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[M4 mkk-frei v1] Minimalkostenkombination

Ein Betrieb will eine feste Menge herstellen. Er kann dafür verschieden viel Arbeit A und Kapital K einsetzen. Jede Kombination (A | K) ist ein Rezept, und jedes Rezept kostet etwas anderes. Gesucht ist das billigste Rezept: die Minimalkostenkombination.

Das billigste Rezept ist (8 | 2): 8 Einheiten Arbeit und 2 Einheiten Kapital, für 16 €.

Die Kostenfunktion aufstellen

Wie findet man den Berührpunkt ohne Zeichnung? Man schreibt die Kosten als Funktion von A und sucht ihren Tiefpunkt.

Schritt 1: Die Isoquante A · K = 16 nach K auflösen.

K = \frac{16}{A}

Schritt 2: K in die Kosten C = A + 4 · K einsetzen.

C (A) = A + 4 \cdot \frac{16}{A} = A + \frac{64}{A}

Jetzt hängen die Kosten nur noch von A ab.

Den Tiefpunkt berechnen

Schritt 3: Ableiten. Dazu 64/A als Potenz schreiben:

C (A) = A + 64 \cdot A^{- 1}

Potenzregel: Der Exponent kommt nach vorn, oben steht ein Exponent weniger.

C^{'} (A) = 1 + (- 1) \cdot 64 \cdot A^{- 2} = 1 - 64 \cdot A^{- 2} = 1 - \frac{64}{A ^{2}}

Die Ableitung gleich null setzen:

1 - \frac{64}{A ^{2}} 1 A^{2} = 0 = \frac{64}{A ^{2}} = 64

In der zweiten Zeile wurde 64/A² addiert, in der dritten mit A² multipliziert.

Also A = 8 oder A = −8. Eine Menge ist nicht negativ, darum bleibt nur A = 8.

Schritt 4: Prüfen, ob es ein Minimum ist. Noch einmal mit der Potenzregel ableiten:

C^{''} (A) = (- 2) \cdot (- 64) \cdot A^{- 3} = 128 \cdot A^{- 3} = \frac{128}{A ^{3}}

C^{''} (8) = \frac{128}{512} = 0, 25

C''(8) ist positiv. Dann ist die Kostenkurve bei A = 8 nach oben gebogen, und dort liegt ein Tiefpunkt.

Schritt 5: K und die Kosten berechnen.

K = \frac{16}{8} = 2

C (8) = 8 + \frac{64}{8} = 16

Ergebnis: Die Minimalkostenkombination ist A = 8 und K = 2. Die minimalen Kosten betragen 16 €.

Woran erkennt man den Berührpunkt?

Im Berührpunkt sind Isoquante und Isokostengerade gleich steil. Die Steigung der Geraden kommt aus den Preisen:

A + 4 K 4 K K = 16 = 16 - A = 4 - \frac{1}{4} A

Die Isoquante K = 16/A = 16 · A⁻¹ hat bei A = 8 dieselbe Steigung:

K^{'} (A) K^{'} (8) = - 16 \cdot A^{- 2} = - \frac{16}{64} = - \frac{1}{4}

Das ist dieselbe Bedingung wie C'(A) = 0 aus Schritt 3. Dort stand:

1 = \frac{64}{A ^{2}}

Beide Seiten durch 4 teilen:

\frac{1}{4} = \frac{16}{A ^{2}}

Links steht die Steigung der Geraden, rechts die Steigung der Isoquante, beide ohne Minuszeichen. C'(A) = 0 heißt also: Beide sind gleich steil.

Das Verfahren

1. Die Isoquante nach K auflösen. (Beispiel: K = 16/A) 2. K in die Kosten $C = p_{A} \cdot A + p_{K} \cdot K$ einsetzen. (Beispiel: C(A) = A + 64/A) 3. C'(A) = 0 lösen; nur positive A zählen. (Beispiel: A = 8) 4. Mit C''(A) > 0 prüfen, dass es ein Minimum ist. (Beispiel: C''(8) = 0,25) 5. K und die minimalen Kosten berechnen. (Beispiel: K = 2, 16 €)

Beispiel: Die Preise ändern sich

Dieselbe Isoquante A · K = 16. Jetzt ist Kapital billig: $p_{A} = 4$ €, $p_{K} = 1$ €.

C (A) C^{'} (A) = 4 A + 16 \cdot A^{- 1} = 4 - 16 \cdot A^{- 2}

4 A^{2} A = \frac{16}{A ^{2}} = 4 = 2

C^{''} (A) C^{''} (2) = 32 \cdot A^{- 3} = 4 > 0

K = 16/2 = 8. Die Kosten: 4 · 2 + 1 · 8 = 16 €.

Der Berührpunkt wandert von (8 | 2) nach (2 | 8). Jetzt setzt der Betrieb mehr Kapital ein, weil Kapital das billigere Mittel ist. Die Kosten sind wieder 16 €; das liegt nur daran, dass die Preise genau getauscht sind.

Die Isoquante aus der Produktionsfunktion bestimmen

In der Prüfung ist oft nicht die Isoquante gegeben, sondern die Produktionsfunktion: Sie sagt, welche Menge x aus A und K entsteht. Setzt man die Menge fest, entsteht die Isoquante.

x = A^{0, 5} \cdot K^{0, 25}

Die Menge ist x = 4, die Preise sind $p_{A} = 8$ € und $p_{K} = 1$ €.

Schritt 0: x = 4 einsetzen und nach K auflösen.

4 K^{0, 25} = A^{0, 5} \cdot K^{0, 25} = \frac{4}{A ^{0, 5}}

Jetzt beide Seiten hoch 4 nehmen. Die Exponenten werden multipliziert: 0,25 · 4 = 1 und 0,5 · 4 = 2.

K = \frac{4 ^{4}}{A ^{2}} = 256 \cdot A^{- 2}

Dann weiter wie im Verfahren:

C (A) C^{'} (A) = 8 A + 256 \cdot A^{- 2} = 8 - 512 \cdot A^{- 3}

8 A^{3} A = \frac{512}{A ^{3}} = 64 = 4

C^{''} (A) = 3 \cdot 512 \cdot A^{- 4} = \frac{1536}{A ^{4}} > 0

K = 256/16 = 16. Die Kosten: 8 · 4 + 1 · 16 = 48 €.

Diese Isoquante hat eine andere Form als A · K = 16. Die Isokostengerade berührt sie trotzdem im billigsten Rezept (4 | 16).

Aufgaben

Jetzt ihr

Die Isoquante ist A · K = 36. Arbeit kostet 1 € je Einheit, Kapital 4 € je Einheit. a) Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination und die minimalen Kosten.

Lösung

C(A) = A + 144 · A⁻¹, C'(A) = 1 − 144/A² = 0, A = 12; C''(A) = 288/A³ > 0; K = 3, minimale Kosten 24 €

Jetzt ihr

Die Produktionsfunktion ist x = 2 · √(A · K). Dabei ist √(A · K) = (A · K)^0,5. Es sollen x = 12 Einheiten hergestellt werden. Arbeit kostet 9 €, Kapital 1 € je Einheit. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Isoquante. b) Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination und die minimalen Kosten.

Lösung

a) √(A · K) = 6, also A · K = 36 und K = 36/A. b) C(A) = 9A + 36 · A⁻¹, C'(A) = 9 − 36/A² = 0, A = 2; C''(A) = 72/A³ > 0; K = 18, minimale Kosten 36 €

Jetzt ihr

Die Isoquante ist K = 4/A². Beide Faktoren kosten 1 € je Einheit. a) Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination und die minimalen Kosten.

Lösung

C(A) = A + 4 · A⁻², C'(A) = 1 − 8/A³ = 0, A = 2; C''(A) = 24/A⁴ > 0; K = 1, minimale Kosten 3 €