[M4 mg v1] Mengen

Menge und Element

Eine Menge ist wie ein Kreis um Dinge. Für jedes Ding steht fest: Es ist drin oder nicht drin.

Die Menge $M$ enthält die Zahlen 1, 3, 5 und 7. Was in einer Menge drin ist, heißt Element.

Ohne Kreis schreibt man die Elemente in geschweifte Klammern, getrennt durch ein Semikolon:

Die Reihenfolge spielt keine Rolle: $\{3;1;7;5\}$ ist dieselbe Menge. Jedes Element zählt nur einmal.

> Hinweis: Man trennt mit Semikolon, weil das Komma im Deutschen zu Dezimalzahlen gehört. $\{2,5;3\}$ hat zwei Elemente: 2,5 und 3.

Eine Menge kann auch gar kein Element haben. Sie heißt leere Menge: $\{\}$ oder $\varnothing$.

Teilmenge

Jetzt geht es um zwei Mengen: $A=\{1;3\}$ und $B=\{1;3;5;7\}$. Liegt $A$ ganz in $B$?

Man prüft jedes Element von $A$: 1 ist in $B$, 3 ist in $B$. Kein Element von $A$ fehlt in $B$. Dann heißt $A$ Teilmenge von $B$, geschrieben $A\subseteq B$.

Regel: $A\subseteq B$ gilt, wenn jedes Element von $A$ auch Element von $B$ ist. Fehlt nur eines, gilt $A⊈B$.

Weitere Mengen, geprüft mit $B=\{1;3;5;7\}$:

Auch $B$ selbst ist also Teilmenge von $B$. Und die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

> Hinweis: $\in$ steht zwischen einem Element und einer Menge: $3\in B$. $\subseteq$ steht zwischen zwei Mengen: $\{3\}\subseteq B$.

Schnittmenge

Zwei Mengen können sich überlappen: $A=\{1;2;3;4\}$ und $B=\{3;4;5;6\}$. Welche Elemente liegen in beiden?

3 und 4 liegen in $A$ und in $B$. Sie liegen dort, wo sich die Kreise überlappen. Diese Menge heißt Schnittmenge, gelesen „A geschnitten B“.

Regel: $A\cap B$ enthält alle Elemente, die in $A$ und in $B$ liegen.

Haben zwei Mengen kein gemeinsames Element, ist die Schnittmenge leer. Ist $A\subseteq B$, dann ist $A\cap B=A$.

Vereinigungsmenge

Wieder $A=\{1;2;3;4\}$ und $B=\{3;4;5;6\}$. Jetzt werden beide Mengen zu einer zusammengelegt.

Die Vereinigungsmenge, gelesen „A vereinigt B“, enthält alles, was in einem der beiden Kreise liegt.

3 und 4 liegen in beiden Mengen, stehen aber nur einmal in der Klammer. Jedes Element zählt nur einmal.

Regel: $A\cup B$ enthält alle Elemente, die in $A$ oder in $B$ liegen, auch die in beiden.

> Hinweis: $\cap$ sieht aus wie ein n wie in „und“: in beiden. $\cup$ ist die Schale, in die alles zusammen kommt.