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[m3 IR 9 14:52] Kosten + Erlös

Die Kostenfunktion nennt zu jeder Menge den Betrag, den die Herstellung dieser Menge kostet.

Damit rechnet ihr die Menge aus, ab der jedes weitere Stück wieder teurer wird. Die Preisfunktion daneben sagt euch, wie viel Geld dieselbe Menge einbringt.

Zum Beispiel:

K^{'} (x) = 0, 03 x^{2} - 1, 8 x + 40

K^{''} (x) = 0, 06 x - 1, 8

0, 06 x - 1, 8 = 0

x = 30

Ergebnis: $x = 30$

Gesucht war die Stelle mit dem kleinsten Zuwachs. Dafür setzt ihr die zweite Ableitung null.

Bleibt die Frage, welcher Teil des Terms welche Arbeit macht.

x zählt die Kisten. Jede weitere Größe in diesem Kapitel hängt von x ab.

K(x) heißt Kostenfunktion. Zu jeder Menge x gehört ein Betrag in Euro.

K (x) = 0, 01 x^{3} - 0, 9 x^{2} + 40 x + 300

$x$	$K (x)$
$0$	$300$
$20$	$820$
$40$	$1100$
$60$	$1620$
$80$	$2860$
$100$	$5300$

Lest die Tafel zeilenweise: links eine Menge x, rechts der Betrag K(x) dazu.

Bei der Menge null steht rechts schon 300.

K'(x) heißt Grenzkostenfunktion. K'(x) misst den Zuwachs je Kiste, nicht den Betrag.

K'(x) ist die Steigung von K(x). An jeder Stelle ist K'(x) so groß wie der Zuwachs für eine Kiste mehr.

Herleitung:

Den Zuwachs je Kiste lest ihr nicht an K(x) ab, sondern an der Ableitung.

K^{'} (x) = 0, 03 x^{2} - 1, 8 x + 40

Gesucht ist nun die Stelle, an der K'(x) selbst am kleinsten wird.

K^{''} (x) = 0, 06 x - 1, 8

Wo K'(x) am kleinsten ist, hat K'(x) die Steigung null, und diese Steigung ist K''(x).

0, 06 x - 1, 8 = 0

Die Stelle x heißt Kostenkehre. Den Zuwachs dort holt ihr aus K'(x).

x = 30

K^{'} (30) = 0, 03 \cdot 3 0^{2} - 1, 8 \cdot 30 + 40

= 27 - 54 + 40 = 13

Ergebnis: $K^{'} (30) = 13$

Die Stelle mit dem kleinsten Zuwachs findet ihr immer so: zweite Ableitung null setzen.

Merken: Der Summand ohne x sind die Fixkosten; die Glieder mit x machen den ertragsgesetzlichen Verlauf.

Schema

a)K(x) einmal ableiten
b)Noch einmal ableiten
c)Die zweite Ableitung null setzen
d)Nach x auflösen

Weitere Beispiele:

K (x) = 0, 01 x^{3} - 0, 6 x^{2} + 30 x + 200

K^{''} (x) = 0, 06 x - 1, 2

0, 06 x - 1, 2 = 0

x = 20

Ergebnis: $x = 20$

K (x) = 0, 04 x^{3} - 2, 4 x^{2} + 75 x + 900

K^{''} (x) = 0, 24 x - 4, 8

0, 24 x - 4, 8 = 0

x = 20

Ergebnis: $x = 20$

K (x) = 0, 1 x^{3} - 4, 5 x^{2} + 90 x + 250

K^{''} (x) = 0, 6 x - 9

0, 6 x - 9 = 0

x = 15

Ergebnis: $x = 15$

K (x) = 0, 02 x^{3} - 1, 2 x^{2} + 45 x + 600

K^{''} (x) = 0, 12 x - 2, 4

0, 12 x - 2, 4 = 0

x = 20

Ergebnis: $x = 20$

Rechnet nach: K''(x) steht da. Setzt sie null und löst nach x auf.

Lösung: Die Nullstelle der zweiten Ableitung ist die Kostenkehre.

Kostenzuwachs

Kzu heißt Kostenzuwachs. Kzu steht für den Unterschied zwischen zwei benachbarten Beträgen.

Springt in der Tafel von einer Zeile zur nächsten: dieser Sprung ist Kzu. Kzu ist also eine Differenz und keine Höhe.

$x$	Kzu
$0 \to 20$	$520$
$20 \to 40$	$280$
$40 \to 60$	$520$
$60 \to 80$	$1240$
$80 \to 100$	$2440$

Werden die Werte von Kzu kleiner, kostet jede weitere Kiste weniger zusätzlich.

	Schrittweite
Kzu	Sprung über 20 Kisten
$K^{'} (x)$	Zuwachs je einzelnem Kiste

Kzu misst über einen ganzen Schritt, K'(x) an einer einzigen Stelle.

Keine der beiden Größen nennt eine Höhe; beide reden vom Wachsen.

p(x) ist die Preis-Absatz-Funktion aus dem Vorkapitel. p(x) gibt den Preis je Kiste bei der Menge x an.

p (x) = 100 - 0, 5 x

Die Schritte in x sind alle gleich groß. Die Sprünge werden trotzdem erst kürzer und dann wieder länger.

a) $K (20) - K (0) = 820 - 300 = 520$
b) $K (40) - K (20) = 1100 - 820 = 280$
c) $K (60) - K (40) = 1620 - 1100 = 520$

Bevor ihr weiterlest: Wird der nächste Sprung kleiner oder größer als der davor? (Lösung: Größer: ab der Kehre wachsen die Zuwächse wieder.)

d) $K (80) - K (60) = 2860 - 1620 = 1240$
e) $K (100) - K (80) = 5300 - 2860 = 2440$

So läuft es beim ertragsgesetzlichen Verlauf. Wächst K(x) dagegen linear, bleiben alle Zuwächse gleich groß, und eine Kehre gibt es nicht.

Merken: Gleich große Schritte in x bringen ungleich große Sprünge in K(x).

Merken: K(x) kann steigen, während K'(x) fällt: Höhe und Steigung sind zwei verschiedene Größen.

p(x) nennt den Preis je Kiste bei der Absatzmenge x, und p(x) fällt, wenn x wächst.

E(x) heißt Erlösfunktion und ist p(x) mal x.

Denkt an ein Rechteck mit der Höhe p(x) und der Breite x. Dessen Fläche ist E(x).

$x$	$E (x)$
$0$	$0$
$20$	$1800$
$40$	$3200$
$60$	$4200$
$80$	$4800$
$100$	$5000$

E(x) wächst zuerst und fällt später, obwohl die Menge x weiter steigt.

Was die größere Menge x einbringt, nimmt der fallende Preis p(x) wieder weg.

Herleitung:

Der Erlös E(x) ist Preis mal Menge.

E (x) = p (x) \cdot x

Der Preis p(x) ist keine feste Zahl, sondern hängt von x ab.

E (x) = (100 - 0, 5 x) \cdot x

Jetzt ausmultiplizieren:

E (x) = - 0, 5 x^{2} + 100 x

Schema

a)E(x) als p(x) mal x hinschreiben
b)Für p(x) den Term einsetzen
c)Ausmultiplizieren

Weitere Beispiele:

p (x) = 90 - 0, 6 x

E (x) = (90 - 0, 6 x) \cdot x

E (x) = - 0, 6 x^{2} + 90 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 6 x^{2} + 90 x$

p (x) = 60 - 0, 2 x

E (x) = (60 - 0, 2 x) \cdot x

E (x) = - 0, 2 x^{2} + 60 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 2 x^{2} + 60 x$

p (x) = 150 - 1, 5 x

E (x) = (150 - 1, 5 x) \cdot x

E (x) = - 1, 5 x^{2} + 150 x

Ergebnis: $E (x) = - 1, 5 x^{2} + 150 x$

Aus dem Gedächtnis: Woran erkennt ihr die Fixkosten im Term?

Lösung: Am Summanden ohne x; er ist K(0).

Rechnet nach: Multipliziert p(x) mit x aus.

Lösung: E(x) steht als Term mit einem x-Glied und einem x²-Glied da.

Merken: Weil p(x) mit x fällt, ist E(x) keine Gerade.

Warum die Kosten kehren:

Am Anfang verteilt sich die feste Ausstattung auf mehr Kisten, und die Sprünge werden kleiner.

Später wird es eng im Betrieb, und jede weitere Kiste kostet wieder mehr.

Warum der Erlös eine Parabel ist:

p(x) ist linear und fällt.

Mal x genommen entsteht ein Glied mit x², und ein solcher Term beschreibt einen Bogen.

Jetzt ihr:

a) $K (x) = 0, 03 x^{3} - 1, 8 x^{2} + 55 x + 700$ Bestimmt die Kostenkehre und die Grenzkosten dort.

Lösung: $K^{''} (x) = 0, 18 x - 3, 6$ , $0, 18 x - 3, 6 = 0$ , $x = 20$ .

b) $p (x) = 110 - 0, 5 x$ Stellt die Erlösfunktion auf.

Lösung: $E (x) = (110 - 0, 5 x) \cdot x$ , $E (x) = - 0, 5 x^{2} + 110 x$ .

c) $K (x) = 0, 05 x^{3} - 3, 6 x^{2} + 96 x + 450$ Bestimmt die Kostenkehre und die Grenzkosten dort.

Lösung: $K^{''} (x) = 0, 3 x - 7, 2$ , $0, 3 x - 7, 2 = 0$ , $x = 24$ .