[M6 int1 v1] Integralrechnung

Integrieren heißt: Wir kennen die Ableitung und suchen die Funktion, aus der sie kommt.

Beim Ableiten fällt jede Zahl weg. $x^3+5$ und $x^3-7$ haben beide die Ableitung $3x^2$. Rückwärts kennen wir die Zahl nicht. Darum schreiben wir $+c$.

Das Zeichen $\int$ heißt Integral. Das $dx$ sagt: Die Variable ist $x$. Die gesuchte Funktion heißt Stammfunktion $F$.

Probe: $(x^3+c{)}^{\prime }=3x^2$ ✓

Die Potenzregel

Der Exponent geht um 1 nach oben. Dann teilen wir durch den neuen Exponenten.

Probe: $(x^4{)}^{\prime }=4x^3$ ✓

Beispiele:

i) $\int x^{2}dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^3}{3}+c$

ii) $\int xdx=\frac{1x^{1+1}}{1+1}=\frac{x^2}{2}+c$

iii) $\int 5dx=\frac{5x^{0+1}}{0+1}=5x+c$

iv) $\int 6x^{5}dx=\frac{6x^{5+1}}{5+1}=\frac{6}{6}{x}^6=x^6+c$

v) $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}=-\frac{1}{x}+c$

vi) $\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+c$

Die Zahl 5 verschwindet nicht. Sie bekommt ein $x$. Auch bei $-2$ und $\frac{1}{2}$ rechnen wir $+1$.

Die Fläche unter dem Graphen

Wie groß ist die Fläche unter $f(x)=x^2$ zwischen 0 und 3? Die Kurve ist krumm. Wir schätzen mit Rechtecken.

Je dünner die Rechtecke, desto genauer. Die Summe nähert sich einer Zahl bei 9.

Diese Zahl liefert die Stammfunktion. Wir setzen oben die 3 ein, unten die 0, und ziehen ab:

Die Fläche ist 9 Flächeneinheiten (FE).

Schema: bestimmtes Integral

1. Stammfunktion $F$ bilden. 2. $F(b)$ und $F(a)$ ausrechnen. 3. $F(b)-(F(a))$.

Das $+c$ fällt weg: $(F(b)+c)-(F(a)+c)=F(b)-F(a)$.

Beispiele:

i) ${\int }_1^{3}2xdx=[x^2{]}_1^3=9-(1)=8$

ii) ${\int }_0^{2}3x^{2}dx=[x^3{]}_0^2=8-(0)=8$

iii) ${\int }_{-1}^2{x}^{2}dx=[\frac{x^3}{3}{]}_{-1}^2=\frac{8}{3}-(-\frac{1}{3})=3$

iv) ${\int }_0^3(-2x)dx=[-x^2{]}_0^3=-9-(0)=-9$

In iii) wird die Klammer wichtig: minus minus ergibt plus. In iv) liegt der Graph unter der x-Achse. Dort ist das Integral negativ. Die Fläche ist 9 FE.