[M4 t6 v1] Das bestimmte Integral

<!-- Farben im Kapitel: Graph blau, gesuchte Fläche A grün, Rechtecke blau hell, was fehlt oder übersteht orange, Vergangenes grau. -->

Die Fläche unter einer Kurve

Das bestimmte Integral misst eine Fläche: zwischen dem Graphen und der x-Achse, von einer Stelle a bis zu einer Stelle b.

Unser Beispiel: $f(x)=3x^2+1$, von $x=0$ bis $x=2$. Der obere Rand ist krumm. Dafür gibt es keine Formel.

Für ein Rechteck schon: Fläche = Höhe · Breite. Also legen wir Rechtecke hinein.

Vier Streifen, jeder $\Delta x=0,5$ breit. Jedes Rechteck ist so hoch wie der Graph am linken Rand. Die blauen Zahlen an der Kurve sind die Höhen, die Zahlen unten die Flächen.

Zweites Rechteck: $f(0,5)=3\cdot 0,5^2+1=1,75$, also $1,75\cdot 0,5=0,875$.

Oben fehlen die orangen Stücke. Die echte Fläche A ist also größer als 7,25. Diese Summe heißt Untersumme: U für unten, 4 für vier Rechtecke.

Jetzt nehmen wir die Höhe am rechten Rand.

Die Rechtecke ragen über den Graphen hinaus. Die echte Fläche ist kleiner als 13,25. Diese Summe heißt Obersumme, $O_4$: O für oben.