Schräger Wurf trifft freien Fall

Zwei Bälle sollen sich in der Luft treffen. Ball 1 fliegt schräg, Ball 2 fällt senkrecht, und wir wollen wissen, wann wir Ball 2 loslassen müssen.

Ball 1 wird vom Boden mit $v_0=14\text{m/s}$ unter $40°$ geworfen. Bei $x=15\text{m}$ hängt Ball 2 in $7\text{m}$ Höhe.

Die Bahn von Ball 1 kreuzt die Falllinie von Ball 2 im Punkt K. Dort müssen beide sein, und zwar im selben Moment. Treffen heißt: derselbe Ort zur selben Zeit.

Wir brauchen drei Zahlen:

- a) Wann ist Ball 1 bei K? - b) Wie hoch liegt K? - c) Wie lange fällt Ball 2 von 7 m bis K?

Die Uhr startet beim Wurf. Ihre Zeit heißt $t$.

Ball 1: Wann ist er bei K, und wie hoch?

Die Geschwindigkeit zerlegen

Der Pfeil $v_0=14\text{m/s}$ unter $40°$ zerfällt in einen waagerechten Teil $v_{0x}$ und einen senkrechten Teil $v_{0y}$:

Die zwei Bewegungen hinschreiben

Wir rechnen ohne Luftwiderstand, der Ball ist ein Punkt. Die Höhe $y$ zählt nach oben. Die Erdbeschleunigung $g=9,81{\text{m/s}}^2$ zieht nach unten, also ist senkrecht $a=-9,81{\text{m/s}}^2$. Waagerecht beschleunigt nichts, also $a=0$. Beide Zeilen kommen aus $s(t)=\frac{1}{2}a{t}^2+v_{0}t+s_0$:

a) Die x-Stelle gibt die Zeit

$x_1$ wächst die ganze Zeit. Zu $x=15$ gehört also genau ein Zeitpunkt. Wir nennen ihn $t_1$:

b) Die Zeit gibt die Höhe

Dieselbe Zeit kommt in $y_1$:

> Ball 1 ist bei $t_1=1,399\text{s}$ in K. K liegt $y_K=2,99\text{m}$ hoch.

Merken: Die x-Stelle gibt die Zeit, die Zeit gibt die Höhe.

Andersherum klappt es nicht. Die Höhe $2,99\text{m}$ hat Ball 1 zweimal, einmal beim Steigen und einmal beim Fallen:

Schema: Treffpunkt von Ball 1

Das eben Gerechnete, allgemein. Ball 2 hängt bei $x_K$:

1. Zerlegen: $v_{0x}=v_0\cos \alpha$, $v_{0y}=v_0\sin \alpha$ 2. Aufstellen: $x_1(t)=v_{0x}t$, $y_1(t)=\frac{1}{2}\cdot (-g)t^2+v_{0y}t$ 3. Zeit: $x_1(t_1)=x_K$, also $t_1=\frac{x_K}{v_{0x}}$ 4. Höhe: $y_K=y_1(t_1)$

c) Ball 2: Wie lange fällt er bis K?

Ball 2 wird erst später losgelassen. Seine Fallzeit messen wir darum mit einer zweiten Uhr, die beim Loslassen auf null steht. Ihre Zeit heißt $\tau$ (griechisch, sprich „tau“).

Für Ball 2 gilt dieselbe Formel, nur mit seinen senkrechten Startwerten:

Ball 2 soll in K ankommen, also auf $y_K=2,99\text{m}$:

Die Lösung $-0,904$ fällt weg: Vor dem Loslassen fällt Ball 2 noch nicht.

> Ball 2 braucht $\tau =0,904\text{s}$ von 7 m bis K.

Schema: Fallzeit von Ball 2

Ball 2 hängt in der Höhe $h$:

1. Aufstellen: $y_2(\tau )=\frac{1}{2}\cdot (-g){\tau }^2+h$ 2. Ankunft in K: $y_2(\tau )=y_K$ 3. Nach ${\tau }^2$ umstellen: ${\tau }^2=\frac{h-y_K}{\frac{1}{2}g}$ 4. Wurzel ziehen, nur $\tau >0$ behalten

Die Verzögerung

Beide Bälle kommen im selben Moment in K an. Ball 1 ist bis dahin $t_1=1,399\text{s}$ unterwegs, Ball 2 nur $\tau =0,904\text{s}$. Ball 2 wartet also die Differenz. Sie heißt Verzögerung $\Delta t$:

> Ball 2 wird etwa $0,5\text{s}$ nach dem Wurf losgelassen.

Und ohne Wartezeit? Dann fällt Ball 2 die ganzen 7 m bis zum Boden:

Nach $1,19\text{s}$ liegt er am Boden. Ball 1 kommt erst bei $1,399\text{s}$ an K vorbei:

Hängt Ball 2 in $15\text{m}$ Höhe, braucht er für seinen Fall länger als Ball 1 für seinen Flug:

Der rote Pfeil beginnt links vom Wurf: Ball 2 fällt schon, bevor Ball 1 geworfen wird.

Schema: Verzögerung

1. Flugzeit von Ball 1 bis K: $t_1$ 2. Fallzeit von Ball 2 bis K: $\tau$ 3. Verzögerung: $\Delta t=t_1-\tau$ 4. Deuten: $\Delta t>0$, Ball 2 nach dem Wurf loslassen; $\Delta t<0$, vorher

Steigt oder fällt Ball 1 bei K?

Die Höhe sagt es nicht, $2,99\text{m}$ kommt ja zweimal vor. Es entscheidet die senkrechte Geschwindigkeit $v_y$: positiv heißt steigen, negativ heißt fallen.

Bei gleichmäßiger Beschleunigung gilt $v(t)=at+v_0$. Senkrecht ist $a=-9,81$ und $v_0=v_{0y}=9,00$:

> $v_y$ ist negativ: Ball 1 fällt schon, wenn er K trifft.

Wo die Gerade die t-Achse schneidet, ist $v_y=0$. Dort hört Ball 1 auf zu steigen: Das ist der höchste Punkt der Bahn, der Scheitel. Die Zeit bis dorthin heißt Steigzeit $t_S$:

Die Höhe dort heißt Scheitelhöhe $H$:

Am Scheitel ist nur der senkrechte Teil null. Waagerecht fliegt Ball 1 weiter mit $10,72\text{m/s}$:

Der graue Pfeil $g$ ist an jeder Stelle gleich lang, auch am Scheitel. Darum fällt die $v_y$-Gerade überall gleich steil.

Schema: Steigt oder fällt?

1. Senkrechte Geschwindigkeit: $v_y(t)=-gt+v_{0y}$ 2. Einsetzen: $v_y(t_1)$ ausrechnen 3. Deuten: $v_y(t_1)>0$ steigt, $v_y(t_1)<0$ fällt 4. Scheitel bei Bedarf: $v_y(t_S)=0$, dann $H=y_1(t_S)$

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