等产量线和最小成本组合

一家公司要生产 400 把遮阳伞。为此它需要劳动（ $x$ 个劳动小时）和机器（ $y$ 个机器小时）。一个劳动小时 60 €，一个机器小时 20 €。生产这 400 把伞有很多种配方 $(x ∣ y)$ 。哪一种最便宜？

最便宜的配方叫做最小成本组合（简称 MKK）。这里是 $(3 ∣ 7)$ ：3 个劳动小时和 7 个机器小时，共 320 €。钱再少就做不出 400 把伞；钱再多就是浪费。

等产量线

先看所有配方组成的曲线。公司把生产 400 把伞的配方写成一个函数：

I (x) = \frac{3}{x - 2} + 4

代入劳动小时数 $x$ 。 $I (x)$ 本身就代表 $y$ ：它告诉你这时需要多少机器小时 $y$ 。表中：左边是 $x$ ，中间是分母 $x - 2$ ，右边是 $y = I (x)$ 。

劳动	分母	机器
2.5	0.5	$\frac{3}{0.5} + 4 = 10$
3	1	$\frac{3}{1} + 4 = 7$
4	2	$\frac{3}{2} + 4 = 5.5$
5	3	$\frac{3}{3} + 4 = 5$
8	6	$\frac{3}{6} + 4 = 4.5$

这条曲线叫做等产量线（“产量相同”）：每个点都得到同样的 400 把伞。也写作 $I_{400} (x)$ 。

练习 1：求等产量线函数的定义域和值域。

这个函数是分式有理函数。它有两个分支：

在数学上只有 $x = 2$ 不能代入。在经济上只有右边的分支有意义。这就是经济定义域：

D_{\overset{o}{¨} k} = {x \in R ∣ x > 2}

W_{\overset{o}{¨} k} = {y \in R ∣ y > 4}

简写： $D_{\overset{o}{¨} k} = (2; \infty)$ ， $W_{\overset{o}{¨} k} = (4; \infty)$ 。圆括号的意思是：边界不包括在内。

等成本线

现在看直线。一个配方 $(x ∣ y)$ 的成本是：

K = p_{x} \cdot x + p_{y} \cdot y

这里： $K = 60 x + 20 y$ 。这个成本函数要和等产量线画在同一张图里。为此左边必须只剩下 $y$ 。每一步都做相反的运算：

K K - p_{x} x \frac{K - p _{x} x}{p _{y}} = p_{x} x + p_{y} y = p_{y} y = y ∣ - p_{x} x ∣ : p_{y}

整理后：

y = - \frac{p _{x}}{p _{y}} x + \frac{K}{p _{y}}

代入 60 和 20：

y = - 3 x + \frac{K}{20}

一条等成本线（“成本相同”）包含所有恰好花费 $K$ 欧元的配方。

用原来的配方，公司要花 450 €。450 € 的一个例子是 $(5 ∣ 7.5)$ ： $60 \cdot 5 + 20 \cdot 7.5 = 450 €$ 。它不在等产量线上：它用了 7.5 个机器小时；而生产 400 把伞只需要 5 个，因为 $I (5) = 5$ 。

练习 2：到目前为止的成本是 450 €。写出目前成本对应的等成本线。

60 x + 20 y 20 y y = 450 = - 60 x + 450 = - 3 x + 22.5 ∣ - 60 x ∣ : 20

这就是直线族里 450 € 的那条直线：起点在 22.5，然后向右 1、向下 3。

斜率 $- \frac{p _{x}}{p _{y}} = - 3$ 只取决于价格。截距 $\frac{K}{p _{y}}$ 取决于预算：450 € 得 22.5，350 € 得 17.5，320 € 得 16。

相交还是相切

为什么直线与曲线相切的那个点是最便宜的配方？上面预算从 280 € 增加到 320 €。如果预算继续增加，会怎样？

检验：

- $(2.5 ∣ 10)$ ： $150 + 200 = 350 €$ - $(4 ∣ 5.5)$ ： $240 + 110 = 350 €$ - $(3 ∣ 7)$ ： $180 + 140 = 320 €$

计算时怎样认出切点？

计算最小成本组合

练习 3：求最小成本组合以及相应的最小生产成本。写出最小成本对应的等成本线。

为了求 $I^{'} (x)$ ，把分式写成幂的形式：

\frac{3}{x - 2} = 3 (x - 2)^{- 1}

现在令两者一样陡： $I^{'} (x) = - 3$ 。

结果：

- 最小成本组合：MKK $(3 ∣ 7)$ ，即 3 个劳动小时和 7 个机器小时。 - 最小成本： $K_{min} = 60 \cdot 3 + 20 \cdot 7 = 320 €$ 。 - 最小成本对应的等成本线： $y = - 3 x + 16$ 。检验： $- 3 \cdot 3 + 16 = 7$ 。✓

方法

60 € 和 20 € 换成 $p_{x}$ 和 $p_{y}$ ， $\frac{3}{x - 2} + 4$ 换成任意一条等产量线 $I (x)$ 。

步骤	例子	一般
1	$y = - 3 x + \frac{K}{20}$	解出 $y$
2	$I^{'} (x) = - \frac{3}{( x - 2 ) ^{2}}$	求 $I^{'} (x)$
3	$- \frac{3}{( x - 2 ) ^{2}} = - 3$	$I^{'} (x) = - \frac{p _{x}}{p _{y}}$
4	$x = 3$ ； $x = 1$ 舍去	$x$ 在 $D_{\overset{o}{¨} k}$ 内
5	$y = I (3) = 7$	$y = I (x)$
6	$60 \cdot 3 + 20 \cdot 7 = 320$	把 $x, y$ 代入 $K$

最小成本组合在等成本线与等产量线相切的地方。在那里：

I^{'} (x) = - \frac{p _{x}}{p _{y}}

对应的等成本线：

y = - \frac{p _{x}}{p _{y}} x + \frac{K _{min}}{p _{y}}

其他价格

等产量线不变，但劳动便宜： $p_{x} = 20$ €， $p_{y} = 60$ €。价格写成“劳动 : 机器”的一对数，这里是 20 : 60。

计算如下：

- \frac{3}{( x - 2 ) ^{2}} \frac{9}{( x - 2 ) ^{2}} (x - 2)^{2} = - \frac{1}{3} ∣ \cdot (- 3) = 1 = 9

$x - 2 = 3$ 得 $x = 5$ ； $x - 2 = - 3$ 得 $x = - 1$ ，不在 $D_{\overset{o}{¨} k}$ 内。

y = I (5) = 1 + 4 = 5

K = 20 \cdot 5 + 60 \cdot 5 = 400

同一条等产量线的另外两组价格：

- $p_{x} = 90$ €， $p_{y} = 30$ €：斜率又是 $- 3$ 。所以切点同样是 $(3 ∣ 7)$ ，只是更贵： $270 + 210 = 480$ €。 - $p_{x} = 80$ €， $p_{y} = 60$ €：斜率是 $- \frac{4}{3}$ ，所以 $(x - 2)^{2} = \frac{9}{4}$ ， $x = 3.5$ ， $y = 6$ 。成本： $280 + 360 = 640$ €。

价格	斜率	MKK	成本
60 : 20	$- 3$	$(3 ∣ 7)$	320 €
20 : 60	$- \frac{1}{3}$	$(5 ∣ 5)$	400 €
90 : 30	$- 3$	$(3 ∣ 7)$	480 €
80 : 60	$- \frac{4}{3}$	$(3.5 ∣ 6)$	640 €

价格比相同，MKK 就相同。价格比不同，MKK 就不同。

另一条等产量线

$I (x) = \frac{12}{x - 1} + 2$ ， $p_{x} = 30$ €， $p_{y} = 10$ €。这里 $D_{\overset{o}{¨} k} = (1; \infty)$ ，即 $x > 1$ 。

I^{'} (x) - \frac{12}{( x - 1 ) ^{2}} (x - 1)^{2} = - \frac{12}{( x - 1 ) ^{2}} = - 3 = 4

$x - 1 = 2$ 得 $x = 3$ ； $x - 1 = - 2$ 得 $x = - 1$ ，不在 $D_{\overset{o}{¨} k}$ 内。

y = \frac{12}{2} + 2 = 8

K = 30 \cdot 3 + 10 \cdot 8 = 170

对于这种形式的等产量线，方程有两个解。一个在 $D_{\overset{o}{¨} k}$ 之外（在左边的分支上），另一个就是最便宜的配方：等成本线与等产量线相切的那个点。

你来试试

已知

I (x) = \frac{3}{x - 2} + 4

，

p_{x} = 30

€，

p_{y} = 40

€。a) 求最小成本组合。b) 求最小成本和对应的等成本线。

答案

- \frac{3}{( x - 2 ) ^{2}} = - \frac{30}{40} = - \frac{3}{4}

，所以

(x - 2)^{2} = 4

。

x = 4

；

x = 0

的情况不在

D_{\overset{o}{¨} k}

内。

y = I (4) = \frac{3}{2} + 4 = 5.5

。MKK

(4 ∣ 5.5)

。b)

K_{min} = 30 \cdot 4 + 40 \cdot 5.5 = 120 + 220 = 340

€。直线：

y = - 0.75 x + \frac{340}{40} = - 0.75 x + 8.5

。检验：

- 3 + 8.5 = 5.5

。