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[m3 IR 10 17:29] Kosten + Erlös

K(x) gibt die Gesamtkosten bei der Menge x an. E(x) gibt den Erlös aus dem Verkauf von x an.

Am Term von K(x) erkennt ihr, wann die Produktion günstiger wird. K(x) und E(x) zeigen zusammen den Punkt, an dem der Gewinn beginnt.

Zum Beispiel:

E (x) = p (x) \cdot x

E (x) = (24 - 0, 2 x) \cdot x

E (x) = - 0, 2 x^{2} + 24 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 2 x^{2} + 24 x$

Der Term p(x) wird mit x multipliziert. So entsteht E(x).

Der Erlös hängt vom Preis ab, und der Preis hängt von der verkauften Menge ab. Wie berechnet ihr daraus den tatsächlichen Erlös?

x steht für die Menge an Pflanzen, die eine Saison lang produziert werden.

K(x) summiert die Ausgaben für Erde, Dünger und Gewächshaus.

Mit steigendem x wächst K(x), aber das Tempo wechselt.

$x$	$K (x)$
$0$	$80$
$10$	$300$
$20$	$400$
$30$	$440$
$40$	$480$
$50$	$580$
$60$	$800$

Plant die Werkstatt mehr Pflanzen für die Saison, steigt K(x) weiter.

Bei x = 0 stehen in der Tafel 80 Euro für K(x). Diese 80 Euro fallen auch an, wenn die Werkstatt nichts produziert.

Kstrich(x) gibt an, was die nächste Pflanze zusätzlich kostet.

Die Grenzkosten zeigen, wie stark die Kosten beim nächsten Stück springen.

Kstrich(x) misst die Steigung von K(x), also die Kosten für ein zusätzliches Stück.

Ks t r i c h (x) = 0, 03 x^{2} - 1, 8 x + 30

Eine Wendestelle liegt dort, wo K''(x) null wird und das Vorzeichen wechselt. Dort kippt K(x) von degressiv zu progressiv.

Herleitung:

K'(x) sagt, wie schnell K(x) bei der Menge x wächst.

K^{'} (x) = 0, 03 x^{2} - 1, 8 x + 30

An der Wendestelle wechselt die Krümmung von K(x). Dort wird K''(x) null.

K^{''} (x) = 0, 06 x - 1, 8

Die Lösung x ist die gesuchte Wendestelle.

0, 06 x - 1, 8 = 0

Nur ein Vorzeichenwechsel bei K''(x) bestätigt die Wendestelle.

x = 30

K^{'} (30) = 0, 03 \cdot 3 0^{2} - 1, 8 \cdot 30 + 30

= 27 - 54 + 30 = 3

Ergebnis: $K^{'} (30) = 3$

Schema

a)Die erste Ableitung K' bilden
b)Die zweite Ableitung K'' bilden und gleich null setzen
c) $D i e Gl e i c h u n g K^{''} (x) = 0 na c h x l \overset{o}{¨} se n$
d)Das Vorzeichen von K'' vor und nach der Lösung prüfen

Weitere Beispiele:

K (x) = 0, 015 x^{3} - 0, 9 x^{2} + 20 x + 100

K^{''} (x) = 0, 09 x - 1, 8

0, 09 x - 1, 8 = 0

x = 20

Ergebnis: $x = 20$

K (x) = 0, 01 x^{3} - 0, 75 x^{2} + 20 x + 90

K^{''} (x) = 0, 06 x - 1, 5

0, 06 x - 1, 5 = 0

x = 25

Ergebnis: $x = 25$

K (x) = 0, 02 x^{3} - 1, 5 x^{2} + 45 x + 70

K^{''} (x) = 0, 12 x - 3

0, 12 x - 3 = 0

x = 25

Ergebnis: $x = 25$

p(x) gibt den Preis je Pflanze im Gartencenter an.

p(x) sinkt, wenn die Werkstatt mehr x anbietet.

p (x) = 24 - 0, 2 x

Das Rechteck aus x und p(x) wächst mit x. Seine Fläche zeigt E(x).

Zwei Terme gleichsetzen heißt, das x zu suchen. An diesem x sind beide Terme gleich groß. So findet ihr aus K(x) = E(x) die Menge an der Gewinnschwelle.

Herleitung:

An der Gewinnschwelle sind K(x) und E(x) gleich groß.

K (x) = E (x)

Erst als Gleichung in x lässt sich K(x) = E(x) lösen.

Setzt die Terme für K(x) und E(x) ein und ordnet die Gleichung.

Die Lösung x ist die gesuchte Menge an der Gewinnschwelle.

0, 01 x^{3} - 0, 7 x^{2} + 6 x + 80 = 0

x = 20

Bei x = 20 ergeben K(x) und E(x) denselben Wert.

Setzt x = 20 in K(x) oder E(x) ein.

Schema

a)K(x) und E(x) gleichsetzen
b)Die Terme einsetzen und die Gleichung ordnen
c)Nach x auflösen
d)x in K oder E einsetzen

Herleitung:

E(x) ist, was der Verkauf aller x Stücke einbringt.

E (x) = p (x) \cdot x

p(x) hängt selbst von x ab.

E (x) = (24 - 0, 2 x) \cdot x

Erst als ausmultiplizierter Term lässt sich E(x) mit K(x) vergleichen.

E (x) = - 0, 2 x^{2} + 24 x

Weitere Beispiele:

K (x) = 0, 01 x^{3} - 0, 9 x^{2} + 30 x + 120, E (x) = - 0, 4 x^{2} + 30 x

0, 01 x^{3} - 0, 9 x^{2} + 30 x + 120 = - 0, 4 x^{2} + 30 x

0, 01 x^{3} - 0, 5 x^{2} + 120 = 0

x = 20

K (20) = 440

Ergebnis: $x = 20, K (20) = 440$

K (x) = 0, 02 x^{3} - 0, 9 x^{2} + 25 x + 100, E (x) = - 0, 2 x^{2} + 24 x

0, 02 x^{3} - 0, 9 x^{2} + 25 x + 100 = - 0, 2 x^{2} + 24 x

0, 02 x^{3} - 0, 7 x^{2} + x + 100 = 0

x = 20

K (20) = 400

Ergebnis: $x = 20, K (20) = 400$

K (x) = 0, 02 x^{3} - 1, 2 x^{2} + 30 x + 100, E (x) = - 0, 3 x^{2} + 24 x

0, 02 x^{3} - 1, 2 x^{2} + 30 x + 100 = - 0, 3 x^{2} + 24 x

0, 02 x^{3} - 0, 9 x^{2} + 6 x + 100 = 0

x = 25

K (25) = 412, 5

Ergebnis: $x = 25, K (25) = 412, 5$

p(x) multipliziert mit x ergibt wieder E(x).

Merken: Der Erlös ist das Produkt aus Preis und Menge: E(x) = p(x) · x.

Schema

a)Erlös als Preis mal Menge ansetzen
b)Die Preisfunktion p(x) einsetzen
c)Ausmultiplizieren

Weitere Beispiele:

p (x) = 55 - 0, 35 x

E (x) = (55 - 0, 35 x) \cdot x

E (x) = - 0, 35 x^{2} + 55 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 35 x^{2} + 55 x$

p (x) = 48 - 0, 6 x

E (x) = (48 - 0, 6 x) \cdot x

E (x) = - 0, 6 x^{2} + 48 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 6 x^{2} + 48 x$

p (x) = 42 - 0, 25 x

E (x) = (42 - 0, 25 x) \cdot x

E (x) = - 0, 25 x^{2} + 42 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 25 x^{2} + 42 x$

Rechnet nach: Bildet K' und K'' und setzt K''(x) = 0. Bei welcher Menge liegt die Wendestelle?

Lösung: 30

Rechnet nach: Setzt p(x) in E(x) = p(x) · x ein und multipliziert aus. Wie lautet E(x) als Term?

Lösung: 220

$x$	$E s t r i c h (x)$
$0$	$24$
$10$	$20$
$20$	$16$
$30$	$12$
$40$	$8$
$50$	$4$
$60$	$0$

Estrich(x) gibt an, wie viel zusätzlicher Erlös durch eine weitere Pflanze entsteht.

Estrich(x) misst die Steigung von E(x), den zusätzlichen Erlös je weiterem Stück.

E s t r i c h (x) = 24 - 0, 4 x

Rechnet nach: Setzt K(x) und E(x) gleich und löst nach x auf. Ab welcher Menge trägt sich die Produktion?

Lösung: 20

Merken: K(x) wächst über den ganzen Bereich; nur der Zuwachs Kstrich(x) wird erst kleiner, dann größer.

Merken: Erst der Vergleich mit K(x) zeigt, ob E(x) den Gewinnbereich schon erreicht hat.

Merken: Kstrich(x) ist viel kleiner als K(x): nur der Zuwachs des nächsten Stücks, nicht die Summe aller bisherigen Kosten.

Warum die Kosten diese Form haben:

K(x) folgt dem Ertragsgesetz. Bessere Auslastung senkt zuerst den Zuwachs von K(x) je Stück. Danach wächst K(x) wieder schneller als x.

Jetzt ihr:

a) $K (x) = 0, 01 x^{3} - 0, 6 x^{2} + 18 x + 95$ Bei welcher Menge kippt dieser Kostenverlauf von degressiv zu progressiv?

Lösung: $K^{''} (x) = 0, 06 x - 1, 2$ , $0, 06 x - 1, 2 = 0$ , $x = 20$ .

b) $p (x) = 52 - 0, 45 x$ Wie lautet die Erlösfunktion, wenn dieser Preis für jedes Stück gilt?

Lösung: $E (x) = (52 - 0, 45 x) \cdot x$ , $E (x) = - 0, 45 x^{2} + 52 x$ .

c) $K (x) = 0, 015 x^{3} - 0, 6 x^{2} + 20 x + 120, E (x) = - 0, 2 x^{2} + 24 x$ Ab welcher Menge übersteigt der Erlös die Kosten?

Lösung: $0, 015 x^{3} - 0, 6 x^{2} + 20 x + 120 = - 0, 2 x^{2} + 24 x$ , $0, 015 x^{3} - 0, 4 x^{2} - 4 x + 120 = 0$ , $x = 20$ , $K (20) = 400$ .