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m3 Kostenfunktion, ertragsgesetzliche Kostenfunktion, Erlösfunktion

Die Kostenfunktion K gibt für jede produzierte Menge x an, was ihre Herstellung insgesamt kostet, und die Erlösfunktion E, was ihr Verkauf einbringt.

Damit lest ihr an einem Kostenterm ab, wann Produktion günstiger und wann sie teurer wird, und berechnet aus Kosten und Erlös die Menge, ab der sich die Produktion trägt.

Zum Beispiel:

E (x) = p (x) \cdot x

E (x) = (26 - 0, 25 x) \cdot x

E (x) = - 0, 25 x^{2} + 26 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 25 x^{2} + 26 x$

E(x) entsteht, indem p(x) mit x multipliziert wird.

Wie berechnet man, was ein Verkauf tatsächlich einbringt, wenn Preis und Menge sich gegenseitig beeinflussen?

Jeder Wert von x ist eine mögliche Stückzahl Glas, die die Manufaktur produziert.

p(x) ist der Preis, den ein Marktstand je Glas zahlt.

Preisfunktion sinkt, je mehr x die Manufaktur anbietet.

p (x) = 26 - 0, 25 x

Herleitung:

Der Erlös ist, was der Verkauf aller Stücke zusammen einbringt.

E (x) = p (x) \cdot x

Der Preis hängt selbst von der verkauften Menge ab.

E (x) = (26 - 0, 25 x) \cdot x

Erst als Term lässt sich der Erlös ableiten und mit den Kosten vergleichen.

E (x) = - 0, 25 x^{2} + 26 x

E(x) zeigt, was der Verkauf aller x Glas tatsächlich einbringt.

E(x) entsteht, indem p(x) mit x multipliziert wird.

Merken: Der Erlös ist das Produkt aus Preis und Menge: E(x) = p(x) · x.

Schema

a)Erlös als Preis mal Menge ansetzen
b)Die Preisfunktion p(x) einsetzen
c)Ausmultiplizieren

Weitere Beispiele:

p (x) = 48 - 0, 3 x

E (x) = (48 - 0, 3 x) \cdot x

E (x) = - 0, 3 x^{2} + 48 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 3 x^{2} + 48 x$

p (x) = 40 - 0, 5 x

E (x) = (40 - 0, 5 x) \cdot x

E (x) = - 0, 5 x^{2} + 40 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 5 x^{2} + 40 x$

p (x) = 36 - 0, 2 x

E (x) = (36 - 0, 2 x) \cdot x

E (x) = - 0, 2 x^{2} + 36 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 2 x^{2} + 36 x$

Rechnet nach: Setzt p(x) in E(x) = p(x) · x ein und multipliziert aus. Wie lautet E(x) als Term?

Lösung: 235

Estrich(x) sagt, wie viel Erlös ein weiteres Glas noch bringt.

E s t r i c h (x) = 26 - 0, 5 x

Rechnet nach: Setzt K(x) und E(x) gleich und löst nach x auf. Ab welcher Menge trägt sich die Produktion?

Lösung: 30

Merken: Erst der Vergleich mit K(x) zeigt, ob E(x) den Gewinnbereich schon erreicht hat.

Merken: Kstrich(x) ist viel kleiner als K(x): nur der Zuwachs des nächsten Stücks, nicht die Summe aller bisherigen Kosten.

Merken: K(x) wächst über den ganzen Bereich; nur der Zuwachs Kstrich(x) wird erst kleiner, dann größer.

Warum die Kosten diese Form haben:

Der Verlauf von K(x) folgt dem Ertragsgesetz: bessere Auslastung senkt zunächst den Kostenzuwachs je Stück, danach wachsen die Kosten wieder schneller als die Menge.

Jetzt ihr:

a) $K (x) = 0, 014 x^{3} - 0, 84 x^{2} + 22 x + 95$ Bei welcher Menge kippt dieser Kostenverlauf von degressiv zu progressiv?

Lösung: $K^{''} (x) = 0, 084 x - 1, 68$ , $0, 084 x - 1, 68 = 0$ , $x = 20$ .

b) $p (x) = 44 - 0, 35 x$ Wie lautet die Erlösfunktion, wenn dieser Preis für jedes Stück gilt?

Lösung: $E (x) = (44 - 0, 35 x) \cdot x$ , $E (x) = - 0, 35 x^{2} + 44 x$ .

c) $K (x) = 0, 01 x^{3} - 0, 75 x^{2} + 28 x + 120, E (x) = - 0, 25 x^{2} + 26 x$ Ab welcher Menge übersteigt der Erlös die Kosten?

Lösung: $0, 01 x^{3} - 0, 75 x^{2} + 28 x + 120 = - 0, 25 x^{2} + 26 x$ , $0, 01 x^{3} - 0, 5 x^{2} + 2 x + 120 = 0$ , $x = 30$ , $K (30) = 555$ .