ : $r_{1} = 2, 5$ ; $r_{1} = - 0, 5$ entfällt, denn $r_{1} > 1$ . $r_{2}^{''} = \frac{18}{( r _{1} - 1 ) ^{3}} > 0$ ; $r_{2} = \frac{9}{1 , 5} + 2 = 8$ ; $K_{m i n} = 20 + 16 = 36$ ; Isokostenlinie $r_{2} = 18 - 4 r_{1}$ . MKK $(2, 5 ∣ 8)$ , 36 GE.

c) $r_{1}^{2}$ im Nenner: $r_{2} = \frac{16}{r _{1}^{2}} = 16 r_{1}^{- 2}$ , $q_{1} = 2$ , $q_{2} = 4$

r_{2}^{'} (r_{1}) - \frac{32}{r _{1}^{3}} r_{1}^{3} r_{1} = - 32 r_{1}^{- 3} = - 0, 5 = 64 = 4

$r_{2}^{''} = \frac{96}{r _{1}^{4}} > 0$ ; $r_{2} = 1$ ; $K_{m i n} = 8 + 4 = 12$ ; Isokostenlinie $r_{2} = 3 - 0, 5 r_{1}$ . MKK $(4 ∣ 1)$ , 12 GE.

d) Umgekehrte Frage: $r_{2} = \frac{16}{r _{1}}$ . Bei welchem Preisverhältnis ist $(2 ∣ 8)$ die MKK? Bekannt ist jetzt $r_{1} = 2$ , gesucht ist $\frac{q _{1}}{q _{2}}$ .

r_{2}^{'} (2) - \frac{q _{1}}{q _{2}} = - \frac{16}{4} = - 4 = - 4

$q_{1} : q_{2} = 4 : 1$ , zum Beispiel $q_{1} = 12$ und $q_{2} = 3$ GE je ME.

Jetzt ihr

r_{2} = \frac{32}{r _{1}}

q_{1} = 2

q_{2} = 4

. Bestimmt MKK,

K_{m i n}

und die Isokostenlinie der MKK.

Lösung

- \frac{32}{r _{1}^{2}} = - 0, 5

, also

r_{1}^{2} = 64

r_{1} = 8

;

r_{2}^{''} = \frac{64}{r _{1}^{3}} > 0

;

r_{2} = 4

;

K_{m i n} = 16 + 16 = 32

;

r_{2} = 8 - 0, 5 r_{1}

; MKK

(8 ∣ 4)

, 32 GE

Wenn ein Faktor teurer wird

Die Regel dieses Abschnitts: Ein anderes $K$ verschiebt die Isokostenlinie nur parallel. Ein anderes Preisverhältnis $\frac{q _{1}}{q _{2}}$ dreht sie, dann wandert die MKK.

Faktor 1 wird teurer: $q_{1} = 12$ statt 3 GE je ME, $q_{2} = 12$ bleibt. Die Isoquante bleibt, denn welche Rezepte 40 ME liefern, hängt nicht von den Preisen ab.

Jetzt ändert sich ein Preis.

Die neue MKK mit gleichen Steigungen:

- \frac{16}{r _{1}^{2}} r_{1}^{2} r_{1} = - \frac{12}{12} = - 1 = 16 = 4

$r_{2}^{''} = \frac{32}{r _{1}^{3}} > 0$ ; $r_{2} = 4$ ; $K_{m i n} = 12 \cdot 4 + 12 \cdot 4 = 96$ ; Isokostenlinie $r_{2} = 8 - r_{1}$ .

Neue MKK $(4 ∣ 4)$ , $K_{m i n} = 96$ GE.

Halbieren sich dagegen beide Preise, $q_{1} = 1, 5$ und $q_{2} = 6$ , bleibt die Steigung $- \frac{1 , 5}{6} = - 0, 25$ . Die MKK bleibt $(8 ∣ 2)$ , nur die Kosten halbieren sich: $1, 5 \cdot 8 + 6 \cdot 2 = 24$ GE.

Merken: Ein anderes $K$ verschiebt die Isokostenlinie parallel, ein anderer Preis dreht sie. Für die Lage der MKK zählt nur das Preisverhältnis $\frac{q _{1}}{q _{2}}$ .

Übungen 2

Bestimmt mit gleichen Steigungen die MKK, $K_{m i n}$ und die Isokostenlinie der MKK.

Jetzt ihr

r_{2} = \frac{12}{r _{1}}

q_{1} = 3

q_{2} = 4

Lösung

- \frac{12}{r _{1}^{2}} = - \frac{3}{4}

, also

r_{1}^{2} = 16

r_{1} = 4

;

r_{2}^{''} = \frac{24}{r _{1}^{3}} > 0

;

r_{2} = 3

;

K_{m i n} = 12 + 12 = 24

;

r_{2} = 6 - 0, 75 r_{1}

; MKK

(4 ∣ 3)

, 24 GE) b)

r_{2} = \frac{2}{r _{1} - 1} + 3

r_{1} > 1

q_{1} = 6

q_{2} = 3

(Lösung:

- \frac{2}{( r _{1} - 1 ) ^{2}} = - 2

, also

(r_{1} - 1)^{2} = 1

r_{1} = 2

;

r_{1} = 0

entfällt, denn

r_{1} > 1

;

r_{2}^{''} = \frac{4}{( r _{1} - 1 ) ^{3}} > 0

;

r_{2} = 5

;

K_{m i n} = 12 + 15 = 27

;

r_{2} = 9 - 2 r_{1}

; MKK

(2 ∣ 5)

, 27 GE) c)

r_{2} = \frac{36}{r _{1}}

. Bei welchem Preisverhältnis ist

(9 ∣ 4)

die MKK? (Lösung:

r_{2}^{'} (9) = - \frac{36}{81} = - \frac{4}{9}

, also

q_{1} : q_{2} = 4 : 9

, zum Beispiel

q_{1} = 4

q_{2} = 9

) d)

r_{2} = \frac{12}{r _{1}}

q_{1} = 3

. Faktor 2 wird teurer:

q_{2} = 9

statt 4. Bestimmt die neue MKK und die Kosten des alten Rezepts

(4 ∣ 3)

zu den neuen Preisen. (Lösung:

- \frac{12}{r _{1}^{2}} = - \frac{3}{9}

, also

r_{1}^{2} = 36

r_{1} = 6

;

r_{2} = 2

;

K_{m i n} = 18 + 18 = 36

;

r_{2} = 4 - \frac{1}{3} r_{1}

; altes Rezept:

3 \cdot 4 + 9 \cdot 3 = 39

GE; neue MKK

(6 ∣ 2)

, 36 GE

MKK und Kostenfunktion

Bisher war die Menge fest: 40 ME. Was kostet eine andere Menge? Die Preise bleiben $q_{1} = 3$ und $q_{2} = 12$ . Zuerst: Es gibt jetzt zwei Kostenfunktionen.

Funktion	Was läuft?	Was ist fest?	Ausgabe
$K (r_{1})$	das Rezept $r_{1}$	Menge 40 ME	Kosten des Rezepts
$K_{v} (x)$	die Menge $x$	jeweils das billigste Rezept	Kosten der MKK

Für 60 ME kennt ihr die MKK aus Beispiel a): $(12 ∣ 3)$ für 72 GE. Für 90 ME gilt $r_{2} = \frac{81}{r _{1}}$ :

- \frac{81}{r _{1}^{2}} r_{1}^{2} r_{1} = - 0, 25 = 324 = 18

$r_{2} = 4, 5$ und $K_{m i n} = 54 + 54 = 108$ GE.

Dazu kommt die dritte Menge, 90 ME.

Warum eine Gerade durch den Ursprung? Legt die drei MKK nebeneinander:

Menge	Faktor 1	Faktor 2	Kosten
40	8	2	48
60	12	3	72
90	18	4,5	108

Bei diesen Isoquanten ist $r_{1} = 0, 2 x$ und $r_{2} = 0, 05 x$ : Beide Faktoren wachsen im selben Verhältnis wie die Menge. Dann gilt

K_{v} (x) = 3 \cdot 0, 2 x + 12 \cdot 0, 05 x = 0, 6 x + 0, 6 x = 1, 2 x

Das gilt für diese Isoquanten. Bei anderen Isoquanten muss $K_{v} (x)$ keine Gerade sein.

Die Kostenfunktion rechnet damit, dass die Firma jede Menge mit ihrer MKK herstellt. Beide Faktoren wachsen mit der Menge. Darum sind das variable Kosten: $K_{v} (40) = 48$ GE, $K_{v} (60) = 72$ GE. Dazu kommen wie gewohnt die Fixkosten $K_{f}$ (Kosten, die auch ohne Produktion anfallen, zum Beispiel Miete): $K (x) = K_{v} (x) + K_{f}$ .

Jetzt ihr

Für 120 ME gilt die Isoquante

r_{2} = \frac{144}{r _{1}}

. Berechnet

K_{v} (120)

bei

q_{1} = 3

und

q_{2} = 12

. Liegt der Punkt auf der Geraden?

Lösung

- \frac{144}{r _{1}^{2}} = - 0, 25

, also

r_{1}^{2} = 576

r_{1} = 24

;

r_{2} = 6

;

K_{v} (120) = 72 + 72 = 144

GE; MKK

(24 ∣ 6)

;

1, 2 \cdot 120 = 144

, ja

Theorie: Warum gleiche Steigung?

Weg 1 und Weg 2 finden dasselbe Rezept. Im Weg 1 steckt die Isoquante in den Kosten. Beispiel mit $q_{1} = 3$ und $q_{2} = 12$ :

An $(4 ∣ 4)$ spart die ME Faktor 1 mehr, als sie kostet. An $(16 ∣ 1)$ kostet sie mehr, als sie spart. Im Tiefpunkt heben sich beide Teile auf.

Im Tiefpunkt ersetzt 1 ME Faktor 1 genau so viel Faktor 2, wie sie am Markt kostet:

	Zahl	Bedeutung
Isoquante	$r_{2}^{'} (8) = - 0, 25$	ersetzt 0,25 ME Faktor 2
Isokostenlinie	$- \frac{3}{12} = - 0, 25$	kostet so viel wie 0,25 ME Faktor 2

Ebenso die zweite Ableitung: $K^{''} (r_{1}) = q_{2} \cdot r_{2}^{''} (r_{1})$ . Im Beispiel:

K^{''} (r_{1}) K^{''} (8) = 12 \cdot \frac{32}{r _{1}^{3}} = \frac{384}{r _{1}^{3}} = 0, 75 > 0

Das ist dieselbe 0,75 wie in Weg 1. Ist die Isoquante linksgekrümmt, ist $r_{2}^{''} > 0$ und damit $K^{''} > 0$ : Der Berührpunkt ist dann immer das Kostenminimum.

Beide Wege in einem Bild: