Logarithmische Integration

Steht im Zähler eines Bruchs die Ableitung des Nenners, dann ist das Integral der Logarithmus des Nenners.

Der einfachste Fall ist $\frac{1}{x}$ :

ln ∣ x ∣ ableiten \frac{1}{x}

ln ∣ x ∣ + c integrieren \frac{1}{x}

Der Nenner ist $x$ . Seine Ableitung ist $1$ . Genau diese $1$ steht im Zähler.

Der Zähler ist die Ableitung des Nenners

Zum Beispiel $\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x$ :

Bruch 2x durch x²+1: der Nenner abgeleitet ergibt den Zähler

Nenner abgeleitet: Z \overset{a}{¨} hler: (x^{2} + 1)^{'} = 2 x 2 x ✓

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln ∣ x^{2} + 1∣ + c

Probe:

(ln ∣ x^{2} + 1∣)^{'} = \overset{a}{¨} ußere Ableitung \frac{1}{x ^{2} + 1} \cdot innere Ableitung 2 x = \frac{2 x}{x ^{2} + 1} ✓

Beim Ableiten wandert die innere Ableitung $2 x$ in den Zähler. Integrieren geht denselben Weg zurück:

ln ∣ x^{2} + 1∣ ableiten \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

ln ∣ x^{2} + 1∣ + c integrieren \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

ln|x²+1| ableiten ergibt 2x durch x²+1, integrieren geht zurück

Mit $N (x)$ für den Nenner heißt seine Ableitung $N^{'} (x)$ :

\int \frac{2 x N ^{'} ( x )}{N ( x ) x ^{2} + 1} d x = ln ∣ N (x) x^{2} + 1 ∣ + c

\int \frac{N ^{'} ( x )}{N ( x )} d x = ln ∣ N (x) ∣ + c

Dasselbe an sechs Brüchen:

	integrieren	Nenner abgeleitet	ergibt
A)	$\int \frac{3 x ^{2}}{x ^{3} + 8} d x$	$(x^{3} + 8)^{'} = 3 x^{2}$	$ln ∣ x^{3} + 8 ∣ + c$
B)	$\int \frac{1}{x + 7} d x$	$(x + 7)^{'} = 1$	$ln ∣ x + 7 ∣ + c$
C)	$\int \frac{2 x - 5}{x ^{2} - 5 x} d x$	$(x^{2} - 5 x)^{'} = 2 x - 5$	$ln ∣ x^{2} - 5 x ∣ + c$
D)	$\int \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 4} d x$	$(e^{x} + 4)^{'} = e^{x}$	$ln ∣ e^{x} + 4 ∣ + c$
E)	$\int \frac{c o s x}{s i n x} d x$	$(sin x)^{'} = cos x$	$ln ∣ sin x ∣ + c$
F)	$\int \frac{- s i n x}{c o s x + 2} d x$	$(cos x + 2)^{'} = - sin x$	$ln ∣ cos x + 2 ∣ + c$

Gleicher Zähler, anderer Nenner:

integrieren	Nenner abgeleitet	im Zähler	ergibt
$\int \frac{1}{x} d x$	$1$	$1$ ✓	$ln ∣ x ∣ + c$
$\int \frac{1}{x ^{2}} d x$	$2 x$	$1$ ✗	$- \frac{1}{x} + c$
$\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x$	$2 x$	$2 x$ ✓	$ln ∣ x^{2} + 1 ∣ + c$
$\int \frac{2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x$	$4 x (x^{2} + 1)$	$2 x$ ✗	$- \frac{1}{x ^{2} + 1} + c$

Bei ✗ gibt es kein ln. Die Ergebnisse dort kommen aus der Potenzregel:

\int \frac{1}{x ^{2}} d x = \int x^{- 2} d x = \frac{x ^{- 1}}{- 1} + c = - \frac{1}{x} + c

Beim zweiten mit $u = x^{2} + 1$ und $d u = 2 x d x$ :

\int \frac{2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x = \int u^{- 2} d u = \frac{u ^{- 1}}{- 1} + c = - \frac{1}{x ^{2} + 1} + c

Merken: Nenner ableiten. Steht die Ableitung im Zähler, ist das Integral ln vom Nenner, plus $c$ .

Schema: das Vorgehen aus allen Beispielen, allgemein.

1. Nenner $N (x)$ ablesen, den ganzen Nenner. 2. Nenner ableiten: $N^{'} (x)$ . 3. Vergleichen: Steht $N^{'} (x)$ im Zähler? 4. Wenn ja: $\int \frac{N ^{'} ( x )}{N ( x )} d x = ln ∣ N (x) ∣ + c$ . 5. Probe: $ln ∣ N (x) ∣$ ableiten. Es muss der Bruch herauskommen.

Jetzt ihr

\int \frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{3} + x} d x

Lösung

ln ∣ x^{3} + x ∣ + c

Übungen

Integriert.

A) $\int \frac{4 x ^{3}}{x ^{4} + 3} d x$

B) $\int \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x - 6} d x$

C) $\int \frac{1}{x - 9} d x$

D) $\int \frac{3 x ^{2} - 4}{x ^{3} - 4 x} d x$

E) $\int \frac{e ^{x}}{e ^{x} - 2} d x$

F) $\int \frac{1 - 2 x}{x - x ^{2}} d x$

Schrittlösungen

A) $N (x) = x^{4} + 3$ , $N^{'} (x) = 4 x^{3}$ steht im Zähler ✓

\int \frac{4 x ^{3}}{x ^{4} + 3} d x = ln ∣ x^{4} + 3∣ + c

Probe: $(ln ∣ x^{4} + 3∣)^{'} = \frac{1}{x ^{4} + 3} \cdot 4 x^{3} = \frac{4 x ^{3}}{x ^{4} + 3}$ ✓

B) $N (x) = x^{2} + x - 6$ , $N^{'} (x) = 2 x + 1$ steht im Zähler ✓

\int \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x - 6} d x = ln ∣ x^{2} + x - 6∣ + c

Probe: $(ln ∣ x^{2} + x - 6∣)^{'} = \frac{1}{x ^{2} + x - 6} \cdot (2 x + 1) = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x - 6}$ ✓

C) $N (x) = x - 9$ , $N^{'} (x) = 1$ steht im Zähler ✓

\int \frac{1}{x - 9} d x = ln ∣ x - 9∣ + c

Probe: $(ln ∣ x - 9∣)^{'} = \frac{1}{x - 9} \cdot 1 = \frac{1}{x - 9}$ ✓

D) $N (x) = x^{3} - 4 x$ , $N^{'} (x) = 3 x^{2} - 4$ steht im Zähler ✓

\int \frac{3 x ^{2} - 4}{x ^{3} - 4 x} d x = ln ∣ x^{3} - 4 x ∣ + c

Probe: $(ln ∣ x^{3} - 4 x ∣)^{'} = \frac{1}{x ^{3} - 4 x} \cdot (3 x^{2} - 4) = \frac{3 x ^{2} - 4}{x ^{3} - 4 x}$ ✓

E) $N (x) = e^{x} - 2$ , $N^{'} (x) = e^{x}$ steht im Zähler ✓

\int \frac{e ^{x}}{e ^{x} - 2} d x = ln ∣ e^{x} - 2∣ + c

Probe: $(ln ∣ e^{x} - 2∣)^{'} = \frac{1}{e ^{x} - 2} \cdot e^{x} = \frac{e ^{x}}{e ^{x} - 2}$ ✓

F) $N (x) = x - x^{2}$ , $N^{'} (x) = 1 - 2 x$ steht im Zähler ✓

\int \frac{1 - 2 x}{x - x ^{2}} d x = ln ∣ x - x^{2} ∣ + c

Probe: $(ln ∣ x - x^{2} ∣)^{'} = \frac{1}{x - x ^{2}} \cdot (1 - 2 x) = \frac{1 - 2 x}{x - x ^{2}}$ ✓

Der Zähler passt bis auf eine Zahl

Ist der Zähler eine Zahl mal die Ableitung des Nenners, steht diese Zahl vor dem ln. Zum Beispiel $\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x$ :

Nenner abgeleitet: Z \overset{a}{¨} hler: (x^{2} + 1)^{'} = 2 x x = \frac{1}{2} \cdot 2 x

Die Zahl $\frac{1}{2}$ darf vor das Integral. Dahinter steht ein Bruch, dessen Zähler genau die Ableitung des Nenners ist:

\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x = \int \frac{\frac{1}{2} \cdot 2 x}{x ^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} l n ∣ x^{2} + 1∣ \int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} ln ∣ x^{2} + 1∣ + c

Probe:

(\frac{1}{2} ln ∣ x^{2} + 1∣)^{'} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1} ✓

Dasselbe mit anderen Zahlen:

	integrieren	Nenner abgeleitet	Zähler	ergibt
A)	$\int \frac{6 x}{x ^{2} + 1} d x$	$2 x$	$6 x = 3 \cdot 2 x$	$3 \cdot ln ∣ x^{2} + 1 ∣ + c$
B)	$\int \frac{x ^{2}}{x ^{3} - 5} d x$	$3 x^{2}$	$x^{2} = \frac{1}{3} \cdot 3 x^{2}$	$\frac{1}{3} \cdot ln ∣ x^{3} - 5 ∣ + c$
C)	$\int \frac{5}{x + 2} d x$	$1$	$5 = 5 \cdot 1$	$5 \cdot ln ∣ x + 2 ∣ + c$
D)	$\int \frac{1}{2 x + 1} d x$	$2$	$1 = \frac{1}{2} \cdot 2$	$\frac{1}{2} \cdot ln ∣ 2 x + 1 ∣ + c$
E)	$\int \frac{x + 1}{x ^{2} + 2 x + 5} d x$	$2 x + 2$	$x + 1 = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 2)$	$\frac{1}{2} \cdot ln ∣ x^{2} + 2 x + 5 ∣ + c$
F)	$\int \frac{1}{5 - x} d x$	$- 1$	$1 = (- 1) \cdot (- 1)$	$(- 1) \cdot ln ∣ 5 - x ∣ + c$
G)	$\int \frac{s i n x}{c o s x} d x$	$- sin x$	$sin x = (- 1) \cdot (- sin x)$	$(- 1) \cdot ln ∣ cos x ∣ + c$
H)	$\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x$	$2 x$	$2 x = 1 \cdot 2 x$	$1 \cdot ln ∣ x^{2} + 1 ∣ + c$

Nur eine Zahl darf vor das Integral:

integrieren	Nenner abgeleitet	Zähler	davor stünde
$\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x$	$2 x$	$x = \frac{1}{2} \cdot 2 x$	$\frac{1}{2}$ , eine Zahl ✓
$\int \frac{1}{x ^{2} + 2 x + 1} d x$	$2 x + 2$	$1 = \frac{1}{2 x + 2} \cdot (2 x + 2)$	$\frac{1}{2 x + 2}$ , enthält $x$ ✗

Für $\frac{1}{x ^{2} + 2 x + 1}$ gibt es darum kein ln. Um es trotzdem zu integrieren, schreibt ihr den Nenner mit der binomischen Formel als Quadrat:

\int \frac{1}{x ^{2} + 2 x + 1} d x = \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x = \int (x + 1)^{- 2} d x = \frac{( x + 1 ) ^{- 1}}{- 1} + c = - \frac{1}{x + 1} + c

Merken: Die Zahl vor das Integral holen, den Rest wie gewohnt integrieren. Die Zahl darf kein $x$ enthalten.

Schema: das Vorgehen von oben, jetzt mit Zahl.

1. Nenner $N (x)$ ablesen. 2. Nenner ableiten: $N^{'} (x)$ . 3. Vergleichen: Ist der Zähler eine Zahl mal $N^{'} (x)$ ? 4. Wenn ja: Zahl vor das Integral, $\int \frac{Zahl \cdot N ^{'} ( x )}{N ( x )} d x = Zahl \cdot ln ∣ N (x) ∣ + c$ . 5. Probe: ableiten.

Jetzt ihr

\int \frac{x}{x ^{2} - 9} d x

Lösung

\frac{1}{2} ln ∣ x^{2} - 9∣ + c

Zwei Wege, beide richtig. Bei $\int \frac{1}{2 x} d x$ geht beides:

Nenner 2 x abgeleitet ist 2 : \int \frac{1}{2 x} d x = \frac{1}{2} \int \frac{2}{2 x} d x = \frac{1}{2} ln ∣2 x ∣ + c

Zahl \frac{1}{2} vorziehen: \int \frac{1}{2 x} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x = \frac{1}{2} ln ∣ x ∣ + c

Mit dem Logarithmengesetz $ln ∣2 x ∣ = ln 2 + ln ∣ x ∣$ :

\frac{1}{2} ln ∣2 x ∣ + c = \frac{1}{2} ln ∣ x ∣ + wieder eine feste Zahl \frac{1}{2} ln 2 + c

Die beiden Ergebnisse unterscheiden sich nur um die Zahl $\frac{1}{2} ln 2 \approx 0, 35$ . Für $c$ darf jede Zahl stehen, also sind beide richtig.

Übungen

Integriert.

A) $\int \frac{x}{x ^{2} + 4} d x$

B) $\int \frac{12 x}{x ^{2} - 3} d x$

C) $\int \frac{x ^{3}}{x ^{4} + 1} d x$

D) $\int \frac{7}{x - 1} d x$

E) $\int \frac{1}{3 x - 2} d x$

F) $\int \frac{2}{4 - x} d x$

G) $\int \frac{x - 2}{x ^{2} - 4 x + 1} d x$

H) $\int \frac{s i n x}{1 + c o s x} d x$

Schrittlösungen

A) $N (x) = x^{2} + 4$ , $N^{'} (x) = 2 x$ , Zähler $x = \frac{1}{2} \cdot 2 x$

\int \frac{x}{x ^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} \int \frac{2 x}{x ^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} ln ∣ x^{2} + 4∣ + c

Probe: $(\frac{1}{2} ln ∣ x^{2} + 4∣)^{'} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{x ^{2} + 4} = \frac{x}{x ^{2} + 4}$ ✓

B) $N (x) = x^{2} - 3$ , $N^{'} (x) = 2 x$ , Zähler $12 x = 6 \cdot 2 x$

\int \frac{12 x}{x ^{2} - 3} d x = 6 \int \frac{2 x}{x ^{2} - 3} d x = 6 ln ∣ x^{2} - 3∣ + c

Probe: $(6 ln ∣ x^{2} - 3∣)^{'} = 6 \cdot \frac{2 x}{x ^{2} - 3} = \frac{12 x}{x ^{2} - 3}$ ✓

C) $N (x) = x^{4} + 1$ , $N^{'} (x) = 4 x^{3}$ , Zähler $x^{3} = \frac{1}{4} \cdot 4 x^{3}$

\int \frac{x ^{3}}{x ^{4} + 1} d x = \frac{1}{4} \int \frac{4 x ^{3}}{x ^{4} + 1} d x = \frac{1}{4} ln ∣ x^{4} + 1∣ + c

Probe: $(\frac{1}{4} ln ∣ x^{4} + 1∣)^{'} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 x ^{3}}{x ^{4} + 1} = \frac{x ^{3}}{x ^{4} + 1}$ ✓

D) $N (x) = x - 1$ , $N^{'} (x) = 1$ , Zähler $7 = 7 \cdot 1$

\int \frac{7}{x - 1} d x = 7 \int \frac{1}{x - 1} d x = 7 ln ∣ x - 1∣ + c

Probe: $(7 ln ∣ x - 1∣)^{'} = 7 \cdot \frac{1}{x - 1} = \frac{7}{x - 1}$ ✓

E) $N (x) = 3 x - 2$ , $N^{'} (x) = 3$ , Zähler $1 = \frac{1}{3} \cdot 3$

\int \frac{1}{3 x - 2} d x = \frac{1}{3} \int \frac{3}{3 x - 2} d x = \frac{1}{3} ln ∣3 x - 2∣ + c

Probe: $(\frac{1}{3} ln ∣3 x - 2∣)^{'} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3 x - 2} = \frac{1}{3 x - 2}$ ✓

F) $N (x) = 4 - x$ , $N^{'} (x) = - 1$ , Zähler $2 = (- 2) \cdot (- 1)$

\int \frac{2}{4 - x} d x = (- 2) \int \frac{- 1}{4 - x} d x = - 2 ln ∣4 - x ∣ + c

Probe: $(- 2 ln ∣4 - x ∣)^{'} = - 2 \cdot \frac{- 1}{4 - x} = \frac{2}{4 - x}$ ✓

G) $N (x) = x^{2} - 4 x + 1$ , $N^{'} (x) = 2 x - 4$ , Zähler $x - 2 = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 4)$

\int \frac{x - 2}{x ^{2} - 4 x + 1} d x = \frac{1}{2} \int \frac{2 x - 4}{x ^{2} - 4 x + 1} d x = \frac{1}{2} ln ∣ x^{2} - 4 x + 1∣ + c

Probe: $(\frac{1}{2} ln ∣ x^{2} - 4 x + 1∣)^{'} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x - 4}{x ^{2} - 4 x + 1} = \frac{x - 2}{x ^{2} - 4 x + 1}$ ✓

H) $N (x) = 1 + cos x$ , $N^{'} (x) = - sin x$ , Zähler $sin x = (- 1) \cdot (- sin x)$

\int \frac{sin x}{1 + cos x} d x = (- 1) \int \frac{- sin x}{1 + cos x} d x = - ln ∣1 + cos x ∣ + c

Probe: $(- ln ∣1 + cos x ∣)^{'} = - \frac{- s i n x}{1 + c o s x} = \frac{s i n x}{1 + c o s x}$ ✓

Der Bruch ist versteckt

Manche Brüche sind versteckt. Schreibt sie zuerst als Bruch, dann geht alles wie gewohnt. Zum Beispiel $\int tan x d x$ :

tan x = \frac{sin x}{cos x}

Nenner abgeleitet: Z \overset{a}{¨} hler: (cos x)^{'} = - sin x sin x = (- 1) \cdot (- sin x)

\int tan x d x = \int \frac{sin x}{cos x} d x = (- 1) \int \frac{- sin x}{cos x} d x = - ln ∣ cos x ∣ + c

Probe:

(- ln ∣ cos x ∣)^{'} = - \frac{1}{cos x} \cdot (- sin x) = \frac{sin x}{cos x} = tan x ✓

Drei weitere Verstecke:

	integrieren	als Bruch geschrieben	Nenner abgeleitet	Zähler	ergibt
A)	$\int \frac{1}{x \cdot l n x} d x$	$\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{l n x} = \frac{1/ x}{l n x}$	$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{x} = 1 \cdot \frac{1}{x}$	$1 \cdot ln ∣ ln x ∣ + c$
B)	$\int 2 x \cdot (x^{2} + 1)^{- 1} d x$	$2 x \cdot \frac{1}{x ^{2} + 1} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$	$2 x$	$2 x = 1 \cdot 2 x$	$1 \cdot ln ∣ x^{2} + 1 ∣ + c$
C)	$\int e^{2 x} \cdot (e^{2 x} + 3)^{- 1} d x$	$e^{2 x} \cdot \frac{1}{e ^{2 x} + 3} = \frac{e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 3}$	$2 e^{2 x}$	$e^{2 x} = \frac{1}{2} \cdot 2 e^{2 x}$	$\frac{1}{2} \cdot ln ∣ e^{2 x} + 3 ∣ + c$

Der Exponent $- 1$ heißt „ $1$ durch“: $(x^{2} + 1)^{- 1} = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ .

Merken: Erst als Bruch schreiben. Dann den Nenner ableiten und mit dem Zähler vergleichen.

Schema: das Vorgehen mit Versteck, allgemein.

1. Als Bruch schreiben. 2. Nenner $N (x)$ ablesen und ableiten: $N^{'} (x)$ . 3. Vergleichen: Ist der Zähler eine Zahl mal $N^{'} (x)$ ? 4. Wenn ja: $Zahl \cdot ln ∣ N (x) ∣ + c$ . 5. Probe: ableiten.

Jetzt ihr

\int 4 x^{3} \cdot (x^{4} - 2)^{- 1} d x

Lösung

ln ∣ x^{4} - 2∣ + c

Übungen

Integriert.

A) $\int 3 tan x d x$

B) $\int \frac{1}{x \cdot ( l n x + 5 )} d x$

C) $\int 6 x^{2} \cdot (x^{3} + 1)^{- 1} d x$

D) $\int cos x \cdot (sin x)^{- 1} d x$

E) $\int \frac{4}{x \cdot l n x} d x$

Schrittlösungen

A) $3 tan x = \frac{3 s i n x}{c o s x}$ ; $N (x) = cos x$ , $N^{'} (x) = - sin x$ , Zähler $3 sin x = (- 3) \cdot (- sin x)$

\int 3 tan x d x = (- 3) \int \frac{- sin x}{cos x} d x = - 3 ln ∣ cos x ∣ + c

Probe: $(- 3 ln ∣ cos x ∣)^{'} = - 3 \cdot \frac{- s i n x}{c o s x} = 3 tan x$ ✓

B) $\frac{1}{x \cdot ( l n x + 5 )} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{l n x + 5} = \frac{1/ x}{l n x + 5}$ ; $N (x) = ln x + 5$ , $N^{'} (x) = \frac{1}{x}$ steht im Zähler ✓

\int \frac{1}{x \cdot ( ln x + 5 )} d x = ln ∣ ln x + 5∣ + c

Probe: $(ln ∣ ln x + 5∣)^{'} = \frac{1}{l n x + 5} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \cdot ( l n x + 5 )}$ ✓

C) $6 x^{2} \cdot (x^{3} + 1)^{- 1} = \frac{6 x ^{2}}{x ^{3} + 1}$ ; $N (x) = x^{3} + 1$ , $N^{'} (x) = 3 x^{2}$ , Zähler $6 x^{2} = 2 \cdot 3 x^{2}$

\int \frac{6 x ^{2}}{x ^{3} + 1} d x = 2 \int \frac{3 x ^{2}}{x ^{3} + 1} d x = 2 ln ∣ x^{3} + 1∣ + c

Probe: $(2 ln ∣ x^{3} + 1∣)^{'} = 2 \cdot \frac{3 x ^{2}}{x ^{3} + 1} = \frac{6 x ^{2}}{x ^{3} + 1}$ ✓

D) $cos x \cdot (sin x)^{- 1} = \frac{c o s x}{s i n x}$ ; $N (x) = sin x$ , $N^{'} (x) = cos x$ steht im Zähler ✓

\int \frac{cos x}{sin x} d x = ln ∣ sin x ∣ + c

Probe: $(ln ∣ sin x ∣)^{'} = \frac{1}{s i n x} \cdot cos x = \frac{c o s x}{s i n x}$ ✓

E) $\frac{4}{x \cdot l n x} = 4 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{l n x} = \frac{4 \cdot \frac{1}{x}}{l n x}$ ; $N (x) = ln x$ , $N^{'} (x) = \frac{1}{x}$ , Zähler $4 \cdot \frac{1}{x}$

\int \frac{4}{x \cdot ln x} d x = 4 \int \frac{1/ x}{ln x} d x = 4 ln ∣ ln x ∣ + c

Probe: $(4 ln ∣ ln x ∣)^{'} = 4 \cdot \frac{1}{l n x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{x \cdot l n x}$ ✓

Warum im ln ein Betrag steht

Der Betrag macht die Zahl im ln positiv. So gibt es die Stammfunktion überall dort, wo es den Bruch gibt. Zum Beispiel $f (x) = \frac{1}{x - 3}$ mit der Stammfunktion $F (x) = ln ∣ x - 3∣$ :

$x$	$f (x) = \frac{1}{x - 3}$	ohne Betrag: $ln (x - 3)$	mit Betrag: $ln ∣ x - 3 ∣$
$5$	$\frac{1}{2} = 0, 5$	$ln 2 \approx 0, 69$	$ln 2 \approx 0, 69$
$1$	$\frac{1}{- 2} = - 0, 5$	$ln (- 2)$ gibt es nicht	$ln 2 \approx 0, 69$

Bei $x = 1$ gibt es den Bruch. Ohne Betrag gibt es dort keine Stammfunktion, denn ln nimmt nur positive Zahlen.

Graph von ln|x−3| mit Tangenten über dem Graphen von 1/(x−3)

Oben die Stammfunktion $F$ , unten der Bruch $f$ . Die Steigung von $F$ ist an jeder Stelle die Höhe von $f$ : bei $x = 1$ beide $- 0, 5$ , bei $x = 5$ beide $0, 5$ . Bei $x = 3$ ist der Nenner null. Dort gibt es weder $f$ noch $F$ .

Probe für den linken Ast: Für $x < 3$ ist $x - 3$ negativ, also $∣ x - 3∣ = 3 - x$ .

(ln (3 - x))^{'} = \frac{1}{3 - x} \cdot (- 1) = \frac{- 1}{3 - x} = \frac{1}{x - 3} ✓

Wird der Nenner nie negativ, ändert der Betrag nichts:

Nenner	kann negativ werden?	Ergebnis
$x - 3$	ja, bei $x = 1$ : $- 2$	$ln ∣ x - 3 ∣ + c$
$x^{2} - 4$	ja, bei $x = 0$ : $- 4$	$ln ∣ x^{2} - 4 ∣ + c$
$sin x$	ja, bei $x = \frac{3 π}{2}$ : $- 1$	$ln ∣ sin x ∣ + c$
$x^{2} + 1$	nein, $x^{2} \geq 0$ , also $x^{2} + 1 \geq 1$	$ln ∣ x^{2} + 1 ∣ + c = ln (x^{2} + 1) + c$
$e^{x} + 4$	nein, $e^{x} > 0$ , also $e^{x} + 4 > 4$	$ln ∣ e^{x} + 4 ∣ + c = ln (e^{x} + 4) + c$
$cos x + 2$	nein, $cos x \geq - 1$ , also $cos x + 2 \geq 1$	$ln ∣ cos x + 2 ∣ + c = ln (cos x + 2) + c$

Merken: Kann der Nenner negativ werden, braucht ihr den Betrag. Ist der Nenner immer positiv, dürft ihr ihn weglassen.

Schema: das Vorgehen aus der Tabelle, allgemein.

1. Integrieren wie gewohnt: $Zahl \cdot ln ∣ N (x) ∣ + c$ . 2. Vorzeichen prüfen: Kann $N (x)$ negativ werden? Eine Stelle einsetzen, oder zeigen, dass $N (x)$ immer positiv ist (Quadrate sind nie negativ, $e^{x}$ ist immer positiv, quadratisch ergänzen). 3. Kann $N (x)$ negativ werden, bleibt der Betrag. Ist $N (x)$ immer positiv, darf er weg.

Jetzt ihr

Braucht

\int \frac{3 x ^{2}}{x ^{3} - 8} d x

den Betrag?

Lösung

ln ∣ x^{3} - 8∣ + c

; ja, bei

x = 0

ist

x^{3} - 8 = - 8

Übungen

Integriert. Braucht das Ergebnis den Betrag?

A) $\int \frac{2 x}{x ^{2} + 9} d x$

B) $\int \frac{1}{x + 1} d x$

C) $\int \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1} d x$

D) $\int \frac{2 x}{x ^{2} - 1} d x$

E) $\int \frac{c o s x}{s i n x + 2} d x$

F) $\int \frac{2 x + 2}{x ^{2} + 2 x + 2} d x$

Schrittlösungen

A) $N (x) = x^{2} + 9$ , $N^{'} (x) = 2 x$ steht im Zähler ✓; $x^{2} + 9 \geq 9$ , nie negativ: Betrag nicht nötig.

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 9} d x = ln (x^{2} + 9) + c

B) $N (x) = x + 1$ , $N^{'} (x) = 1$ steht im Zähler ✓; bei $x = - 2$ ist $x + 1 = - 1$ : Betrag nötig.

\int \frac{1}{x + 1} d x = ln ∣ x + 1∣ + c

C) $N (x) = e^{x} + 1$ , $N^{'} (x) = e^{x}$ steht im Zähler ✓; $e^{x} + 1 > 1$ , nie negativ: Betrag nicht nötig.

\int \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1} d x = ln (e^{x} + 1) + c

D) $N (x) = x^{2} - 1$ , $N^{'} (x) = 2 x$ steht im Zähler ✓; bei $x = 0$ ist $x^{2} - 1 = - 1$ : Betrag nötig.

\int \frac{2 x}{x ^{2} - 1} d x = ln ∣ x^{2} - 1∣ + c

E) $N (x) = sin x + 2$ , $N^{'} (x) = cos x$ steht im Zähler ✓; $sin x \geq - 1$ , also $sin x + 2 \geq 1$ : Betrag nicht nötig.

\int \frac{cos x}{sin x + 2} d x = ln (sin x + 2) + c

F) $N (x) = x^{2} + 2 x + 2$ , $N^{'} (x) = 2 x + 2$ steht im Zähler ✓; $x^{2} + 2 x + 2 = (x + 1)^{2} + 1 \geq 1$ : Betrag nicht nötig.

\int \frac{2 x + 2}{x ^{2} + 2 x + 2} d x = ln (x^{2} + 2 x + 2) + c

Herleitung: Warum ln vom Nenner die Stammfunktion ist

Die Regel ist die Kettenregel, rückwärts gelesen. Beim Ableiten von $ln ∣ N (x) ∣$ ist $ln$ außen und $N (x)$ innen:

(ln ∣ N (x) ∣)^{'} = \overset{a}{¨} ußere Ableitung \frac{1}{N ( x )} \cdot innere Ableitung N^{'} (x) = \frac{N ^{'} ( x )}{N ( x )}

Das gilt für jeden Nenner. Also ist $ln ∣ N (x) ∣$ eine Stammfunktion von $\frac{N ^{'} ( x )}{N ( x )}$ .

Mit Substitution kommt dasselbe heraus. Für $\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x$ ersetzt ihr $u = x^{2} + 1$ , also $d u = 2 x d x$ :

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{u x ^{2} + 1} \cdot d u 2 x d x = \int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣ + c = ln ∣ x^{2} + 1∣ + c

Allgemein mit $u = N (x)$ und $d u = N^{'} (x) d x$ :

\int \frac{N ^{'} ( x )}{N ( x )} d x = \int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣ + c = ln ∣ N (x) ∣ + c

Nach dem Ersetzen steht jedes Mal $\int \frac{1}{u} d u$ . Darum könnt ihr den Weg über $u$ weglassen.

Zwei bekannte Formeln als Sonderfälle:

Nenner $N (x)$	$N^{'} (x)$	integrieren	ergibt
$x$	$1$	$\int \frac{1}{x} d x$	$ln ∣ x ∣ + c$
$a x + b$	$a$	$\int \frac{a}{a x + b} d x$	$ln ∣ a x + b ∣ + c$

Mit der Zahl $\frac{1}{a}$ vor dem Integral folgt aus der zweiten Zeile:

\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{1}{a} \int \frac{a}{a x + b} d x = \frac{1}{a} ln ∣ a x + b ∣ + c

In Formelsammlungen heißt der Nenner $f (x)$ . Dieselbe Regel, untereinander:

\int \frac{N ^{'} ( x )}{N ( x )} d x = ln ∣ N (x) ∣ + c

\int \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x = ln ∣ f (x) ∣ + c

Regel mit N(x) über derselben Regel mit f(x)