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[M4 k1 v1] Preis, Erlös und Gewinn

Die Preisfunktion der Nachfrage

Ein Satz aus dem Markt wird ein Punkt im Achsenkreuz.

Was genau sagt so ein Punkt?

Hinter den Punkten steht eine Regel: die Preisfunktion der Nachfrage $p_{N} (x)$ . Sie sagt, zu welchem Preis die Käufer zusammen genau $x$ ME kaufen wollen.

Jede Spalte der Tabelle ist ein Punkt $(x ∣ p_{N} (x))$ des Graphen.

Warum fällt die Kurve?

Fünf Käufer wollen je 1 ME. Jeder zahlt höchstens seinen Betrag: 50, 40, 30, 20 oder 10 GE.

Mit vielen Käufern wird aus der Treppe eine Kurve.

Höchstpreis und Sättigungsmenge

Die Kurve trifft beide Achsen. Beide Punkte haben einen Namen.

p_{N} (0) = 100

Höchstpreis: 100 GE/ME. Zu diesem Preis kauft niemand mehr.

- 2 x + 100 = 0 \Rightarrow x = 50

Sättigungsmenge: $x_{S} = 50$ ME. Mehr lässt sich nicht einmal verschenken. Der ökonomische Definitionsbereich ist $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 50]$ .

Die Menge zu einem gegebenen Preis

$p_{N}$ macht aus einer Menge einen Preis. Jetzt ist der Preis gegeben.

- 2 x + 100 - 2 x x = 80 = - 20 = 10

Merken: Menge gegeben, dann einsetzen. Preis gegeben, dann $p_{N} (x) = Preis$ lösen.

Jetzt du.

Jetzt ihr

a) Wie viel wird bei 40 GE/ME gekauft?

Lösung

- 2 x + 100 = 40 \Rightarrow - 2 x = - 60 \Rightarrow x = 30

, also 30 ME

Die Steigung: eine ME mehr

Was heißt die Steigung $- 2$ im Markt?

Merken: $p_{N}^{'} (x)$ ist ungefähr die Preisänderung für eine ME mehr, in GE/ME.

Eine Parabel als Nachfrage

Die Handgriffe bleiben dieselben, auch wenn die Kurve gebogen ist.

- 0, 5 x^{2} + 50 x^{2} x = 0 = 100 = 10 oder - 10

Nur die Lösung in $D_{\overset{o}{¨} k}$ gilt.

Beispiele: die Nachfragekurve lesen

Immer dieselben drei Handgriffe: $p_{N} (0)$ , $p_{N} (x) = 0$ , $p_{N} (x) = Preis$ .

A) $p_{N} (x) = - 4 x + 60$

Handgriff	Rechnung	Ergebnis
Höchstpreis	$p_{N} (0) = 60$	60 GE/ME
Sättigungsmenge	$- 4 x + 60 = 0$	15 ME, $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 15]$
bei 40 GE/ME	$- 4 x = - 20$	5 ME

B) $p_{N} (x) = - 0, 5 x + 40$

Handgriff	Rechnung	Ergebnis
Höchstpreis	$p_{N} (0) = 40$	40 GE/ME
Sättigungsmenge	$- 0, 5 x + 40 = 0$	80 ME, $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 80]$
bei 30 GE/ME	$- 0, 5 x = - 10$	20 ME

C) $p_{N} (x) = - 2 x^{2} + 200$

Handgriff	Rechnung	Ergebnis
Höchstpreis	$p_{N} (0) = 200$	200 GE/ME
Sättigungsmenge	$x^{2} = 100$ , $x = 10$ oder ~~ $- 10$ ~~	10 ME, $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 10]$
bei 128 GE/ME	$x^{2} = 36$ , $x = 6$ oder ~~ $- 6$ ~~	6 ME

Eine Lösung kann auch hinter der Sättigungsmenge liegen.

D) $p_{N} (x) = - x^{2} - 4 x + 96$

Handgriff	Rechnung	Ergebnis
Höchstpreis	$p_{N} (0) = 96$	96 GE/ME
Sättigungsmenge	$x = - 2 \pm 10$ : $8$ oder ~~ $- 12$ ~~	8 ME, $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 8]$
bei 84 GE/ME	$x = - 2 \pm 4$ : $2$ oder ~~ $- 6$ ~~	2 ME

E) $p_{N} (x) = 0, 5 x^{2} - 10 x + 50$

Handgriff	Rechnung	Ergebnis
Höchstpreis	$p_{N} (0) = 50$	50 GE/ME
Sättigungsmenge	$x = 10 \pm 0$	10 ME, $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 10]$
bei 32 GE/ME	$x = 10 \pm 8$ : $2$ oder ~~ $18$ ~~ ( $18 > 10$ )	2 ME

F) $p_{N} (x) = - 0, 1 x^{3} + 100$

Handgriff	Rechnung	Ergebnis
Höchstpreis	$p_{N} (0) = 100$	100 GE/ME
Sättigungsmenge	$x^{3} = 1000$ , $x = 31000$	10 ME, $D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 10]$
bei 87,5 GE/ME	$x^{3} = 125$ , $x = 3125$	5 ME

Die Kurven von C, D und E im Bild:

Übungen: die Nachfragekurve lesen

Bestimmt jeweils Höchstpreis, Sättigungsmenge und $D_{\overset{o}{¨} k}$ .

Jetzt ihr

p_{N} (x) = - 5 x + 80

, dazu die Menge bei 30 GE/ME.

Lösung

Höchstpreis

p_{N} (0) = 80

GE/ME;

- 5 x + 80 = 0 \Rightarrow x = 16

, Sättigungsmenge 16 ME,

D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 16]

;

- 5 x + 80 = 30 \Rightarrow x = 10

, also 10 ME

Jetzt ihr

p_{N} (x) = - x^{2} - 6 x + 40

, dazu die Menge bei 24 GE/ME.

Lösung

Höchstpreis 40 GE/ME;

x^{2} + 6 x - 40 = 0 \Rightarrow x = - 3 \pm 7

, also

4

oder

- 10

: Sättigungsmenge 4 ME,

D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 4]

;

x^{2} + 6 x - 16 = 0 \Rightarrow x = - 3 \pm 5

, also

2

oder

- 8

: 2 ME

Jetzt ihr

p_{N} (x) = 0, 05 x^{2} - 4 x + 80

, dazu

p_{N}^{'} (10)

und seine Bedeutung.

Lösung

Höchstpreis 80 GE/ME;

x^{2} - 80 x + 1600 = 0 \Rightarrow x = 40

, Sättigungsmenge 40 ME,

D_{\overset{o}{¨} k} = [0; 40]

;

p_{N}^{'} (x) = 0, 1 x - 4

p_{N}^{'} (10) = - 3

: bei 10 ME muss der Preis für eine ME mehr um etwa 3 GE/ME sinken

Eine Preisfunktion aufstellen

Aufstellen heißt: aus Angaben über Preise und Mengen den Term bauen. Jede Angabe wird eine Bedingung, wie bei der Rekonstruktion.

Aus den zwei Punkten wird die Gerade.

p_{N} (x) = - 0, 4 x + 32

Merken: Die Zahl mit ME ist die Menge $x$ , die Zahl mit GE/ME der Preis $p$ . Im Punkt steht die Menge vorn: $(x ∣ p)$ .

Jetzt du.

Jetzt ihr

a) „30 ME werden gekauft, wenn eine ME 24 GE kostet. Bei 18 GE/ME sind es 45 ME.“ Stellt die lineare Preisfunktion auf.

Lösung

(30 ∣ 24)

(45 ∣ 18)

;

m = \frac{18 - 24}{45 - 30} = - 0, 4

;

24 = - 12 + n \Rightarrow n = 36

;

p_{N} (x) = - 0, 4 x + 36

Eine Parabel aus drei Angaben

„Der Höchstpreis liegt bei 90 GE/ME. Die Sättigungsmenge ist 30 ME, dort ist die Kurve waagerecht.“

p_{N} (x) = 0, 1 x^{2} - 6 x + 90

Was sagt die Steigung an dieser Kurve?

Schema: Preisfunktion aufstellen

Das eben Gerechnete, allgemein:

Beispiele: Preisfunktion aufstellen

A) „Höchstpreis 60 GE/ME, Sättigungsmenge 20 ME.“ Gerade. Punkte $(0 ∣ 60)$ und $(20 ∣ 0)$ .

m n p_{N} (x) = \frac{0 - 60}{20 - 0} = - 3 = 60 = - 3 x + 60

Probe: $p_{N} (0) = 60$ ✓, $p_{N} (20) = - 60 + 60 = 0$ ✓.

B) „10 ME werden gekauft, wenn eine ME 40 GE kostet. Kostet eine ME 25 GE, werden 40 ME gekauft.“ Punkte $(10 ∣ 40)$ und $(40 ∣ 25)$ .

m 40 n = \frac{25 - 40}{40 - 10} = - 0, 5 = - 5 + n = 45

$p_{N} (x) = - 0, 5 x + 45$ . Probe: $p_{N} (10) = 40$ ✓, $p_{N} (40) = - 20 + 45 = 25$ ✓.

C) „Bei 14 GE/ME werden 60 ME nachgefragt, bei 38 GE/ME nur 20 ME.“ Punkte $(60 ∣ 14)$ und $(20 ∣ 38)$ .

m 14 n = \frac{38 - 14}{20 - 60} = - 0, 6 = - 36 + n = 50

$p_{N} (x) = - 0, 6 x + 50$ . Probe: $p_{N} (60) = 14$ ✓, $p_{N} (20) = - 12 + 50 = 38$ ✓.

D) „Höchstpreis 72 GE/ME, dort ist die Kurve waagerecht. Sättigungsmenge 12 ME.“ Parabel.

	Bedingung	eingesetzt
I	$p_{N} (0) = 72$	$c = 72$
II	$p_{N} (12) = 0$	$144 a + 12 b + c = 0$
III	$p_{N}^{'} (0) = 0$	$b = 0$

$144 a + 72 = 0 \Rightarrow a = - 0, 5$ , also $p_{N} (x) = - 0, 5 x^{2} + 72$ . Probe: $p_{N} (0) = 72$ ✓, $p_{N} (12) = - 72 + 72 = 0$ ✓, $p_{N}^{'} (0) = 0$ ✓.

E) „Bei 20 GE/ME werden 10 ME nachgefragt. Die Sättigungsmenge ist 20 ME, dort ist die Kurve waagerecht.“ Parabel.

	Bedingung	eingesetzt
I	$p_{N} (10) = 20$	$100 a + 10 b + c = 20$
II	$p_{N} (20) = 0$	$400 a + 20 b + c = 0$
III	$p_{N}^{'} (20) = 0$	$40 a + b = 0$

Aus III: $b = - 40 a$ . In II: $c = 400 a$ . In I: $100 a = 20$ , also $a = 0, 2$ , $b = - 8$ , $c = 80$ .

p_{N} (x) = 0, 2 x^{2} - 8 x + 80

Probe: $p_{N} (10) = 20$ ✓, $p_{N} (20) = 0$ ✓, $p_{N}^{'} (20) = 0, 4 \cdot 20 - 8 = 0$ ✓.

Übungen: Preisfunktion aufstellen

Jetzt ihr

a) „Bei 45 GE/ME werden 20 ME nachgefragt, bei 30 GE/ME 50 ME.“ Lineare Preisfunktion und Höchstpreis?

Lösung

(20 ∣ 45)

(50 ∣ 30)

;

m = \frac{- 15}{30} = - 0, 5

;

45 = - 10 + n \Rightarrow n = 55

;

p_{N} (x) = - 0, 5 x + 55

; Höchstpreis 55 GE/ME

Jetzt ihr

a) „40 ME werden gekauft, wenn eine ME 12 GE kostet. Kostet eine ME 36 GE, werden 10 ME gekauft.“ Lineare Preisfunktion und Sättigungsmenge?

Lösung

(40 ∣ 12)

(10 ∣ 36)

;

m = \frac{24}{- 30} = - 0, 8

;

12 = - 32 + n \Rightarrow n = 44

;

p_{N} (x) = - 0, 8 x + 44

;

- 0, 8 x + 44 = 0 \Rightarrow x = 55

: Sättigungsmenge 55 ME

Jetzt ihr

a) „Höchstpreis 40 GE/ME. Die Sättigungsmenge ist 20 ME, dort ist die Kurve waagerecht.“ Quadratische Preisfunktion?

Lösung

c = 40

;

400 a + 20 b + 40 = 0

;

40 a + b = 0 \Rightarrow b = - 40 a

;

400 a - 800 a + 40 = 0 \Rightarrow a = 0, 1

b = - 4

;

p_{N} (x) = 0, 1 x^{2} - 4 x + 40

Die Erlösfunktion

Die Erlösfunktion sagt für jede Menge $x$ , wie viel Geld beim Verkaufen hereinkommt.

E (40) = 12 \cdot 40 = 480

Fester Preis: das Polypol

Kann der Bauer mehr verlangen?

Woher kommen die 12 GE/ME? Aus dem ganzen Weizenmarkt, mit $x$ in Mio. ME.

- 2 x + 16 8 x p_{N} (2) = 2 x + 8 = 4 x = 2 = 12

Wie viel davon verkauft ein einzelner Bauer?

Was bringt der feste Preis dem Bauern bei jeder Menge?

Jetzt ihr

a) Auf einem Markt gilt

p_{N} (x) = - 3 x + 40

und

p_{A} (x) = 2 x + 10

, mit

x

in Mio. ME. Ein Anbieter kann höchstens 300 ME herstellen. Wie lauten

E (x)

und

E^{'} (x)

? Wie groß ist sein Höchsterlös?

Lösung

- 3 x + 40 = 2 x + 10

ergibt

x = 6

und den Preis

p_{N} (6) = 22

GE/ME;

E (x) = 22 x

E^{'} (x) = 22

, Höchsterlös

E (300) = 6600

Preis aus der Nachfrage: das Monopol

Beim Bauern bleibt die Höhe des Rechtecks fest.

Warum verlangt das Wasserwerk nicht einfach einen sehr hohen Preis?

Welcher Punkt auf der Geraden bringt den meisten Erlös?

Wie lautet die Formel zu diesem Bogen?

E (x) = p \cdot x = (- 0, 4 x + 20) \cdot x = - 0, 4 x^{2} + 20 x

Das Erlösmaximum bestimmen

Wo genau liegt der höchste Punkt?

E^{'} (x) x_{E} E^{''} (x) p_{N} (25) E (25) = - 0, 8 x + 20 = 0 = 25 = - 0, 8 < 0 = 10 = 250

Eine Probe über die Nullstellen:

Höchstpreis, Höchsterlös und Sättigungsmenge:

Was wir eben gerechnet haben, gilt für jedes Monopol.

1. $E (x) = p_{N} (x) \cdot x$ aufstellen, ausmultiplizieren. 2. Notwendige Bedingung: $E^{'} (x) = 0$ liefert $x_{E}$ . 3. Hinreichende Bedingung: $E^{''} (x_{E}) < 0$ . 4. Zugehöriger Preis: $p_{N} (x_{E})$ . 5. Höchsterlös: $E (x_{E}) = p_{N} (x_{E}) \cdot x_{E}$ . 6. Antwortsatz mit Menge, Preis und Höchsterlös.

Jetzt ihr

p_{N} (x) = - 0, 1 x + 8

Lösung

E (x) = - 0, 1 x^{2} + 8 x

x_{E} = 40

ME,

p_{N} (40) = 4

GE/ME, Höchsterlös

E (40) = 160

Jetzt ihr

E (x) = - 0, 1 x^{2} + 12 x

, bestimmt auch Höchstpreis und Sättigungsmenge.

Lösung

p_{N} (x) = - 0, 1 x + 12

, Höchstpreis 12 GE/ME, Sättigungsmenge 120 ME,

x_{E} = 60

ME,

p_{N} (60) = 6

GE/ME, Höchsterlös

E (60) = 360

Höchsterlös mit Kapazitätsgrenze

Mit einer Kapazitätsgrenze zählen nur die Mengen bis zu dieser Grenze.

Nach $E^{'} (x) = 0$ entscheidet die Lage der Stelle.

Jetzt ihr

p_{N} (x) = - 4 x + 120

, Kapazitätsgrenze 10 ME.

Lösung

E^{'} (x) = - 8 x + 120 = 0

bei

x = 15

, hinter der Grenze;

x_{E} = 10

, Höchsterlös

E (10) = 80 \cdot 10 = 800

GE bei 80 GE/ME

Jetzt ihr

p_{N} (x) = - 4 x + 120

, Kapazitätsgrenze 20 ME.

Lösung

x_{E} = 15

liegt vor der Grenze;

H (15 ∣ 900)

, 15 ME zu 60 GE/ME

Bestimmt jeweils die erlösmaximale Menge, den zugehörigen Preis und den Höchsterlös.

Jetzt ihr

p_{N} (x) = - 5 x + 100

Lösung

E (x) = - 5 x^{2} + 100 x

;

E^{'} (x) = - 10 x + 100 = 0

x_{E} = 10

;

E^{''} (10) = - 10 < 0

;

p_{N} (10) = 50

;

E (10) = 500

. Antwort:

H (10 ∣ 500)

, 10 ME zu 50 GE/ME bringen 500 GE.

b) Höchstpreis 36 GE/ME, Sättigungsmenge 12 ME (Lösung: $m = \frac{0 - 36}{12 - 0} = - 3$ , $p_{N} (x) = - 3 x + 36$ ; $E (x) = - 3 x^{2} + 36 x$ ; $E^{'} (x) = - 6 x + 36 = 0$ , $x_{E} = 6$ ; $E^{''} (6) = - 6 < 0$ ; $p_{N} (6) = 18$ ; $E (6) = 108$ . Antwort: $H (6 ∣ 108)$ , 6 ME zu 18 GE/ME bringen 108 GE.)

c) Zu 48 GE/ME kaufen die Kunden 10 ME, zu 36 GE/ME kaufen sie 20 ME. (Lösung: $m = \frac{36 - 48}{20 - 10} = - 1, 2$ ; $48 = - 1, 2 \cdot 10 + p_{N} (0)$ , also $p_{N} (0) = 60$ ; $E (x) = - 1, 2 x^{2} + 60 x$ ; $E^{'} (x) = - 2, 4 x + 60 = 0$ , $x_{E} = 25$ ; $E^{''} (25) = - 2, 4 < 0$ ; $p_{N} (25) = 30$ ; $E (25) = 750$ . Antwort: $H (25 ∣ 750)$ , 25 ME zu 30 GE/ME bringen 750 GE.)

d) $E (x) = - 3 x^{2} + 120 x$ ; bestimmt auch Höchstpreis und Sättigungsmenge. (Lösung: $E (x) = (- 3 x + 120) \cdot x$ , also $p_{N} (x) = - 3 x + 120$ ; Höchstpreis $p_{N} (0) = 120$ GE/ME; $- 3 x + 120 = 0$ ergibt die Sättigungsmenge 40 ME; $E^{'} (x) = - 6 x + 120 = 0$ , $x_{E} = 20$ ; $E^{''} (20) = - 6 < 0$ ; $p_{N} (20) = 60$ ; $E (20) = 1200$ . Antwort: $H (20 ∣ 1200)$ , 20 ME zu 60 GE/ME bringen 1200 GE.)

e) $p_{N} (x) = - 0, 1 x^{2} + 30$ (Lösung: $E (x) = - 0, 1 x^{3} + 30 x$ ; $E^{'} (x) = - 0, 3 x^{2} + 30 = 0$ , $x^{2} = 100$ , $x_{E} = 10$ ( $- 10$ ist keine Menge); $E^{''} (10) = - 6 < 0$ ; $p_{N} (10) = 20$ ; $E (10) = 200$ . Antwort: $H (10 ∣ 200)$ , 10 ME zu 20 GE/ME bringen 200 GE.)

f) $p_{N} (x) = - 0, 8 x + 80$ , Kapazitätsgrenze 40 ME (Lösung: $E (x) = - 0, 8 x^{2} + 80 x$ ; $E^{'} (x) = - 1, 6 x + 80 = 0$ bei $x = 50$ , hinter der Grenze 40; $x_{E} = 40$ ; $p_{N} (40) = 48$ ; $E (40) = 1920$ . Antwort: An der Kapazitätsgrenze bringen 40 ME zu 48 GE/ME 1920 GE.)

g) $p_{N} (x) = - 0, 8 x + 80$ , Kapazitätsgrenze 60 ME (Lösung: $E^{'} (x) = - 1, 6 x + 80 = 0$ , $x_{E} = 50$ , vor der Grenze 60; $E^{''} (50) = - 1, 6 < 0$ ; $p_{N} (50) = 40$ ; $E (50) = 2000$ . Antwort: $H (50 ∣ 2000)$ , 50 ME zu 40 GE/ME bringen 2000 GE.)

Der Grenzerlös

Der Grenzerlös $E^{'} (x)$ ist die Steigung der Erlöskurve. Er sagt ungefähr, um wie viel GE der Erlös mit der nächsten ME steigt.

15, 6 - 10 \cdot 0, 4 = 11, 6

Was sagt die Ableitung dazu?

Im Polypol ist die Erlöskurve selbst eine Gerade. Dort stimmt der Grenzerlös genau.

Wie hoch ist der Grenzerlös bei jeder Menge?

Was geschieht hinter dem Hochpunkt?

$x$	$E (x)$	$E^{'} (x)$	So steigt der Erlös
10	160	12	mehr verkaufen
25	250	0	gar nicht
40	160	−12	weniger verkaufen

Am Hochpunkt war $E^{''} (25) = - 0, 8 < 0$ die hinreichende Bedingung.

Beim Bauern im Polypol ist das anders:

Im Polypol sinkt der Grenzerlös nie. Er bleibt 12 GE/ME und wird nie 0. Darum hat $E (x) = 12 x$ keinen Hochpunkt.

Das Wasserwerk verkauft 10 ME, dort ist $E^{'} (10) = 12$ GE/ME.

Ein Monopolist hat die Preisfunktion $p_{N} (x) = - 4 x + 80$ , also $E (x) = - 4 x^{2} + 80 x$ und $E^{'} (x) = - 8 x + 80$ . Berechnet bei der Menge den Grenzerlös, den Preis und den Erlös. Steigt der Erlös, wenn er mehr oder wenn er weniger verkauft?

Jetzt ihr

a) 5 ME

Lösung

E^{'} (5) = 40

GE/ME,

p_{N} (5) = 60

GE/ME,

E (5) = 300

GE; mehr verkaufen

b) 10 ME (Lösung: $E^{'} (10) = 0$ GE/ME, $p_{N} (10) = 40$ GE/ME, $E (10) = 400$ GE; gar nicht: Höchsterlös)

c) 15 ME (Lösung: $E^{'} (15) = - 40$ GE/ME, $p_{N} (15) = 20$ GE/ME, $E (15) = 300$ GE; weniger verkaufen)

d) Um wie viel GE steigt der Erlös genau, wenn der Monopolist 6 statt 5 ME verkauft? Vergleicht mit dem Grenzerlös aus a). (Lösung: $p_{N} (6) = 56$ , $E (6) = 56 \cdot 6 = 336$ , $E (6) - E (5) = 336 - 300 = 36$ GE. Der Grenzerlös $E^{'} (5) = 40$ GE/ME sagt ungefähr dasselbe.)

e) Um wie viel GE ändert sich der Erlös, wenn der Monopolist 15 statt 5 ME verkauft? (Lösung: $E (15) - E (5) = 300 - 300 = 0$ . Der Erlös ändert sich nicht; $10 \cdot 40 = 400$ GE mit dem Grenzerlös aus a) wäre falsch.)

Höchsterlös und Gewinn

Das Wasserwerk mit $p_{N} (x) = - 0, 4 x + 20$ hat nun auch Kosten.

Gewinnfunktion und Gewinnzone

Erlös und Kosten kennt ihr schon. Jetzt geht es darum, was übrig bleibt.

Der Abstand zwischen Erlös und Kosten ist der Gewinn. Unten tragen wir ihn als eigenen Graphen auf.

G (x) = E (x) - K (x)

G (x) = 6 x - 30

Die Gewinnschwelle

Die Gewinnschwelle ist die Menge, bei der der Verlust in Gewinn übergeht.

An der Gewinnschwelle ist $G (x) = 0$ .

Ergebnis: Gewinnschwelle 5 ME.

Gewinngrenze und Gewinnzone

Die Gewinngrenze ist die Menge, bei der der Gewinn wieder in Verlust übergeht. Das zeigt ein Monopolist.

Jetzt kommen die Kosten dazu.

Die Gewinnzone sind alle Mengen, bei denen $G (x) > 0$ ist.

Ergebnis: Gewinnschwelle 1 ME, Gewinngrenze 7 ME, Gewinnzone $1 < x < 7$ .

Gewinnzone bei ertragsgesetzlichen Kosten

Auch bei festem Preis hört der Gewinn auf, wenn die Kosten immer schneller steigen.

Bei Grad 3 ratet ihr zuerst eine Nullstelle.

Die Nullstellen sind 2 und 8. Warum endet der Gewinn bei 8?

Ergebnis: Gewinnschwelle 2 ME, Gewinngrenze 8 ME, Gewinnzone $2 < x < 8$ .

Was eine Gewinnzone ist und was nicht

Weitere Fälle, klein nebeneinander.

Zwei Fälle ohne Gewinnzone.

Jetzt ihr

Ein Monopolist hat

p_{N} (x) = 14 - x

und

K (x) = 4 x + 9

. Bestimmt die Gewinnzone.

Lösung

G (x) = - x^{2} + 10 x - 9

, Nullstellen 1 und 9,

G (0) = - 9

G (5) = 16

, Gewinnzone

1 < x < 9

Schema: Gewinnzone bestimmen

So bestimmt ihr die Gewinnzone:

Übungen

Jetzt ihr

Bestimmt Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone. a) Monopol:

p_{N} (x) = 30 - 3 x

K (x) = 6 x + 36

Lösung

E (x) = (30 - 3 x) \cdot x = 30 x - 3 x^{2}

;

G (x) = 30 x - 3 x^{2} - (6 x + 36) = - 3 x^{2} + 24 x - 36

;

- 3 x^{2} + 24 x - 36 = 0 ∣ : (- 3)

ergibt

x^{2} - 8 x + 12 = 0

;

x_{1, 2} = 4 \pm 16 - 12 = 4 \pm 2

, also

x_{1} = 2

x_{2} = 6

; Vorzeichen:

G (0) = - 36 < 0

G (4) = 12 > 0

G (7) = - 15 < 0

; Gewinnschwelle 2 ME, Gewinngrenze 6 ME, Gewinnzone

2 < x < 6

b) Polypol: Marktpreis 28 GE je ME, $K (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 30 x + 48$ (Lösung: $G (x) = 28 x - (x^{3} - 9 x^{2} + 30 x + 48) = - x^{3} + 9 x^{2} - 2 x - 48$ ; raten: $G (1) = - 42$ , $G (2) = - 24$ , $G (3) = - 27 + 81 - 6 - 48 = 0$ ✓; Polynomdivision $(- x^{3} + 9 x^{2} - 2 x - 48) : (x - 3) = - x^{2} + 6 x + 16$ : $- (- x^{3} + 3 x^{2})$ lässt $6 x^{2} - 2 x$ , $- (6 x^{2} - 18 x)$ lässt $16 x - 48$ , $- (16 x - 48)$ lässt $0$ ; $- x^{2} + 6 x + 16 = 0 ∣ \cdot (- 1)$ ergibt $x^{2} - 6 x - 16 = 0$ ; $x_{1, 2} = 3 \pm 9 + 16 = 3 \pm 5$ , also $x_{1} = - 2$ (fällt weg), $x_{2} = 8$ ; Vorzeichen: $G (0) = - 48 < 0$ , $G (5) = 42 > 0$ , $G (9) = - 66 < 0$ ; Gewinnschwelle 3 ME, Gewinngrenze 8 ME, Gewinnzone $3 < x < 8$ )

c) Monopol: $p_{N} (x) = 12 - x$ , $K (x) = 2 x + 30$ (Lösung: $E (x) = (12 - x) \cdot x = 12 x - x^{2}$ ; $G (x) = 12 x - x^{2} - (2 x + 30) = - x^{2} + 10 x - 30$ ; $- x^{2} + 10 x - 30 = 0 ∣ \cdot (- 1)$ ergibt $x^{2} - 10 x + 30 = 0$ ; $x_{1, 2} = 5 \pm 25 - 30 = 5 \pm - 5$ : keine Nullstelle; Vorzeichen: $G (0) = - 30 < 0$ , und ohne Nullstelle bleibt $G$ negativ; keine Gewinnzone, der Monopolist macht bei jeder Menge Verlust)

d) Polypol: Marktpreis 12 GE je ME, $K (x) = 8 x + 20$ , höchstens 30 ME (Lösung: $G (x) = 12 x - (8 x + 20) = 4 x - 20$ ; $4 x - 20 = 0$ , also $x = 5$ ; Vorzeichen: $G (0) = - 20 < 0$ , $G (30) = 100 > 0$ ; Gewinnschwelle 5 ME, keine Gewinngrenze, Gewinnzone $5 < x \leq 30$ )

Gewinnfunktion, Gewinnmaximum, Cournotscher Punkt

Gewinn als Abstand

Fahrradlampen: Jede kostet auf dem Markt 10 GE. Die Kosten sind 30 GE fest, dazu 4 GE je Lampe.

Gewinn ist Erlös minus Kosten:

G (x) = E (x) - K (x)

G (x) = 10 x - (4 x + 30)

G (x) = 6 x - 30

Bei 2 Lampen liegen die Kosten oben: $G (2) = 20 - 38 = - 18$ . Das ist ein Verlust. Bei 8 Lampen liegt der Erlös oben: $G (8) = 80 - 62 = 18$ . Das ist ein Gewinn.

Die Abstände bilden selbst einen Graphen: die Gewinnfunktion. Bei 0 Lampen ist $G (0) = - 30$ . Die Fixkosten bleiben als Verlust.

Das Gewinnmaximum am Monopolisten

Ein Monopolist bestimmt den Preis selbst: $p_{N} (x) = 10 - x$ . Seine Kosten sind $K (x) = 2 x + 7$ .

Für den Gewinn nimmt man erst alle Terme von $E$ , dann alle von $K$ mit umgedrehtem Vorzeichen:

G (x) = - x^{2} + 8 x - 7

Mehr als 10 ME kauft niemand, denn $p_{N} (10) = 10 - 10 = 0$ . Die möglichen Mengen sind $0 \leq x \leq 10$ .

Oben ist die Kurve flach: $G^{'} (x) = - 2 x + 8 = 0$ ergibt $x = 4$ . Wegen $G^{''} (x) = - 2 < 0$ ist das ein Hochpunkt mit $G (4) = - 16 + 32 - 7 = 9$ , also $H (4 ∣ 9)$ .

Die Ränder: $G (0) = - 7$ und $G (10) = - 100 + 80 - 7 = - 27$ . Vergleich: $9 > - 7 > - 27$ . Die gewinnmaximale Menge ist 4 ME, der maximale Gewinn 9 GE.

So geht es jedes Mal:

Wo das Maximum auch liegen kann

Drei Fälle, jedes Mal mit demselben Schema.

a) Preis 60 GE je ME, $K (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 60 x + 98$ , höchstens 10 ME. Es gibt zwei flache Stellen, $x = 0$ und $x = 8$ . Nur eine ist oben: $G^{''} (0) = 24 > 0$ , $G^{''} (8) = - 24 < 0$ . Die Ränder geben $- 98$ und $102$ ; $158$ gewinnt.

b) Preis 10 GE je ME, $K (x) = 4 x + 30$ , höchstens 20 ME. $G^{'} (x) = 6$ ist nie 0: keine flache Stelle. Der rechte Rand gewinnt mit $G (20) = 90$ .

c) $p_{N} (x) = 20 - x$ , $K (x) = 4 x + 28$ , höchstens 5 ME. Die flache Stelle $x = 8$ liegt hinter der Grenze und fällt weg. Der Rand gewinnt mit $G (5) = 27$ .

Ein Maximum am Rand heißt Randmaximum.

Merken: Das Gewinnmaximum ist der größte Wert von G unter allen möglichen Mengen. Kandidaten sind die Hochpunkte und die Ränder.

Jetzt ihr

a) Polypol, Marktpreis 15 GE je ME,

K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 10

, höchstens 5 ME. Bestimmt die gewinnmaximale Menge und den maximalen Gewinn.

Lösung

G (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 10

;

G^{'} (x) = - 3 x (x - 4) = 0

bei 0 und 4;

G^{''} (4) = - 12 < 0

H (4 ∣ 22)

; Ränder

G (0) = - 10

G (5) = 15

; gewinnmaximale Menge 4 ME, maximaler Gewinn 22 GE

1. Gewinnfunktion aufstellen und die möglichen Mengen notieren. 2. Notwendige Bedingung: $G^{'} (x) = 0$ . 3. Hinreichende Bedingung: $G^{''} (x) < 0$ zeigt einen Hochpunkt. 4. Ränder: $G$ an beiden Rändern berechnen. 5. Vergleich: Der größte Wert gewinnt. 6. Antwort: Menge in ME, Gewinn in GE.

Jetzt ihr

a) Monopol:

p_{N} (x) = 30 - 2 x

K (x) = 6 x + 40

Lösung

G (x) = - 2 x^{2} + 24 x - 40

0 \leq x \leq 15

;

G^{'} (x) = - 4 x + 24 = 0

x = 6

;

G^{''} (x) = - 4 < 0

;

G (6) = 32

; Ränder

G (0) = - 40

G (15) = - 130

; 6 ME, maximaler Gewinn 32 GE

b) Polypol: Marktpreis 36 GE je ME, $K (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 84 x + 20$ , höchstens 10 ME. (Lösung: $G (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 48 x - 20$ ; $G^{'} (x) = 0$ ergibt $x^{2} - 10 x + 16 = 0$ , $x = 2$ oder $x = 8$ ; $G^{''} (2) = 18 > 0$ Tiefpunkt, $G^{''} (8) = - 18 < 0$ Hochpunkt; $G (8) = 44$ ; Ränder $G (0) = - 20$ , $G (10) = 0$ ; 8 ME, maximaler Gewinn 44 GE)

c) Polypol: Marktpreis 30 GE je ME, $K (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 51 x + 50$ , höchstens 6 ME. (Lösung: $G (x) = - x^{3} + 12 x^{2} - 21 x - 50$ ; $G^{'} (x) = 0$ ergibt $x^{2} - 8 x + 7 = 0$ , $x = 1$ oder $x = 7$ ; 7 liegt über der Grenze; $G^{''} (1) = 18 > 0$ Tiefpunkt; Ränder $G (0) = - 50$ , $G (6) = 40$ ; 6 ME, maximaler Gewinn 40 GE, ein Randmaximum)

Grenzerlös gleich Grenzkosten

Zurück zum Monopolisten mit $p_{N} (x) = 10 - x$ und $K (x) = 2 x + 7$ .

Aus $G = E - K$ folgt $G^{'} = E^{'} - K^{'}$ . Also heißt $G^{'} = 0$ dasselbe wie $E^{'} = K^{'}$ . Mit $E^{'} (x) = 10 - 2 x$ und $K^{'} (x) = 2$ gibt $10 - 2 x = 2$ wieder $x = 4$ .

Bei 1 ME ist $E (1) = K (1) = 9$ : gleich hoch, das ist die Gewinnschwelle. Bei 4 ME ist $E^{'} (4) = K^{'} (4) = 2$ : gleich steil, dort ist der Abstand am größten.

Warum? Rechnen wir jede ME einzeln:

Die 4. ME bringt $24 - 21 = 3$ GE und kostet 2 GE: $+ 1$ . Die 5. ME bringt nur 1 GE und kostet 2 GE: $- 1$ . Darum ist bei 4 ME Schluss.

Links von 4 liegt $E^{'}$ über $K^{'}$ : $G$ steigt. Rechts liegt $E^{'}$ darunter: $G$ fällt.

Merken: E = K, gleich hoch: Gewinnschwelle oder Gewinngrenze. E' = K', gleich steil: Kandidat für das Gewinnmaximum.

Polypol: Preis gleich Grenzkosten

Im Polypol bringt jede ME genau den Preis $p$ . Also ist $E^{'} (x) = p$ , und aus $E^{'} = K^{'}$ wird $K^{'} (x) = p$ .

Zum Beispiel Preis 60 GE je ME und $K (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 60 x + 98$ :

K^{'} (x) = 3 x^{2} - 24 x + 60

3 x^{2} - 24 x + 60 = 60

3 x (x - 8) = 0

Also $x = 0$ oder $x = 8$ : dieselben Kandidaten wie mit $G^{'} (x) = 0$ , der Tiefpunkt $T (0 ∣ - 98)$ und der Hochpunkt $H (8 ∣ 158)$ .

Zwischen 0 und 8 liegt $K^{'}$ unter dem Preis: $G$ steigt. Hinter 8 liegt $K^{'}$ darüber: $G$ fällt. Bei 4 ME liegen Preis und Grenzkosten am weitesten auseinander. Dort steigt $G$ am schnellsten, aber $G (4) = 30$ . Am größten ist $G$ bei 8 ME, wo der Abstand 0 ist.

Monopol: Grenzerlös unter dem Preis

Der Monopolist mit $p_{N} (x) = 10 - x$ verkauft 4 ME zu je 6 GE: 24 GE. Für die 5. ME senkt er den Preis auf 5 GE, und zwar für alle: $5 \cdot 5 = 25$ GE. Er bekommt $+ 5$ für die neue ME und verliert 4 an den alten. Der Erlös wächst nur um 1 GE.

Darum liegt der Grenzerlös $E^{'} (x) = 10 - 2 x$ unter dem Preis $p_{N} (x) = 10 - x$ .

$E^{'} = K^{'}$ : $10 - 2 x = 2$ , also $x = 4$ und $G (4) = 9$ . Dagegen wäre $p_{N} = K^{'}$ : $10 - x = 2$ , also $x = 8$ und $G (8) = - 64 + 64 - 7 = - 7$ . Das ist ein Verlust.

Merken: Grenzerlös gleich Grenzkosten gilt für jeden Betrieb. Preis gleich Grenzkosten gilt nur im Polypol, denn nur dort ist E'(x) = p.

Jetzt ihr

a) Ein Monopolist hat

p_{N} (x) = 18 - 2 x

und

K (x) = 2 x + 12

. Bestimmt die gewinnmaximale Menge mit

E^{'} (x) = K^{'} (x)

und den maximalen Gewinn.

Lösung

E^{'} (x) = 18 - 4 x

K^{'} (x) = 2

18 - 4 x = 2

ergibt

x = 4

;

G (x) = - 2 x^{2} + 16 x - 12

G^{''} (x) = - 4 < 0

; Ränder

G (0) = - 12

G (9) = - 30

; 4 ME, maximaler Gewinn

G (4) = 20

Stückgewinn und Gesamtgewinn

Stückkosten sind die Kosten je Stück: $k (x) = K (x) : x$ . Beim Betrieb mit Preis 60 und $K (8) = 322$ ist $k (8) = 322 : 8 = 40, 25$ . Der Stückgewinn ist Preis minus Stückkosten: $60 - 40, 25 = 19, 75$ . Der Gewinn ist Menge mal Stückgewinn:

G (x) = x \cdot (p - k (x))

8 \cdot 19, 75 = 158

Im Betriebsoptimum sind die Stückkosten am kleinsten, hier bei 7 ME mit $k (7) = 39$ . Dort ist der Stückgewinn am größten: $60 - 39 = 21$ . Der Gewinn ist dort aber erst $7 \cdot 21 = 147$ .

Bei 8 ME ist das Rechteck flacher, aber breiter: 158. Bei 9 ME sind es nur 145. Die 8. ME kostet $K (8) - K (7) = 322 - 273 = 49$ GE und bringt 60: Sie lohnt sich. Die 9. kostet $395 - 322 = 73$ GE: Sie lohnt sich nicht.

Merken: Der Stückgewinn ist im Betriebsoptimum am größten. Der Gesamtgewinn wächst weiter, solange die nächste ME weniger kostet als der Preis.

Sinkt der Marktpreis, schrumpft die Gewinnzone. Gewinn gibt es nur, wo die Preislinie über der $k$ -Kurve liegt. Bei 39 GE berührt sie nur noch das Betriebsoptimum: $G (7) = 7 \cdot (39 - 39) = 0$ . Das ist die langfristige Preisuntergrenze.

Der Cournotsche Punkt

Mit der Menge wählt der Monopolist auch den Preis, denn zu jeder Menge gehört ein Preis auf der Nachfragegeraden. Der Punkt mit dem größten Gewinn heißt Cournotscher Punkt $C$ .

p_{C} = p_{N} (4) = 6

Also $C (4 ∣ 6)$ : Der Monopolist verkauft 4 ME zu 6 GE je ME, sein Gewinn ist 9 GE. $C$ liegt senkrecht über $S (4 ∣ 2)$ , dem Schnitt von Grenzerlös und Grenzkosten.

Jede Menge hat ihren Preis und ihren Gewinn. Gewinn macht er zu Preisen zwischen 3 und 9 GE. Vom Cournotschen Punkt zum Erlösmaximum steigt der Erlös um 1 GE, die Kosten steigen um 2 GE. Darum verkauft er weniger und teurer.

Mit ertragsgesetzlichen Kosten geht es genauso: Bei $p_{N} (x) = 36 - 3 x$ und $K (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 10$ ist $G (x) = - x^{3} + 27 x - 10$ . Aus $G^{'} (x) = - 3 x^{2} + 27 = 0$ folgt $x = 3$ , denn $x = - 3$ fällt weg. $G (3) = 44$ , $p_{C} = 27$ , also $C (3 ∣ 27)$ .

Die Miete steigt: Fixkosten 12 statt 7 GE. Die Parabel rutscht um 5 nach unten, der Scheitel bleibt bei 4. Fixkosten fallen beim Ableiten weg. Bei 16 GE berührt der Scheitel die Achse, bei 20 GE liegt er bei $- 4$ . Das Beste ist dann ein Verlust von 4 GE: Das Maximum ist der kleinste Verlust.

Merken: Fixkosten ändern den Gewinn, aber nicht die gewinnmaximale Menge und nicht den Preis.

Jetzt ihr

a) Ein Monopolist hat

p_{N} (x) = 16 - 2 x

und

K (x) = 4 x + 10

. Bestimmt den Cournotschen Punkt und den maximalen Gewinn.

Lösung

G (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 10

G^{'} (x) = - 4 x + 12 = 0

ergibt

x_{C} = 3

G^{''} (x) = - 4 < 0

; Ränder

G (0) = - 10

G (8) = - 42

;

p_{C} = p_{N} (3) = 10

C (3 ∣ 10)

, maximaler Gewinn

G (3) = 8

1. Erlös und Gewinn aufstellen, mögliche Mengen notieren. 2. Notwendige Bedingung: $G^{'} (x) = 0$ , gleichwertig $E^{'} (x) = K^{'} (x)$ . 3. Hinreichende Bedingung: $G^{''} (x) < 0$ . 4. Ränder berechnen und vergleichen: Das gibt $x_{C}$ . 5. Cournot-Preis: $p_{C} = p_{N} (x_{C})$ . 6. Antwort: $C (x_{C} ∣ p_{C})$ und $G (x_{C})$ .

Jetzt ihr

p_{N} (x) = 24 - 2 x

K (x) = 4 x + 32

Lösung

G (x) = - 2 x^{2} + 20 x - 32

0 \leq x \leq 12

;

x = 5

;

G^{''} (x) = - 4 < 0

;

G (5) = 18

; Ränder

G (0) = - 32

G (12) = - 80

;

p_{C} = 14

;

C (5 ∣ 14)

, maximaler Gewinn 18 GE

b) $p_{N} (x) = 40 - 3 x$ , $K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 40$ , höchstens 10 ME. (Lösung: $G (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 24 x - 40$ ; $G^{'} (x) = 0$ ergibt $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ , $x = 4$ , $x = - 2$ fällt weg; $G^{''} (4) = - 18 < 0$ ; $G (4) = 40$ ; Ränder $G (0) = - 40$ , $G (10) = - 500$ ; $p_{C} = 28$ ; $C (4 ∣ 28)$ , maximaler Gewinn 40 GE)

c) $p_{N} (x) = 24 - 2 x$ , $K (x) = 4 x + 40$ . (Lösung: $G (x) = - 2 x^{2} + 20 x - 40$ ; $x = 5$ ; $G (5) = 10$ ; Ränder $G (0) = - 40$ , $G (12) = - 88$ ; $p_{C} = 14$ ; $C (5 ∣ 14)$ , maximaler Gewinn 10 GE)

Übersicht

Jede gesuchte Größe ist eine Bedingung an eine Funktion.