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[Diff] Nachfrage, Angebot und Marktgleichgewicht

Die Preisfunktion der Nachfrage

Die Preisfunktion der Nachfrage $p_{N} (x)$ sagt, zu welchem Preis die Käufer zusammen genau $x$ ME kaufen wollen.

Zum Beispiel $p_{N} (x) = - 2 x + 100$ . Vier Mengen eingesetzt:

$x$ in ME	$10$	$20$	$30$	$40$
$p_{N} (x)$ in GE/ME	$80$	$60$	$40$	$20$

Jede Spalte ist ein Punkt $(x ∣ p_{N} (x))$ des Graphen:

Nachfragegerade durch vier Tabellenpunkte

Die Spalte $x = 20$ als Satz gelesen:

Kostet jede ME 60 GE, kaufen alle Käufer zusammen 20 ME.

Ein Preis gilt für alle ME, eine Menge für alle Käufer zusammen. $p_{N} (20) = 60$ ist die Höhe des Graphen an der Stelle 20, also das $y$ .

In Aufgaben heißt es auch:

- Bei 60 GE/ME werden 20 ME nachgefragt (nachfragen: kaufen wollen). - $p_{N}$ heißt auch Preis-Absatz-Funktion (Absatz: die verkaufte Menge).

Warum fällt die Kurve?

Fünf Käufer wollen je 1 ME. Jeder zahlt höchstens seinen Betrag: 50, 40, 30, 20 oder 10 GE.

Preis $p$ in GE/ME	$45$	$35$	$25$	$15$	$5$
gekaufte Menge $x$ in ME	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$

Käufer als Treppe, viele Käufer als fast glatte Kurve

Je niedriger der Preis, desto mehr Käufer kaufen. Darum fällt die Nachfragekurve.

Höchstpreis und Sättigungsmenge

Die Kurve trifft beide Achsen. Beide Punkte haben einen Namen.

p_{N} (0) = - 2 \cdot 0 + 100 = 100

Höchstpreis: 100 GE/ME. Zu diesem Preis kauft niemand mehr. Bei 98 GE/ME wird schon 1 ME gekauft: $p_{N} (1) = 98$ .

p_{N} (x) = 0 \Rightarrow - 2 x + 100 = 0 \Rightarrow x = 50

Sättigungsmenge: $x_{S} = 50$ ME. So viel nehmen die Käufer, wenn die Ware nichts kostet. Mehr lässt sich nicht einmal verschenken. Die Sättigungsmenge ist eine Grenze der Käufer, die Kapazitätsgrenze eine Grenze des Anbieters.

Links von 0 und rechts von 50 rechnet die Formel weiter:

$x$ in ME	$p_{N} (x)$ in GE/ME	im Markt
$- 5$	$110$	$- 5$ ME gibt es nicht
$60$	$- 20$	ein Preis unter 0 GE/ME

Die Nachfrage lebt nur dazwischen: im ökonomischen Definitionsbereich $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 50]$ .

![Höchstpreis, Sättigungsmenge und ökonomischer Definitionsbereich](/bilder/mgk-w2-nachfrage-marktgleichgewicht/skizze-3.svg)“.]

Die Menge zu einem gegebenen Preis

Wie viel wird bei 80 GE/ME gekauft? $p_{N}$ macht aus einer Menge einen Preis. Hier ist der Preis gegeben, gesucht ist die Menge:

p_{N} (x) = 80 \Rightarrow - 2 x + 100 = 80 \Rightarrow - 2 x = - 20 \Rightarrow x = 10

Bei 80 GE/ME werden 10 ME gekauft.

Zwei Wege: Menge einsetzen oder Preis gleichsetzen

Steigt der Preis von 60 auf 80 GE/ME, sinkt die gekaufte Menge von 20 auf 10 ME. Die Formel bleibt dieselbe. Nur der Punkt wandert auf der Kurve.

Merken: Menge gegeben, dann einsetzen. Preis gegeben, dann $p_{N} (x) = Preis$ lösen.

Jetzt ihr

Wie viel wird bei 40 GE/ME gekauft?

Lösung

- 2 x + 100 = 40 \Rightarrow x = 30

, also 30 ME

Die Steigung: eine ME mehr

$p_{N}^{'} (x) = - 2$ ist das $m$ der Geraden. Im Markt heißt das:

p_{N} (20) = 60 p_{N} (21) = 58

Steigungsdreieck: eine ME mehr, Preis 2 GE/ME tiefer

Damit die Käufer 21 statt 20 ME kaufen, muss der Preis um 2 GE/ME sinken. Der neue Preis 58 GE/ME gilt für alle 21 ME.

Dieselbe Lesart kennt ihr von den Grenzkosten:

K^{'} (x) \approx \ddot{A} nderung der Kosten f \overset{u}{¨} r eine ME mehr, in GE

p_{N}^{'} (x) \approx \ddot{A} nderung des Preises f \overset{u}{¨} r eine ME mehr, in GE/ME

Merken: $p_{N}^{'} (x)$ ist ungefähr die Preisänderung für eine ME mehr.

Eine Parabel als Nachfrage

$p_{N} (x) = - 0, 5 x^{2} + 50$ .

Höchstpreis: $p_{N} (0) = 50$ GE/ME.

Sättigungsmenge:

- 0, 5 x^{2} + 50 = 0 \Rightarrow x^{2} = 100 \Rightarrow x = 10 oder x = - 10

$- 10$ ME gibt es nicht. Sättigungsmenge 10 ME, $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 10]$ .

Menge bei 42 GE/ME:

- 0, 5 x^{2} + 50 = 42 \Rightarrow x^{2} = 16 \Rightarrow x = 4 oder x = - 4

Bei 42 GE/ME werden 4 ME gekauft.

Parabel als Nachfragekurve mit Menge bei 42 GE/ME

Beispiele: die Nachfragekurve lesen

A) $p_{N} (x) = - 4 x + 60$

Höchstpreis: $p_{N} (0) = 60$ GE/ME.

S \overset{a}{¨} ttigungsmenge: - 4 x + 60 = 0 \Rightarrow x = 15

Sättigungsmenge 15 ME, $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 15]$ .

bei 40 GE/ME: - 4 x + 60 = 40 \Rightarrow - 4 x = - 20 \Rightarrow x = 5

Bei 40 GE/ME werden 5 ME gekauft.

B) $p_{N} (x) = - 0, 5 x + 40$

Höchstpreis: $p_{N} (0) = 40$ GE/ME.

S \overset{a}{¨} ttigungsmenge: - 0, 5 x + 40 = 0 \Rightarrow x = 80

Sättigungsmenge 80 ME, $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 80]$ .

bei 30 GE/ME: - 0, 5 x + 40 = 30 \Rightarrow - 0, 5 x = - 10 \Rightarrow x = 20

Bei 30 GE/ME werden 20 ME gekauft.

C) $p_{N} (x) = - 2 x^{2} + 200$

Höchstpreis: $p_{N} (0) = 200$ GE/ME.

S \overset{a}{¨} ttigungsmenge: - 2 x^{2} + 200 = 0 \Rightarrow x^{2} = 100 \Rightarrow x = 10 oder x = - 10

Sättigungsmenge 10 ME, $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 10]$ .

bei 128 GE/ME: - 2 x^{2} + 200 = 128 \Rightarrow x^{2} = 36 \Rightarrow x = 6 oder x = - 6

Bei 128 GE/ME werden 6 ME gekauft.

D) $p_{N} (x) = - x^{2} - 4 x + 96$

Höchstpreis: $p_{N} (0) = 96$ GE/ME.

S \overset{a}{¨} ttigungsmenge: - x^{2} - 4 x + 96 = 0 \Rightarrow x^{2} + 4 x - 96 = 0 \Rightarrow x = - 2 \pm 4 + 96 = - 2 \pm 10

$x = 8$ oder $x = - 12$ . Sättigungsmenge 8 ME, $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 8]$ .

bei 84 GE/ME: - x^{2} - 4 x + 96 = 84 \Rightarrow x^{2} + 4 x - 12 = 0 \Rightarrow x = - 2 \pm 4 + 12 = - 2 \pm 4

$x = 2$ oder $x = - 6$ . Bei 84 GE/ME werden 2 ME gekauft.

E) $p_{N} (x) = 0, 5 x^{2} - 10 x + 50$

Höchstpreis: $p_{N} (0) = 50$ GE/ME.

S \overset{a}{¨} ttigungsmenge: 0, 5 x^{2} - 10 x + 50 = 0 \Rightarrow x^{2} - 20 x + 100 = 0 \Rightarrow x = 10 \pm 100 - 100 = 10

Sättigungsmenge 10 ME, $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 10]$ .

bei 32 GE/ME: 0, 5 x^{2} - 10 x + 50 = 32 \Rightarrow x^{2} - 20 x + 36 = 0 \Rightarrow x = 10 \pm 100 - 36 = 10 \pm 8

$x = 2$ oder $x = 18$ . 18 liegt hinter der Sättigungsmenge 10. Bei 32 GE/ME werden 2 ME gekauft.

F) $p_{N} (x) = - 0, 1 x^{3} + 100$

Höchstpreis: $p_{N} (0) = 100$ GE/ME.

S \overset{a}{¨} ttigungsmenge: - 0, 1 x^{3} + 100 = 0 \Rightarrow x^{3} = 1000 \Rightarrow x = 31000 = 10

Sättigungsmenge 10 ME, $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 10]$ .

bei 87,5 GE/ME: - 0, 1 x^{3} + 100 = 87, 5 \Rightarrow x^{3} = 125 \Rightarrow x = 3125 = 5

Bei 87,5 GE/ME werden 5 ME gekauft.

Nachfrageparabeln der Beispiele C, D und E

Übungen: die Nachfragekurve lesen

A) $p_{N} (x) = - 5 x + 80$ . Bestimmt Höchstpreis, Sättigungsmenge, $D_{\overset{o}{¨} k}$ und die Menge bei 30 GE/ME.

B) $p_{N} (x) = - x^{2} - 6 x + 40$ . Bestimmt Höchstpreis, Sättigungsmenge, $D_{\overset{o}{¨} k}$ und die Menge bei 24 GE/ME.

C) $p_{N} (x) = 0, 05 x^{2} - 4 x + 80$ . Bestimmt Höchstpreis, Sättigungsmenge und $D_{\overset{o}{¨} k}$ . Berechnet $p_{N}^{'} (10)$ . Was bedeutet der Wert?

Lösungen: die Nachfragekurve lesen

Höchstpreis: $p_{N} (0) = 80$ GE/ME.

S \overset{a}{¨} ttigungsmenge: - 5 x + 80 = 0 \Rightarrow x = 16

Sättigungsmenge 16 ME, $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 16]$ .

bei 30 GE/ME: - 5 x + 80 = 30 \Rightarrow - 5 x = - 50 \Rightarrow x = 10

Bei 30 GE/ME werden 10 ME gekauft.

Höchstpreis: $p_{N} (0) = 40$ GE/ME.

S \overset{a}{¨} ttigungsmenge: - x^{2} - 6 x + 40 = 0 \Rightarrow x^{2} + 6 x - 40 = 0 \Rightarrow x = - 3 \pm 9 + 40 = - 3 \pm 7

$x = 4$ oder $x = - 10$ . Sättigungsmenge 4 ME, $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 4]$ .

bei 24 GE/ME: - x^{2} - 6 x + 40 = 24 \Rightarrow x^{2} + 6 x - 16 = 0 \Rightarrow x = - 3 \pm 9 + 16 = - 3 \pm 5

$x = 2$ oder $x = - 8$ . Bei 24 GE/ME werden 2 ME gekauft.

Höchstpreis: $p_{N} (0) = 80$ GE/ME.

S \overset{a}{¨} ttigungsmenge: 0, 05 x^{2} - 4 x + 80 = 0 \Rightarrow x^{2} - 80 x + 1600 = 0 \Rightarrow x = 40 \pm 1600 - 1600 = 40

Sättigungsmenge 40 ME, $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 40]$ .

p_{N}^{'} (x) = 0, 1 x - 4 p_{N}^{'} (10) = 1 - 4 = - 3

Bei 10 ME muss der Preis für eine ME mehr um etwa 3 GE/ME sinken.

Eine Preisfunktion aufstellen

Aufstellen heißt: aus Angaben über Preise und Mengen den Term bauen. Jede Angabe wird eine Bedingung, wie bei der Rekonstruktion.

Zum Beispiel: „Bei 20 GE/ME werden 30 ME nachgefragt, bei 12 GE/ME 50 ME.“ Gesucht ist die lineare Preisfunktion der Nachfrage.

Die Einheit zeigt, welche Zahl welche ist:

Angabe	Menge $x$ in ME	Preis $p$ in GE/ME	Punkt $(x ∣ p)$
bei 20 GE/ME werden 30 ME nachgefragt	$30$	$20$	$(30 ∣ 20)$
bei 12 GE/ME werden 50 ME nachgefragt	$50$	$12$	$(50 ∣ 12)$

Gerade durch zwei Punkte, $p_{N} (x) = m x + n$ :

m = \frac{12 - 20}{50 - 30} = \frac{- 8}{20} = - 0, 4

20 = - 0, 4 \cdot 30 + n \Rightarrow 20 = - 12 + n \Rightarrow n = 32

p_{N} (x) = - 0, 4 x + 32

Probe: $p_{N} (30) = - 12 + 32 = 20$ ✓ und $p_{N} (50) = - 20 + 32 = 12$ ✓.

Mit vertauschten Zahlen passt der Term nicht zum Satz:

	Punkte	Term	Preis bei 30 ME, laut Satz 20
richtig	$(30 ∣ 20), (50 ∣ 12)$	$- 0, 4 x + 32$	$20$ ✓
vertauscht	$(20 ∣ 30), (12 ∣ 50)$	$- 2, 5 x + 80$	$5$ ✗

Merken: Die Zahl mit ME ist die Menge $x$ , die Zahl mit GE/ME ist der Preis $p$ . Im Punkt steht die Menge vorn: $(x ∣ p)$ .

Jetzt ihr

„30 ME werden gekauft, wenn eine ME 24 GE kostet. Bei 18 GE/ME sind es 45 ME.“

Lösung

(30 ∣ 24), (45 ∣ 18)

m = \frac{18 - 24}{45 - 30} = - 0, 4

p_{N} (x) = - 0, 4 x + 36

Eine Parabel aus drei Angaben

„Der Höchstpreis liegt bei 90 GE/ME. Die Sättigungsmenge ist 30 ME, dort ist die Kurve waagerecht.“

Ansatz: $p_{N} (x) = a x^{2} + b x + c$ und $p_{N}^{'} (x) = 2 a x + b$ .

	Angabe	Bedingung	eingesetzt
I	Höchstpreis 90	$p_{N} (0) = 90$	$c = 90$
II	Sättigungsmenge 30	$p_{N} (30) = 0$	$900 a + 30 b + c = 0$
III	waagerecht bei 30: Steigung 0	$p_{N}^{'} (30) = 0$	$60 a + b = 0$

Aus III: $b = - 60 a$ . Mit I und III in II:

900 a + 30 \cdot (- 60 a) + 90 = 0 \Rightarrow 900 a - 1800 a + 90 = 0 \Rightarrow - 900 a = - 90 \Rightarrow a = 0, 1

b = - 60 \cdot 0, 1 = - 6

p_{N} (x) = 0, 1 x^{2} - 6 x + 90

Probe: $p_{N} (0) = 90$ ✓, $p_{N} (30) = 90 - 180 + 90 = 0$ ✓, $p_{N}^{'} (30) = 0, 2 \cdot 30 - 6 = 0$ ✓.

Die Steigung ist jetzt an jeder Stelle anders. $p_{N}^{'} (x)$ ist ungefähr die Preisänderung für eine ME mehr:

p_{N}^{'} (10) = 0, 2 \cdot 10 - 6 = - 4 p_{N}^{'} (25) = 0, 2 \cdot 25 - 6 = - 1

Nachgerechnet bei 10 ME: $p_{N} (10) = 40$ und $p_{N} (11) = 36, 1$ . Der Preis ist 3,9 GE/ME tiefer, ungefähr 4.

Bei 10 ME muss der Preis für eine ME mehr um etwa 4 GE/ME sinken, bei 25 ME nur um etwa 1 GE/ME.

Nachfragekurve hinter der Sättigungsmenge

Hinter 30 steigt die Parabel wieder: $p_{N} (40) = 160 - 240 + 90 = 10$ . Das hieße: mehr Menge zu einem höheren Preis. Eine Nachfragekurve fällt aber: $p_{N}^{'} (x) \leq 0$ . Also gilt $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 30]$ .

Schema: Preisfunktion aufstellen

Das eben Gerechnete, allgemein:

1. Ansatz: Gerade $p (x) = m x + n$ bei zwei Angaben, Parabel $p (x) = a x^{2} + b x + c$ bei drei Angaben. 2. Jede Angabe als Bedingung: - Preis und Menge: Punkt $(x ∣ p)$ , $x$ ist die Zahl mit ME - Höchstpreis: $p_{N} (0) = H \overset{o}{¨} chstpreis$ - Sättigungsmenge $x_{S}$ : $p_{N} (x_{S}) = 0$ - waagerecht an der Stelle $x$ : $p_{N}^{'} (x) = 0$ 3. Gleichungssystem lösen. 4. Probe an jeder Angabe.

Beispiele: Preisfunktion aufstellen

A) „Höchstpreis 60 GE/ME, Sättigungsmenge 20 ME.“ Gerade.

Punkte: $(0 ∣ 60)$ und $(20 ∣ 0)$ .

m = \frac{0 - 60}{20 - 0} = - 3 n = 60 p_{N} (x) = - 3 x + 60

Probe: $p_{N} (0) = 60$ ✓, $p_{N} (20) = - 60 + 60 = 0$ ✓.

B) „10 ME werden gekauft, wenn eine ME 40 GE kostet. Kostet eine ME 25 GE, werden 40 ME gekauft.“ Gerade.

Punkte: $(10 ∣ 40)$ und $(40 ∣ 25)$ .

m = \frac{25 - 40}{40 - 10} = \frac{- 15}{30} = - 0, 540 = - 0, 5 \cdot 10 + n \Rightarrow n = 45 p_{N} (x) = - 0, 5 x + 45

Probe: $p_{N} (10) = - 5 + 45 = 40$ ✓, $p_{N} (40) = - 20 + 45 = 25$ ✓.

C) „Bei 14 GE/ME werden 60 ME nachgefragt, bei 38 GE/ME nur 20 ME.“ Gerade.

Punkte: $(60 ∣ 14)$ und $(20 ∣ 38)$ .

m = \frac{38 - 14}{20 - 60} = \frac{24}{- 40} = - 0, 614 = - 0, 6 \cdot 60 + n \Rightarrow n = 50 p_{N} (x) = - 0, 6 x + 50

Probe: $p_{N} (60) = - 36 + 50 = 14$ ✓, $p_{N} (20) = - 12 + 50 = 38$ ✓.

D) „Höchstpreis 72 GE/ME, dort ist die Kurve waagerecht. Sättigungsmenge 12 ME.“ Parabel.

	Angabe	Bedingung	eingesetzt
I	Höchstpreis 72	$p_{N} (0) = 72$	$c = 72$
II	Sättigungsmenge 12	$p_{N} (12) = 0$	$144 a + 12 b + c = 0$
III	waagerecht bei 0	$p_{N}^{'} (0) = 0$	$b = 0$

144 a + 0 + 72 = 0 \Rightarrow a = - 0, 5 p_{N} (x) = - 0, 5 x^{2} + 72

Probe: $p_{N} (0) = 72$ ✓, $p_{N} (12) = - 72 + 72 = 0$ ✓, $p_{N}^{'} (0) = - 1 \cdot 0 = 0$ ✓.

E) „Bei 20 GE/ME werden 10 ME nachgefragt. Die Sättigungsmenge ist 20 ME, dort ist die Kurve waagerecht.“ Parabel.

	Angabe	Bedingung	eingesetzt
I	bei 20 GE/ME 10 ME	$p_{N} (10) = 20$	$100 a + 10 b + c = 20$
II	Sättigungsmenge 20	$p_{N} (20) = 0$	$400 a + 20 b + c = 0$
III	waagerecht bei 20	$p_{N}^{'} (20) = 0$	$40 a + b = 0$

Aus III: $b = - 40 a$ . In II: $400 a - 800 a + c = 0$ , also $c = 400 a$ . Beides in I:

100 a - 400 a + 400 a = 20 \Rightarrow 100 a = 20 \Rightarrow a = 0, 2 b = - 8 c = 80

p_{N} (x) = 0, 2 x^{2} - 8 x + 80

Probe: $p_{N} (10) = 20 - 80 + 80 = 20$ ✓, $p_{N} (20) = 80 - 160 + 80 = 0$ ✓, $p_{N}^{'} (20) = 0, 4 \cdot 20 - 8 = 0$ ✓. Höchstpreis: $p_{N} (0) = 80$ GE/ME.

Übungen: Preisfunktion aufstellen

A) „Bei 45 GE/ME werden 20 ME nachgefragt, bei 30 GE/ME 50 ME.“ Stellt die lineare Preisfunktion der Nachfrage auf. Wie hoch ist der Höchstpreis?

B) „40 ME werden gekauft, wenn eine ME 12 GE kostet. Kostet eine ME 36 GE, werden 10 ME gekauft.“ Stellt die lineare Preisfunktion der Nachfrage auf. Wie groß ist die Sättigungsmenge?

C) „Höchstpreis 40 GE/ME. Die Sättigungsmenge ist 20 ME, dort ist die Kurve waagerecht.“ Stellt die quadratische Preisfunktion der Nachfrage auf.

Lösungen: Preisfunktion aufstellen

Punkte: $(20 ∣ 45)$ und $(50 ∣ 30)$ .

m = \frac{30 - 45}{50 - 20} = \frac{- 15}{30} = - 0, 545 = - 0, 5 \cdot 20 + n \Rightarrow n = 55 p_{N} (x) = - 0, 5 x + 55

Probe: $p_{N} (20) = - 10 + 55 = 45$ ✓, $p_{N} (50) = - 25 + 55 = 30$ ✓.

Höchstpreis: $p_{N} (0) = 55$ GE/ME.

Punkte: $(40 ∣ 12)$ und $(10 ∣ 36)$ .

m = \frac{36 - 12}{10 - 40} = \frac{24}{- 30} = - 0, 812 = - 0, 8 \cdot 40 + n \Rightarrow n = 44 p_{N} (x) = - 0, 8 x + 44

Probe: $p_{N} (40) = - 32 + 44 = 12$ ✓, $p_{N} (10) = - 8 + 44 = 36$ ✓.

S \overset{a}{¨} ttigungsmenge: - 0, 8 x + 44 = 0 \Rightarrow x = 55

Sättigungsmenge 55 ME.

	Angabe	Bedingung	eingesetzt
I	Höchstpreis 40	$p_{N} (0) = 40$	$c = 40$
II	Sättigungsmenge 20	$p_{N} (20) = 0$	$400 a + 20 b + c = 0$
III	waagerecht bei 20	$p_{N}^{'} (20) = 0$	$40 a + b = 0$

Aus III: $b = - 40 a$ . Mit I und III in II:

400 a - 800 a + 40 = 0 \Rightarrow - 400 a = - 40 \Rightarrow a = 0, 1 b = - 4

p_{N} (x) = 0, 1 x^{2} - 4 x + 40

Probe: $p_{N} (0) = 40$ ✓, $p_{N} (20) = 40 - 80 + 40 = 0$ ✓, $p_{N}^{'} (20) = 0, 2 \cdot 20 - 4 = 0$ ✓.

Die Preisfunktion des Angebots

Die Preisfunktion des Angebots $p_{A} (x)$ sagt, zu welchem Preis die Anbieter zusammen genau $x$ ME anbieten (anbieten: zum Verkauf bringen).

Zum Beispiel $p_{A} (x) = 3 x + 20$ :

$x$ in ME	$0$	$10$	$20$	$30$
$p_{A} (x)$ in GE/ME	$20$	$50$	$80$	$110$

Die Spalte $x = 10$ als Satz gelesen:

Bekommen die Anbieter 50 GE/ME, bringen sie zusammen 10 ME auf den Markt.

$p_{A} (0) = 20$ ist der Mindestangebotspreis. Unter 20 GE/ME bietet niemand an. Bei 14 GE/ME:

3 x + 20 = 14 \Rightarrow 3 x = - 6 \Rightarrow x = - 2

$- 2$ ME gibt es nicht. Bei 14 GE/ME werden 0 ME angeboten.

Aufgestellt wird wie bei der Nachfrage: „Mindestangebotspreis 20 GE/ME, bei 50 GE/ME werden 10 ME angeboten“ ergibt $(0 ∣ 20)$ und $(10 ∣ 50)$ , also $m = \frac{50 - 20}{10 - 0} = 3$ und $p_{A} (x) = 3 x + 20$ .

Warum steigt die Kurve?

Drei Anbieter haben verschiedene Kosten:

	Kosten je ME in GE	liefert höchstens
Anbieter 1	$20$	$10$ ME
Anbieter 2	$30$	$10$ ME
Anbieter 3	$45$	$10$ ME

Jeder liefert nur, wenn der Preis seine Kosten je ME deckt:

Preis in GE/ME	es liefern	angebotene Menge in ME
$25$	Anbieter 1	$10$
$35$	Anbieter 1 und 2	$20$
$50$	alle drei	$30$

Mehr Menge gibt es nur zu einem höheren Preis, weil teurere Anbieter dazukommen. Darum steigt die Angebotskurve: $p_{A}^{'} (x) > 0$ .

Bei den Kosten fallen aber die Stückkosten zuerst. Wird die Ware dann nicht billiger, je mehr ein Anbieter herstellt?

Ein Anbieter mit $K (x) = x^{2} + 100$ :

$x$ in ME	Stückkosten $k (x) = \frac{K ( x )}{x}$ in GE/ME	Grenzkosten $K^{'} (x) = 2 x$ in GE
$5$	$25$	$10$
$10$	$20$	$20$
$20$	$25$	$40$

Die Stückkosten fallen zuerst. Die Grenzkosten steigen: Jede weitere ME kostet zusätzlich mehr als die vorige.

Lohnt sich die 20. ME bei einem Preis von 30 GE/ME?

Sie bringt 30 GE. Sie kostet zus \overset{a}{¨} tzlich etwa K^{'} (20) = 40 GE.

Nein. An ihr würde der Anbieter etwa 10 GE verlieren. Die 20. ME kommt erst ab etwa 40 GE/ME auf den Markt.

Grenzkosten und Stückkosten beim Preis 30

Merken: Ob eine weitere ME angeboten wird, entscheiden ihre Grenzkosten.

Das Marktgleichgewicht

Das Marktgleichgewicht ist der Schnittpunkt von Nachfragekurve und Angebotskurve. Zu seinem Preis wollen die Käufer genau so viel kaufen, wie die Anbieter anbieten.

Zum Beispiel mit $p_{N} (x) = - 2 x + 100$ und $p_{A} (x) = 3 x + 20$ :

Der Schnittpunkt liegt auf beiden Kurven. Dort haben Käufer und Anbieter dieselbe Menge $x$ und denselben Preis $p$ . Gesucht ist also die Stelle $x$ , an der beide Funktionen denselben Preis liefern:

p_{N} (x) = p_{A} (x)

- 2 x + 100 = 3 x + 20

80 = 5 x

x = 16

16 liegt in $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 50]$ . Den Preis liefert jede der beiden Funktionen:

p_{N} (16) = - 32 + 100 = 68 p_{A} (16) = 48 + 20 = 68

Gleichgewichtsmenge $x_{G} = 16$ ME, Gleichgewichtspreis $p_{G} = 68$ GE/ME, Marktgleichgewicht $MG (16 ∣ 68)$ .

Beide Seiten, in beide Richtungen gelesen:

	bei 16 ME: Preis in GE/ME	bei 68 GE/ME: Menge in ME
Käufer, $p_{N} (x) = - 2 x + 100$	$p_{N} (16) = 68$	$- 2 x + 100 = 68 \Rightarrow x = 16$
Anbieter, $p_{A} (x) = 3 x + 20$	$p_{A} (16) = 68$	$3 x + 20 = 68 \Rightarrow x = 16$

Bei 68 GE/ME wollen die Käufer 16 ME kaufen, und die Anbieter bieten 16 ME an.

Jetzt ihr

p_{N} (x) = - x + 50

und

p_{A} (x) = x + 10

Lösung

- x + 50 = x + 10 \Rightarrow 40 = 2 x \Rightarrow x = 20

p_{N} (20) = p_{A} (20) = 30

MG (20 ∣ 30)

Schema: Marktgleichgewicht

Das eben Gerechnete, allgemein:

1. Gleichsetzen: $p_{N} (x) = p_{A} (x)$ . 2. Lösen. 3. Sättigungsmenge aus $p_{N} (x) = 0$ . Nur Lösungen mit $0 \leq x \leq x_{S}$ behalten. Bleibt keine: kein Marktgleichgewicht. 4. Gleichgewichtspreis $p_{G} = p_{N} (x_{G})$ , Probe mit $p_{A} (x_{G})$ . 5. Antwort: $MG (x_{G} ∣ p_{G})$ , $x_{G}$ in ME, $p_{G}$ in GE/ME.

Beispiele: Marktgleichgewicht

Den Preis 68 legt keine Seite allein fest. Ändert sich eine der beiden Kurven, ändert sich das Gleichgewicht:

A) Die Anbieter verlangen für jede Menge 10 GE/ME mehr: $p_{A} (x) = 3 x + 30$ . Dazu $p_{N} (x) = - 2 x + 100$ .

- 2 x + 100 = 3 x + 30 \Rightarrow 70 = 5 x \Rightarrow x = 14

14 liegt in $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 50]$ . $p_{N} (14) = 72$ , $p_{A} (14) = 72$ . $MG (14 ∣ 72)$

B) Die Käufer sind bereit, für jede Menge 20 GE/ME mehr zu zahlen: $p_{N} (x) = - 2 x + 120$ . Dazu $p_{A} (x) = 3 x + 20$ .

- 2 x + 120 = 3 x + 20 \Rightarrow 100 = 5 x \Rightarrow x = 20

Sättigungsmenge 60, 20 liegt in $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 60]$ . $p_{N} (20) = 80$ , $p_{A} (20) = 80$ . $MG (20 ∣ 80)$

C) Die Käufer wollen für jede Menge 20 GE/ME weniger zahlen: $p_{N} (x) = - 2 x + 80$ . Dazu $p_{A} (x) = 3 x + 20$ .

- 2 x + 80 = 3 x + 20 \Rightarrow 60 = 5 x \Rightarrow x = 12

Sättigungsmenge 40, 12 liegt in $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 40]$ . $p_{N} (12) = 56$ , $p_{A} (12) = 56$ . $MG (12 ∣ 56)$

Verschiebung des Marktgleichgewichts in A, B und C

D) $p_{N} (x) = - 0, 5 x^{2} + 50$ und $p_{A} (x) = x + 26$ .

- 0, 5 x^{2} + 50 = x + 26 \Rightarrow - 0, 5 x^{2} - x + 24 = 0 \Rightarrow x^{2} + 2 x - 48 = 0

x = - 1 \pm 1 + 48 = - 1 \pm 7

$x = 6$ oder $x = - 8$ . Sättigungsmenge: $- 0, 5 x^{2} + 50 = 0 \Rightarrow x^{2} = 100 \Rightarrow x = 10$ . Nur 6 liegt in $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 10]$ . $p_{N} (6) = - 18 + 50 = 32$ , $p_{A} (6) = 32$ . $MG (6 ∣ 32)$

E) $p_{N} (x) = 0, 1 x^{2} - 6 x + 90$ und $p_{A} (x) = 2 x + 20$ .

0, 1 x^{2} - 6 x + 90 = 2 x + 20 \Rightarrow 0, 1 x^{2} - 8 x + 70 = 0 \Rightarrow x^{2} - 80 x + 700 = 0

x = 40 \pm 1600 - 700 = 40 \pm 900 = 40 \pm 30

$x = 10$ oder $x = 70$ . Sättigungsmenge: $0, 1 x^{2} - 6 x + 90 = 0 \Rightarrow x^{2} - 60 x + 900 = 0 \Rightarrow x = 30 \pm 900 - 900 = 30$ . 70 liegt hinter der Sättigungsmenge, wo die Parabel wieder steigt. Nur 10 liegt in $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 30]$ . $p_{N} (10) = 10 - 60 + 90 = 40$ , $p_{A} (10) = 40$ . $MG (10 ∣ 40)$

F) $p_{N} (x) = - 2 x + 100$ und $p_{A} (x) = 3 x + 120$ .

- 2 x + 100 = 3 x + 120 \Rightarrow - 20 = 5 x \Rightarrow x = - 4

$- 4$ liegt nicht in $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 50]$ . Kein Marktgleichgewicht. Die Anbieter verlangen mindestens 120 GE/ME, die Käufer zahlen höchstens 100 GE/ME.

Merken: Ein Marktgleichgewicht braucht eine Lösung mit $0 \leq x \leq x_{S}$ . Liegt der Mindestangebotspreis über dem Höchstpreis, gibt es keine.

Übungen: Marktgleichgewicht

Bestimmt jeweils das Marktgleichgewicht.

A) $p_{N} (x) = - 3 x + 90$ und $p_{A} (x) = 2 x + 15$

B) $p_{N} (x) = - 0, 5 x^{2} + 72$ und $p_{A} (x) = x + 32$

C) $p_{N} (x) = - 2 x + 60$ und $p_{A} (x) = 4 x + 72$

Lösungen: Marktgleichgewicht

- 3 x + 90 = 2 x + 15 \Rightarrow 75 = 5 x \Rightarrow x = 15

Sättigungsmenge: $- 3 x + 90 = 0 \Rightarrow x = 30$ . 15 liegt in $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 30]$ . $p_{N} (15) = - 45 + 90 = 45$ , $p_{A} (15) = 30 + 15 = 45$ . $MG (15 ∣ 45)$

- 0, 5 x^{2} + 72 = x + 32 \Rightarrow - 0, 5 x^{2} - x + 40 = 0 \Rightarrow x^{2} + 2 x - 80 = 0

x = - 1 \pm 1 + 80 = - 1 \pm 9

$x = 8$ oder $x = - 10$ . Sättigungsmenge: $- 0, 5 x^{2} + 72 = 0 \Rightarrow x^{2} = 144 \Rightarrow x = 12$ . Nur 8 liegt in $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 12]$ . $p_{N} (8) = - 32 + 72 = 40$ , $p_{A} (8) = 8 + 32 = 40$ . $MG (8 ∣ 40)$

- 2 x + 60 = 4 x + 72 \Rightarrow - 12 = 6 x \Rightarrow x = - 2

Sättigungsmenge: $- 2 x + 60 = 0 \Rightarrow x = 30$ . $- 2$ liegt nicht in $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 30]$ . Kein Marktgleichgewicht. Der Mindestangebotspreis 72 GE/ME liegt über dem Höchstpreis 60 GE/ME.

Angebotsüberschuss und Nachfrageüberschuss

Ist der Preis nicht $p_{G}$ , wollen die Käufer eine andere Menge als die Anbieter. Die Differenz der beiden Mengen ist der Überschuss.

Die Anbieter verlangen 80 GE/ME statt 68. Bei festem Preis liefert jede Kurve ihre eigene Menge:

Nachfrage: - 2 x + 100 = 80 \Rightarrow x = 10 Angebot: 3 x + 20 = 80 \Rightarrow x = 20

Angeboten werden 20 ME, gekauft nur 10 ME. 10 ME bleiben liegen: Angebotsüberschuss 10 ME.

Bei 44 GE/ME:

Nachfrage: - 2 x + 100 = 44 \Rightarrow x = 28 Angebot: 3 x + 20 = 44 \Rightarrow x = 8

Gewollt sind 28 ME, angeboten nur 8 ME. 20 ME fehlen: Nachfrageüberschuss 20 ME.

Der Überschuss ist ein Abstand zwischen zwei Mengen, also in ME. Er liegt waagerecht, auf der Höhe des Preises.

Verkauft wird die kleinere der beiden Mengen: bei 80 GE/ME 10 ME, bei 44 GE/ME 8 ME.

Jetzt ihr

Überschuss und verkaufte Menge bei 56 GE/ME?

Lösung

Nachfrage

- 2 x + 100 = 56 \Rightarrow x = 22

, Angebot

3 x + 20 = 56 \Rightarrow x = 12

, Nachfrageüberschuss 10 ME, verkauft 12 ME

Fünf Preise, dieselbe Rechnung:

Preis in GE/ME	Nachfrage in ME	Angebot in ME	Überschuss	verkauft in ME
$92$	$4$	$24$	Angebotsüberschuss 20 ME	$4$
$80$	$10$	$20$	Angebotsüberschuss 10 ME	$10$
$68$	$16$	$16$	keiner	$16$
$56$	$22$	$12$	Nachfrageüberschuss 10 ME	$12$
$44$	$28$	$8$	Nachfrageüberschuss 20 ME	$8$

Merken: Der Wortanfang nennt die Seite, von der es zu viel gibt. Verkauft wird die kleinere Menge.

Warum „Gleichgewicht“?

Bei 80 GE/ME bleiben 10 ME liegen. Die Anbieter unterbieten sich: Jeder verlangt etwas weniger als die anderen, um seine Ware loszuwerden. Der Preis sinkt.

Bei 44 GE/ME fehlen 20 ME. Die Käufer überbieten sich: Jeder bietet etwas mehr als die anderen, um Ware zu bekommen. Der Preis steigt.

Nur bei 68 GE/ME bleibt nichts liegen, und nichts fehlt. Dort ändert sich der Preis nicht mehr: Er ist im Gleichgewicht. Und dort wird am meisten verkauft: 16 ME.

Schema: Überschuss bei einem Preis $p$

Das eben Gerechnete, allgemein:

1. Nachfragemenge: $p_{N} (x) = p$ lösen. 2. Angebotsmenge: $p_{A} (x) = p$ lösen. Negativ heißt 0 ME. 3. Überschuss: größere Menge minus kleinere Menge, in ME. Mehr angeboten: Angebotsüberschuss. Mehr nachgefragt: Nachfrageüberschuss. 4. Verkauft wird die kleinere Menge.

Übungen: Überschuss

Bestimmt jeweils den Überschuss und die verkaufte Menge.

A) $p_{N} (x) = - 3 x + 90$ und $p_{A} (x) = 2 x + 15$ , Preis 57 GE/ME

B) $p_{N} (x) = - 3 x + 90$ und $p_{A} (x) = 2 x + 15$ , Preis 27 GE/ME

C) $p_{N} (x) = - 0, 5 x^{2} + 72$ und $p_{A} (x) = x + 32$ , Preis 22 GE/ME

Lösungen: Überschuss

Nachfrage: - 3 x + 90 = 57 \Rightarrow - 3 x = - 33 \Rightarrow x = 11 Angebot: 2 x + 15 = 57 \Rightarrow 2 x = 42 \Rightarrow x = 21

Mehr angeboten: Angebotsüberschuss $21 - 11 = 10$ ME. Verkauft werden 11 ME.

Nachfrage: - 3 x + 90 = 27 \Rightarrow - 3 x = - 63 \Rightarrow x = 21 Angebot: 2 x + 15 = 27 \Rightarrow 2 x = 12 \Rightarrow x = 6

Mehr nachgefragt: Nachfrageüberschuss $21 - 6 = 15$ ME. Verkauft werden 6 ME.

Nachfrage: - 0, 5 x^{2} + 72 = 22 \Rightarrow x^{2} = 100 \Rightarrow x = 10 oder x = - 10 Angebot: x + 32 = 22 \Rightarrow x = - 10

Nachfrage 10 ME. Angebot $- 10$ ME gibt es nicht, also 0 ME. Mehr nachgefragt: Nachfrageüberschuss $10 - 0 = 10$ ME. Verkauft wird nichts.

Theorie: Warum der Preis senkrecht steht

Im Markt kommt zuerst der Preis. Die Käufer sehen ihn und entscheiden dann, wie viel sie kaufen. Der Preis ist also die Ursache, die Menge die Reaktion.

In der Wirtschaft steht die Menge trotzdem waagerecht und der Preis senkrecht. Das ist eine alte Gewohnheit der Ökonomen. Darum ist die Formel nach dem Preis aufgelöst:

p_{N} (x) = - 2 x + 100 sagt: Zu diesem Preis lassen sich x ME verkaufen.

Das ist die Sicht des Verkäufers: Er wählt die Menge und fragt nach dem Preis. Daher der Name Preis-Absatz-Funktion. Sie passt direkt in den Erlös: $E (x) = p_{N} (x) \cdot x = (- 2 x + 100) \cdot x$ . Die Frage der Käufer „Wie viel bei diesem Preis?“ braucht dafür die Gleichung $p_{N} (x) = p$ .

Das Wort Höchstpreis

Im Wirtschaftsunterricht heißt auch eine Grenze des Staates Höchstpreis. Der Staat verbietet dann Preise über dieser Grenze, zum Beispiel bei Mieten. Mit $p_{N} (x) = - 2 x + 100$ und $p_{A} (x) = 3 x + 20$ , also $MG (16 ∣ 68)$ :

	Preis	Lage	Folge
Höchstpreis der Nachfrage $p_{N} (0)$	$100$ GE/ME	über $p_{G} = 68$	niemand kauft
Höchstpreis des Staates	$44$ GE/ME	unter $p_{G} = 68$	Nachfrageüberschuss 20 ME