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Wie tief ist der Brunnen?

Die Tiefe eines Brunnens lässt sich mit einer Stoppuhr messen. Ihr lasst einen Stein fallen und stoppt die Zeit bis zu dem Moment, in dem ihr den Aufschlag hört. Zum Beispiel: Ihr hört den Aufschlag nach 2,5 s. Schall läuft in Luft mit etwa 300 m/s.

Brunnen im Schnitt: Stein fällt links, Schall steigt rechts

Die Stoppuhr zeigt 2,5 s. Was ist in diesen 2,5 s passiert?

Was die Stoppuhr misst

Der Brunnen ist tief und dunkel. Den Aufschlag seht ihr nicht, ihr hört ihn. Das Platschen muss erst nach oben kommen.

Zeitstrahl: Loslassen, Aufschlag mit Fragezeichen, Hören; t1 blau, t2 rot, zusammen 2,5 s

Das kennt ihr vom Gewitter: Der Blitz ist sofort da, der Donner kommt später.

In den 2,5 s stecken zwei Vorgänge, nacheinander:

Vorgang	Richtung	Bewegung	Zeit
Stein	nach unten	beschleunigt, Start in Ruhe ( $v_{0} = 0$ )	$t_{1}$
Schall	nach oben	gleichförmig, $v_{S} = 300 m/s$	$t_{2}$

t_{1} + t_{2} = 2, 5 s

Jeder Vorgang hat sein eigenes Gesetz

Beide legen dieselbe Strecke zurück: die Tiefe $h$ vom Brunnenrand bis zum Wasser. Jeden Weg zählen wir ab seinem eigenen Start.

Brunnen im Schnitt: blauer Pfeil s_Stein nach unten ab dem Rand, roter Pfeil s_Schall nach oben ab dem Wasser, Doppelpfeil h

Der Stein

Der Stein startet in Ruhe am Rand. Er fällt mit der Fallbeschleunigung $g = 9, 81 m/s^{2}$ , wie jeder Körper beim freien Fall.

	allgemein	Stein
Beschleunigung	$a$	$g = 9, 81 m/s^{2}$
Startgeschwindigkeit	$v_{0}$	$0$
Startort	$s_{0}$	$0$ (am Rand)
Zeit	$t$	$t_{1}$

s = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0} t + s_{0} ⟹ h = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 \frac{m}{s ^{2}} \cdot t_{1}^{2} = 4, 905 \frac{m}{s ^{2}} \cdot t_{1}^{2}

Die Zeit steht im Quadrat. Doppelte Zeit heißt vierfache Tiefe:

$t_{1}$	$1 s$	$2 s$
$4, 905 \cdot t_{1}^{2}$	$4, 905 m$	$19, 62 m$

Der Schall

Der Schall startet am Wasser und läuft gleichförmig nach oben:

	allgemein	Schall
Geschwindigkeit	$v$	$v_{S} = 300 m/s$
Startort	$s_{0}$	$0$ (am Wasser)
Zeit	$t$	$t_{2}$

s = v \cdot t + s_{0} ⟹ h = 300 \frac{m}{s} \cdot t_{2}

Zwei Unbekannte, zwei Bedingungen

Unbekannt sind $t_{1}$ und $t_{2}$ . Die Zeitgleichung allein reicht nicht. Probiert $t_{1} = 2 s$ und $t_{2} = 0, 5 s$ :

	Stein	Schall	passt?
Zeit	$2 s + 0, 5 s = 2, 5 s$		ja
Strecke	$4, 905 \cdot 2^{2} = 19, 62 m$	$300 \cdot 0, 5 = 150 m$	nein

Der Stein muss genauso weit fallen, wie der Schall hochläuft. Das ist die zweite Bedingung:

Stein 4, 905 \frac{m}{s ^{2}} \cdot t_{1}^{2} = Schall 300 \frac{m}{s} \cdot t_{2}

Einheitenprobe: links $\frac{m}{s ^{2}} \cdot s^{2} = m$ , rechts $\frac{m}{s} \cdot s = m$ . Beide Seiten sind Meter.

Die Gleichung lösen

Um nur noch $t_{1}$ zu haben, stellen wir die Zeitgleichung nach $t_{2}$ um und setzen ein (ab hier ohne Einheiten, Zeiten in s):

t_{2} 4, 905 t_{1}^{2} 4, 905 t_{1}^{2} 4, 905 t_{1}^{2} + 300 t_{1} - 750 = 2, 5 - t_{1} = 300 (2, 5 - t_{1}) = 750 - 300 t_{1} = 0

Das Quadrat stammt vom fallenden Stein. Die pq-Formel braucht vor $t_{1}^{2}$ eine 1. Darum teilen wir jede Zahl durch $4, 905$ (Taschenrechner):

	$t_{1}^{2}$	$t_{1}$	Zahl
vorher	$4, 905$	$300$	$- 750$
geteilt durch $4, 905$	$1$	$p = 61, 162$	$q = - 152, 905$

t_{1}^{2} + 61, 162 t_{1} - 152, 905 = 0

In der pq-Formel steht $- q$ . Aus $q = - 152, 905$ wird $- q = + 152, 905$ :

t_{1} = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q = - 30, 5810 \pm 935, 200 + 152, 905 = - 30, 5810 \pm 1088, 105 = - 30, 5810 \pm 32, 9864

	Wert	passt zum Vorgang?
$t_{1, a}$	$- 30, 5810 + 32, 9864 = 2, 4054$	ja, zwischen $0$ und $2, 5 s$
$t_{1, b}$	$- 30, 5810 - 32, 9864 = - 63, 5674$	nein, 63 s vor dem Loslassen

Die Rechnung liefert zwei Zahlen. Nur eine davon passt zum Stein.

t_{2} = 2, 5 - 2, 4054 = 0, 0946 s

h = 300 \cdot 0, 0946 \approx 28, 4 m

Ergebnis: $t_{1} \approx 2, 405 s$ , $t_{2} \approx 0, 095 s$ , $h \approx 28, 4 m$

Probe

4, 905 \cdot 2, 405 4^{2} \approx 28, 4 m ✓

Maßstäblicher Zeitstrahl: t1 = 2,405 s fast die ganze Länge, t2 = 0,095 s als schmaler Streifen

$t_{2}$ ist winzig. Darum rechnet ihr mit vier Nachkommastellen bis zum Ende:

$t_{1}$	$t_{2} = 2, 5 - t_{1}$	$h = 300 \cdot t_{2}$
$2, 4054$	$0, 0946$	$28, 38 m$
$2, 405$	$0, 095$	$28, 5 m$
$2, 41$	$0, 09$	$27 m$

Warum ist der Schall so schnell fertig? Vergleicht die Durchschnittsgeschwindigkeiten, also Strecke geteilt durch Zeit:

	Strecke : Zeit	Durchschnitt
Stein	$\frac{28 , 4 m}{2 , 4054 s}$	$\approx 11, 8 m/s$
Schall	$\frac{28 , 4 m}{0 , 0946 s}$	$\approx 300 m/s$

Der Schall ist rund 25-mal so schnell. Für dieselbe Strecke braucht er rund ein 25stel der Zeit.

Schema: Fall und Schall

Hier steht das eben Gerechnete allgemein, für die gemessene Zeit $T$ und die Schallgeschwindigkeit $v_{S}$ :

1. Zeitbedingung: $t_{1} + t_{2} = T$ 2. Streckenbedingung: $\frac{1}{2} g t_{1}^{2} = v_{S} \cdot t_{2}$ 3. Bedingungen verbinden: $t_{2} = T - t_{1}$ einsetzen, alles auf eine Seite bringen: $\frac{1}{2} g t_{1}^{2} + v_{S} t_{1} - v_{S} T = 0$ 4. Gleichung lösen (Schema pq-Formel), nur $0 < t_{1} < T$ behalten 5. $t_{2} = T - t_{1}$ , dann $h = v_{S} \cdot t_{2}$ 6. Probe: $\frac{1}{2} g t_{1}^{2} = h$

Schema: pq-Formel

Hier steht der Lösungsschritt 4 allgemein, für $a t^{2} + b t + c = 0$ :

1. Durch $a$ teilen: $t^{2} + p t + q = 0$ mit $p = \frac{b}{a}$ , $q = \frac{c}{a}$ 2. $\frac{p}{2}$ und $(\frac{p}{2})^{2}$ ausrechnen 3. Unter der Wurzel $- q$ : ist $q$ negativ, wird addiert 4. $t = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q$ , beide Werte ausrechnen 5. Nur den Wert behalten, der zum Vorgang passt 6. Zwischenwerte mit vier Nachkommastellen, erst das Ergebnis runden

Und ohne Schall?

Wer den Schall weglässt, gibt dem Stein die ganzen 2,5 s:

h_{ohne} = 4, 905 \cdot 2, 5^{2} \approx 30, 7 m

Zwei Brunnen nebeneinander: mit Schall 28,4 m, ohne Schall 30,7 m, Unterschied 2,3 m markiert

Bei einem tieferen Brunnen, gehört nach 4 s, liefert das Schema oben $h = 69, 64 m$ :

gehört nach	mit Schall	ohne Schall: $4, 905 \cdot T^{2}$	zu tief um
$2, 5 s$	$28, 38 m$	$30, 66 m$	$2, 28 m$
$4 s$	$69, 64 m$	$78, 48 m$	$8, 84 m$

Je tiefer der Brunnen, desto größer der Fehler.

Unser Modell lässt weg: den Luftwiderstand (die Luft bremst den Stein ein wenig) und eure Reaktionszeit (bis die Hand die Uhr stoppt). Darum geben wir die Tiefe auf 0,1 m gerundet an: $h \approx 28, 4 m$ .

Übungen

Jetzt ihr

Nach 2 s hört ihr den Aufschlag, Schall läuft mit 300 m/s. a) Stellt Zeit- und Streckenbedingung auf. b) Berechnet

t_{1}

t_{2}

und die Tiefe.

Lösung

t_{1} + t_{2} = 2 s

4, 905 t_{1}^{2} = 300 t_{2}

; b)

4, 905 t_{1}^{2} + 300 t_{1} - 600 = 0

p = 61, 162

q = - 122, 324

t_{1} \approx 1, 9386 s

t_{2} \approx 0, 0614 s

h \approx 18, 4 m

Jetzt ihr

Ein Stein fällt in einen Schacht, nach 3 s hört ihr den Aufschlag. Schall läuft mit 340 m/s. a) Berechnet die Tiefe. b) Wie tief wäre der Schacht ohne Schall?

Lösung

4, 905 t_{1}^{2} + 340 t_{1} - 1020 = 0

p = 69, 317

q = - 207, 951

t_{1} \approx 2, 8803 s

t_{2} \approx 0, 1197 s

h \approx 40, 7 m

; b)

4, 905 \cdot 3^{2} \approx 44, 1 m

Jetzt ihr

Nach 4 s hört ihr den Aufschlag, Schall läuft mit 300 m/s. a) Berechnet

t_{1}

t_{2}

und die Tiefe. b) Um wie viel Meter irrt sich, wer den Schall weglässt?

Lösung

4, 905 t_{1}^{2} + 300 t_{1} - 1200 = 0

p = 61, 162

q = - 244, 648

t_{1} \approx 3, 7679 s

t_{2} \approx 0, 2321 s

h \approx 69, 6 m

; b) ohne Schall

78, 48 m

, also

78, 48 - 69, 64 \approx 8, 8 m

zu tief