This chapter is only available in German so far.

[M5 pe v1] Preiselastizität

Steigt der Preis, kaufen die Kunden weniger. Aber wie stark reagiert die Menge? Das misst die Preiselastizität $ε$ , kurz: die Elastizität.

Ein Beispiel: Die Nachfrage ist $x (p) = 100 - 2 p$ .

Bei 30 € kaufen die Kunden $x (30) = 40$ Stück. Jetzt steigt der Preis um 10 %, auf 33 €. Dann kaufen die Kunden nur noch $x (33) = 34$ Stück. Das sind 6 Stück oder 15 % weniger. Wir teilen die beiden Prozente und erhalten $ε = - 1, 5$ . Pro 1 % mehr Preis sinkt die Menge also um 1,5 %.

Das ist die Preiselastizität: Um wie viel Prozent ändert sich die Menge, wenn der Preis um 1 % steigt?

Meist ist $ε$ negativ, denn ein höherer Preis senkt die Menge. Wie stark die Menge reagiert, lesen wir darum am Betrag $∣ ε ∣$ ab.

Unser Beispiel hat $∣ ε ∣ = 1, 5$ , der schwarze Punkt. Es liegt über 1, die Nachfrage ist also elastisch.

Welche Rechnung wann

- Sind zwei Zahlenpaare gegeben, vorher und nachher, reicht Prozentrechnung. So war es im ersten Beispiel: 30 € und 40 Stück, dann 33 € und 34 Stück. - Ist eine Funktion gegeben, können wir $ε$ genau an einem Punkt der Funktion ausrechnen. Dieser Wert heißt Punktelastizität. Wir brauchen dafür die Ableitung. - Die Bogenelastizität rechnet mit Mittelwerten. Sie gehört nicht zu diesem Kapitel.

Warum die Ableitung? Das zeigen die nächsten zwei Bilder.

Von den Prozenten zur Formel

Die Prozente aus dem ersten Beispiel lassen sich anders schreiben.

Wir beginnen mit dem Quotienten der Prozente. 15 % von 40 Stück sind 6 Stück, 10 % von 30 € sind 3 €. Also teilen wir $\frac{- 6}{40}$ durch $\frac{3}{30}$ . Durch einen Bruch teilen heißt: mit seinem Kehrwert malnehmen. Nun tauschen 40 und 3 ihre Plätze. $\frac{- 6}{3} = - 2$ Stück je Euro ist die Steigung zwischen den beiden Punkten. Bei einer Geraden ist sie überall gleich, also gleich der Ableitung $x^{'} (p)$ . $\frac{30}{40}$ ist Preis durch Menge, $\frac{p}{x}$ , an unserer Stelle. Beides zusammen ergibt wieder $- 1, 5$ .

Bei einer Kurve ist die Steigung zwischen zwei Punkten nicht überall gleich.

An der Kurve $x (p) = 400 - p^{2}$ gehen wir von $p = 10$ bis 13. Die Steigung dazwischen ist $\frac{231 - 300}{3} = - 23$ . Von 10 bis 11 ist sie $\frac{279 - 300}{1} = - 21$ . Rückt der zweite Punkt ganz heran, wird die Gerade zur Tangente. Ihre Steigung ist die Ableitung $x^{'} (10) = - 20$ .

Die Ableitung gehört also zu genau einem Punkt. Darum nimmt die Punktelastizität die Ableitung statt der Steigung zwischen zwei Punkten.

So entsteht die Formel der Punktelastizität für eine Nachfragefunktion $x (p)$ :

ε (p) = x^{'} (p) \cdot \frac{p}{x ( p )}

Wir rechnen sie in vier Schritten aus, für $x (p) = 100 - 2 p$ an der Stelle $p = 30$ .

Schritt 1: der Punkt an der Stelle, $x (30) = 100 - 60 = 40$ . Der Preis 30 und die Menge 40 kommen in den Bruch. Schritt 2: die Ableitung. 10 nach rechts, 20 nach unten: $x^{'} (p) = - 2$ . Sie kommt vor den Bruch. Schritt 3: Alles ist eingesetzt. Es ergibt $ε = - 1, 5$ . Schritt 4: $∣ ε ∣ = 1, 5 > 1$ , also ist die Nachfrage elastisch.

Dieselben vier Schritte für eine andere Nachfrage, $x (p) = 180 - 3 p$ bei $p = 20$ :

x (20) x^{'} (p) ε ∣ ε ∣ = 180 - 60 = 120 = - 3 = - 3 \cdot \frac{20}{120} = - 0, 5 = 0, 5 < 1

Die Nachfrage ist hier unelastisch. Steigt der Preis um 1 %, sinkt die Menge nur um 0,5 %.

Jeder Punkt hat seine eigene Elastizität

Zurück zu $x (p) = 100 - 2 p$ . Die Gerade hat überall die Steigung $- 2$ . Trotzdem ändert sich $ε$ von Punkt zu Punkt, denn $\frac{p}{x}$ ändert sich.

Bei 10 € kaufen die Kunden 80 Stück. Das graue Rechteck ist der Umsatz $U = 10 \cdot 80 = 800$ . Hier ist $ε = - 2 \cdot \frac{10}{80} = - 0, 25$ . Unten steht der Umsatz 800 beim Preis 10. Nun zu 40 €. Das alte Rechteck bleibt als Umriss. Hier ist $ε = - 2 \cdot \frac{40}{20} = - 4$ und $U = 40 \cdot 20 = 800$ . Nun zu 25 €, genau dazwischen. Hier ist $ε = - 1$ und $U = 25 \cdot 50 = 1250$ , mehr als beide Umrisse. Die Kurve $U (p) = p \cdot (100 - 2 p)$ hat ihren Gipfel bei 25 €. Links von 25 € ist die Nachfrage unelastisch, rechts davon elastisch.

Warum liegt der Gipfel genau bei $∣ ε ∣ = 1$ ? Steigt der Preis um 1 %, bringt jedes Stück 1 % mehr. Dafür verkaufen wir $∣ ε ∣$ % weniger Stück.

Preis	$∣ ε ∣$	Umsatz bei 1 % mehr Preis
10 €	0,25	etwa +0,75 %: steigt
40 €	4	etwa −3 %: fällt
25 €	1	etwa 0 %: Gipfel

Bei $∣ ε ∣ = 1$ ist die Nachfrage proportional elastisch, und der Umsatz ist am größten. Diesen Preis nennt man den umsatzmaximalen Preis, den Preis mit dem größten Umsatz.

Wir finden ihn auch ohne Bild. Dafür setzen wir $x^{'} (p) = - 2$ und $x (p) = 100 - 2 p$ in die Formel ein. So erhalten wir $ε$ für jeden Preis $p$ , die Elastizitätsfunktion:

ε (p) = - 2 \cdot \frac{p}{100 - 2 p} = \frac{- 2 p}{100 - 2 p}

Die Kurve zeigt $ε (p)$ für jeden Preis. Sie beginnt bei 0 und fällt immer steiler. Die gestrichelte Linie liegt bei $ε = - 1$ . Sie schneidet die Kurve bei $p = 25$ .

Rechnerisch: Für $0 < p < 50$ ist $ε$ negativ. Also heißt $∣ ε ∣ = 1$ hier $ε = - 1$ , und ohne das Minus:

\frac{2 p}{100 - 2 p} 2 p 4 p p = 1 = 100 - 2 p = 100 = 25

Der umsatzmaximale Preis ist also 25 €, mit $x (25) = 50$ und $U = 25 \cdot 50 = 1250$ .

Wenn p(x) gegeben ist

Oft ist die Preis-Absatz-Funktion $p (x)$ gegeben. Sie ist dieselbe Nachfrage, nur nach $p$ umgestellt:

x 2 p p (x) = 100 - 2 p = 100 - x = 50 - 0, 5 x

Die Ableitungen sehen die Gerade von zwei Seiten. $x^{'} (p) = - 2$ heißt: 1 € mehr, 2 Stück weniger. $p^{'} (x) = - 0, 5$ heißt: 1 Stück mehr, 0,5 € weniger. Das eine ist der Kehrwert des anderen. Darum steht in der Formel der Kehrwert $\frac{1}{p ^{'} ( x )}$ :

ε (x) = \frac{1}{p ^{'} ( x )} \cdot \frac{p ( x )}{x}

Wir rechnen an derselben Stelle, $x = 40$ . Dann ist $p (40) = 50 - 20 = 30$ und $p^{'} (x) = - 0, 5$ .

Zum Vergleich steht grau die Rechnung mit $x (p)$ : $ε = - 2 \cdot \frac{30}{40}$ . Der Kehrwert $\frac{1}{- 0 , 5}$ ist genau $- 2$ . Also ist wieder $ε = - 1, 5$ , wie es bei derselben Nachfrage sein muss.

Eine quadratische Nachfrage

Die vier Schritte gehen genauso bei $x (p) = 400 - p^{2}$ an der Stelle $p = 10$ :

x (10) x^{'} (p) x^{'} (10) ε ∣ ε ∣ = 400 - 100 = 300 = - 2 p = - 20 = - 20 \cdot \frac{10}{300} \approx - 0, 67 \approx 0, 67 < 1

Die Nachfrage ist hier unelastisch.

Dieselbe Elastizität bei jedem Preis

Bei $x (p) = 1000 \cdot p^{- 2}$ geschieht etwas Besonderes.

Zuerst leiten wir mit der Potenzregel ab. Den negativen Exponenten schreiben wir als Bruch. Für den zweiten Faktor rechnen wir $\frac{p}{x}$ aus: Das ist $\frac{p ^{3}}{1000}$ . Dann setzen wir beides in die Formel ein. $p^{3}$ steht oben und unten, es kürzt sich weg. Es bleibt $\frac{- 2000}{1000} = - 2$ , ohne $p$ . $- 2$ ist genau der Exponent von $p$ . Das gilt allgemein für $x = c \cdot p^{k}$ . Die Ableitung ist $k \cdot c \cdot p^{k - 1}$ , und wieder kürzt sich alles bis auf $k$ . Also ist $ε = k$ , für jeden Preis.

Nur zwei Zahlenpaare

Ohne Funktion rechnen wir wie im ersten Beispiel mit Prozenten. Jede Änderung beziehen wir auf den Wert vorher.

ε = \frac{Menge in %}{Preis in %}

Oben steht die Änderung der Menge in Prozent, unten die Änderung des Preises.

Ein Preis von 10 €, eine Menge von 100 Stück. Der Preis steigt auf 12 €: $\frac{2}{10} = 20 %$ mehr. Die Menge sinkt auf 80 Stück: $\frac{20}{100} = 20 %$ weniger. Also ist $ε = - 1$ . Die Nachfrage ist proportional elastisch.

Ein zweites Beispiel: Der Preis sinkt von 5 € auf 4 €, die Menge steigt von 200 auf 210 Stück.

Preis: \frac{4 - 5}{5} Menge: \frac{210 - 200}{200} ε = \frac{5 %}{- 20 %} = - 20 % = + 5 % = - 0, 25

$∣ ε ∣ = 0, 25 < 1$ : Die Nachfrage ist unelastisch.

Typische Fehler

ε (p) = x^{'} (p) \cdot \frac{p}{x ( p )}

- Im Nenner des Bruchs steht die Menge $x (p)$ , nicht die Ableitung. - $ε$ ist negativ. Eingeordnet wird aber mit dem Betrag $∣ ε ∣$ . - Steigung und Elastizität sind verschieden. Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung, aber an jedem Punkt ein anderes $ε$ . - Bei $p (x)$ steht in der Formel $\frac{1}{p ^{'} ( x )}$ , nicht $p^{'} (x)$ .

Kurz zusammengefasst

Gegeben	Formel
$x (p)$	$ε = x^{'} (p) \cdot \frac{p}{x ( p )}$
$p (x)$	$ε = \frac{1}{p ^{'} ( x )} \cdot \frac{p ( x )}{x}$
zwei Zahlenpaare	$ε = \frac{Menge in %}{Preis in %}$
$x = c \cdot p^{k}$	$ε = k$
umsatzmaximaler Preis	$∣ ε ∣ = 1$

Betrag	Nachfrage
$∣ ε ∣ < 1$	unelastisch
$∣ ε ∣ = 1$	proportional elastisch
$∣ ε ∣ > 1$	elastisch