Das bestimmte Integral

Die Fläche unter einer Kurve

Das bestimmte Integral misst die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse, von einer Stelle a bis zu einer Stelle b.

Hier ist so eine Fläche: unter dem Graphen von $f (x) = 3 x^{2} + 1$ , von $x = 0$ bis $x = 2$ .

Fläche unter f(x) = 3x² + 1 von 0 bis 2, gesucht A

Wie groß ist diese Fläche? Schwer zu sagen. Der obere Rand ist krumm. Für Rechtecke gibt es eine Formel, für diese Form nicht.

Also legen wir Rechtecke hinein. Die Strecke von 0 bis 2 wird in vier Streifen geteilt, jeder 0,5 breit. In jedem Streifen steht ein Rechteck, so hoch wie der Graph am linken Rand:

Untersumme mit vier Rechtecken, Höhe am linken Rand

Jedes Rechteck hat die Fläche Höhe mal Breite:

A_{Rechteck} A_{Rechteck} = H \overset{o}{¨} he \cdot Breite = f (x) \cdot Δ x

Die Höhe ist ein Funktionswert, die Breite heißt $Δ x$ . Im zweiten Rechteck: $f (0, 5) = 3 \cdot 0, 5^{2} + 1 = 1, 75$ und $1, 75 \cdot 0, 5 = 0, 875$ .

U_{4} = 1 \cdot 0, 5 + 1, 75 \cdot 0, 5 + 4 \cdot 0, 5 + 7, 75 \cdot 0, 5 = 0, 5 + 0, 875 + 2 + 3, 875 = 7, 25

Oben fehlen Stücke. Die echte Fläche A ist also größer als 7,25. Diese Summe heißt Untersumme, $U_{4}$ für vier Rechtecke.

Nehmt jetzt in jedem Streifen die Höhe am rechten Rand:

Obersumme mit vier Rechtecken, Höhe am rechten Rand

O_{4} = 1, 75 \cdot 0, 5 + 4 \cdot 0, 5 + 7, 75 \cdot 0, 5 + 13 \cdot 0, 5 = 0, 875 + 2 + 3, 875 + 6, 5 = 13, 25

Diese Rechtecke ragen über den Graphen hinaus. Die echte Fläche ist kleiner als 13,25. Diese Summe heißt Obersumme, $O_{4}$ .

7, 25 < A < 13, 25

Das ist noch grob. Mit schmaleren Rechtecken rücken Untersumme und Obersumme zusammen. Blau ist die Untersumme, orange ist, was die Obersumme mehr hat:

$n$	$Δ x$	$U_{n}$	$O_{n}$
4	0,5	7,25	13,25
8	0,25	8,5625	11,5625
20	0,1	9,41	10,61
200	0,01	9,9401	10,0601

Ab 8 Rechtecken addiert man mit dem Computer. Die Untersummen wachsen, die Obersummen fallen. Beide laufen auf dieselbe Zahl zu, irgendwo bei 10.

Kommen sie wirklich zusammen? Schaut auf die orangen Stücke. Schiebt man sie waagerecht nach rechts in eine Spalte, liegen sie genau übereinander:

Die Säule beginnt auf der Höhe am Anfang, $f (0) = 1$ , und endet auf der Höhe am Ende, $f (2) = 13$ :

O_{4} - U_{4} = (f (2) - f (0)) \cdot Δ x = (13 - 1) \cdot 0, 5 = 6

Bei mehr Rechtecken reicht die Säule weiter von 1 bis 13, sie bleibt also 12 hoch. Nur ihre Breite $Δ x$ schrumpft. Bei 200 Rechtecken: $12 \cdot 0, 01 = 0, 12$ . Der Abstand geht gegen 0.

Mit n Rechtecken heißen die Summen $U_{n}$ und $O_{n}$ . Für immer mehr Rechtecke, also $n \to \infty$ , haben sie denselben Grenzwert. Dieser Grenzwert ist die Fläche. Er heißt das bestimmte Integral von $3 x^{2} + 1$ von 0 bis 2:

n \to \infty lim U_{n} = n \to \infty lim O_{n} = \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 1) d x

Das Zeichen $\int$ kennt ihr vom Integrieren. Es ist ein langgezogenes S, S wie Summe: eine Summe aus unendlich vielen, unendlich schmalen Rechtecken.

Teile des Integrals: Summe, Grenzen, Integrand und dx

dx ist die Breite eines unendlich schmalen Rechtecks. Bei vier Rechtecken war die Breite $Δ x = 0, 5$ .

Ist die Fläche genau 10? Mit Rechtecken kommt man nie ganz an. Mit einer Stammfunktion geht es in einer Zeile. Eine Stammfunktion von $3 x^{2} + 1$ ist $x^{3} + x$ . Setzt die obere Grenze ein, dann die untere, und zieht ab:

\int_{0}^{2} (3 x^{2} + 1) d x = [x^{3} + x]_{0}^{2} = (2^{3} + 2) - (0^{3} + 0) = 10 - 0 = 10

Die eckige Klammer $[x^{3} + x]_{0}^{2}$ ist die Kurzschrift dafür: $x^{3} + x$ bei 2 minus $x^{3} + x$ bei 0.

Genau 10. Auf diese Zahl sind die Untersummen von unten und die Obersummen von oben zugelaufen. Die Fläche ist 10 Flächeneinheiten groß: $A = 10$ FE.

Merken: Das bestimmte Integral ist die Fläche, auf die immer schmalere Rechtecke zulaufen. Ausgerechnet wird es mit einer Stammfunktion: oben einsetzen minus unten einsetzen.

Bestimmte Integrale berechnen

Warum oben minus unten? Die Stammfunktion $F (x) = x^{3} + x$ misst die Fläche unter $3 x^{2} + 1$ von 0 bis zu einer Stelle x. Bei $x = 2$ ist das $F (2) = 10$ , bei $x = 1$ ist es $F (1) = 1^{3} + 1 = 2$ .

Die Fläche von 1 bis 2 ist die große Fläche bis 2 minus die kleine Fläche bis 1:

\int_{1}^{2} (3 x^{2} + 1) d x = [x^{3} + x]_{1}^{2} = F (2) - F (1) = 10 - 2 = 8

Und das c? Jede Stammfunktion von $3 x^{2} + 1$ hat die Form $x^{3} + x + c$ . Mit c gerechnet:

(10 + c) - (2 + c) = 10 + c - 2 - c = 8

Das c steht einmal mit Plus und einmal mit Minus da. Es fällt immer weg. Darum rechnet man beim bestimmten Integral ohne c.

	Beispiel	Ergebnis	$+ c$
mit Grenzen: bestimmtes Integral	$\int_{1}^{2} (3 x^{2} + 1) d x = 8$	eine Zahl	fällt weg
ohne Grenzen: unbestimmtes Integral	$\int (3 x^{2} + 1) d x = x^{3} + x + c$	eine Funktion	gehört dazu

Die Rechnung gilt allgemein. Sie heißt Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, weil sie Fläche und Stammfunktion verbindet:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Hauptsatz: Integral von a bis b gleich F(b) minus F(a)

Merken: Stammfunktion ohne c bilden, obere Grenze einsetzen, untere Grenze einsetzen, abziehen.

Schema: dieselben vier Schritte für jedes bestimmte Integral.

1. Stammfunktion F des Integranden bilden, ohne c. 2. Obere Grenze einsetzen: $F (b)$ . 3. Untere Grenze einsetzen: $F (a)$ . 4. Abziehen: $\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ .

Weitere Beispiele:

a) $\int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$ $F (x) = x^{4}$ $F (2) = 2^{4} = 16$ $F (1) = 1^{4} = 1$ $\int_{1}^{2} 4 x^{3} d x = [x^{4}]_{1}^{2} = 16 - 1 = 15$

b) $\int_{0}^{3} (x^{2} + 1) d x$ $F (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x$ $F (3) = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 3 = 9 + 3 = 12$ $F (0) = \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0 = 0$ $\int_{0}^{3} (x^{2} + 1) d x = [\frac{1}{3} x^{3} + x]_{0}^{3} = 12 - 0 = 12$

c) $\int_{- 1}^{2} (x^{2} + 1) d x$ $F (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x$ $F (2) = \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3}$ $F (- 1) = \frac{1}{3} \cdot (- 1)^{3} + (- 1) = - \frac{1}{3} - 1 = - \frac{4}{3}$ $\int_{- 1}^{2} (x^{2} + 1) d x = [\frac{1}{3} x^{3} + x]_{- 1}^{2} = \frac{14}{3} - (- \frac{4}{3}) = \frac{18}{3} = 6$

d) $\int_{1}^{4} x d x$ $F (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ $F (4) = \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \cdot (4)^{3} = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$ $F (1) = \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$ $\int_{1}^{4} x d x = [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} \approx 4, 67$

e) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$ $F (x) = ln ∣ x ∣$ $F (e) = ln e = 1$ $F (1) = ln 1 = 0$ $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x = [ln ∣ x ∣]_{1}^{e} = 1 - 0 = 1$

f) $\int_{0}^{π} sin x d x$ $F (x) = - cos x$ $F (π) = - cos π = - (- 1) = 1$ $F (0) = - cos 0 = - 1$ $\int_{0}^{π} sin x d x = [- cos x]_{0}^{π} = 1 - (- 1) = 2$

g) $\int_{0}^{1} e^{2 x} d x$ $F (x) = \frac{1}{2} e^{2 x}$ $F (1) = \frac{1}{2} e^{2} \approx \frac{1}{2} \cdot 7, 389 \approx 3, 69$ $F (0) = \frac{1}{2} e^{0} = \frac{1}{2}$ $\int_{0}^{1} e^{2 x} d x = [\frac{1}{2} e^{2 x}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{2} \approx 3, 19$

Jetzt ihr

\int_{2}^{3} 2 x d x

Lösung

F (x) = x^{2}

F (3) = 9

F (2) = 4

, also

[x^{2}]_{2}^{3} = 9 - 4 = 5

Jetzt ihr

\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos x d x

Lösung

F (x) = sin x

F (\frac{π}{2}) = 1

F (0) = 0

, also

[sin x]_{0}^{\frac{π}{2}} = 1 - 0 = 1

Übungen: Berechnet.

a) $\int_{0}^{2} (x^{3} + 1) d x$

b) $\int_{1}^{3} (6 x^{2} - 2 x) d x$

c) $\int_{- 2}^{1} 3 x^{2} d x$

d) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x ^{2}} d x$

e) $\int_{0}^{π} cos (\frac{1}{2} x) d x$

f) $\int_{0}^{1} (e^{x} + 2 x) d x$

Lösungen:

a) $\int_{0}^{2} (x^{3} + 1) d x$ $F (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x$ $F (2) = \frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 2 = 4 + 2 = 6$ $F (0) = \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 0 = 0$ $\int_{0}^{2} (x^{3} + 1) d x = [\frac{1}{4} x^{4} + x]_{0}^{2} = 6 - 0 = 6$

b) $\int_{1}^{3} (6 x^{2} - 2 x) d x$ $F (x) = 2 x^{3} - x^{2}$ $F (3) = 2 \cdot 3^{3} - 3^{2} = 54 - 9 = 45$ $F (1) = 2 \cdot 1^{3} - 1^{2} = 2 - 1 = 1$ $\int_{1}^{3} (6 x^{2} - 2 x) d x = [2 x^{3} - x^{2}]_{1}^{3} = 45 - 1 = 44$

c) $\int_{- 2}^{1} 3 x^{2} d x$ $F (x) = x^{3}$ $F (1) = 1^{3} = 1$ $F (- 2) = (- 2)^{3} = - 8$ $\int_{- 2}^{1} 3 x^{2} d x = [x^{3}]_{- 2}^{1} = 1 - (- 8) = 9$

d) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x ^{2}} d x = \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$ $F (x) = \frac{x ^{- 1}}{- 1} = - \frac{1}{x}$ $F (2) = - \frac{1}{2}$ $F (1) = - \frac{1}{1} = - 1$ $\int_{1}^{2} x^{- 2} d x = [- \frac{1}{x}]_{1}^{2} = - \frac{1}{2} - (- 1) = \frac{1}{2}$

e) $\int_{0}^{π} cos (\frac{1}{2} x) d x$ $F (x) = \frac{1}{\frac{1}{2}} sin (\frac{1}{2} x) = 2 sin (\frac{1}{2} x)$ $F (π) = 2 sin \frac{π}{2} = 2 \cdot 1 = 2$ $F (0) = 2 sin 0 = 0$ $\int_{0}^{π} cos (\frac{1}{2} x) d x = [2 sin (\frac{1}{2} x)]_{0}^{π} = 2 - 0 = 2$

f) $\int_{0}^{1} (e^{x} + 2 x) d x$ $F (x) = e^{x} + x^{2}$ $F (1) = e^{1} + 1^{2} = e + 1$ $F (0) = e^{0} + 0^{2} = 1$ $\int_{0}^{1} (e^{x} + 2 x) d x = [e^{x} + x^{2}]_{0}^{1} = e + 1 - 1 = e \approx 2, 72$

Unter- und Obersumme berechnen

Die Fläche liegt zwischen Untersumme und Obersumme: Die Untersumme ist zu klein, die Obersumme zu groß.

Untersumme 7,25 und Obersumme 13,25 um die Fläche 10

U_{4} = 7, 25 < 10 < 13, 25 = O_{4}

Schema: Unter- und Obersumme mit n Rechtecken.

1. Streifenbreite berechnen: $Δ x = \frac{b - a}{n}$ . 2. Streifenränder aufschreiben: $a$ , $a + Δ x$ , $a + 2Δ x$ , bis $b$ . 3. Funktionswerte an allen Rändern berechnen. 4. Untersumme $U_{n}$ : in jedem Streifen die kleinere Randhöhe mal $Δ x$ , alles addieren. 5. Obersumme $O_{n}$ : in jedem Streifen die größere Randhöhe mal $Δ x$ , alles addieren.

Steigt der Graph, liegt die kleinere Höhe links. Fällt der Graph, liegt sie rechts.

Weitere Beispiele:

a) $f (x) = x^{2} + 1$ über $[0; 2]$ , $n = 4$ . Der Graph steigt.

$Δ x = \frac{2 - 0}{4} = 0, 5$

$x$	0	0,5	1	1,5	2
$f (x)$	1	1,25	2	3,25	5

$U_{4} = 1 \cdot 0, 5 + 1, 25 \cdot 0, 5 + 2 \cdot 0, 5 + 3, 25 \cdot 0, 5 = 3, 75$

$O_{4} = 1, 25 \cdot 0, 5 + 2 \cdot 0, 5 + 3, 25 \cdot 0, 5 + 5 \cdot 0, 5 = 5, 75$

Probe mit dem Integral: $F (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x$ , $F (2) = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3}$ , $F (0) = 0$ , also $\int_{0}^{2} (x^{2} + 1) d x = \frac{14}{3} - 0 \approx 4, 67$ , und $3, 75 < 4, 67 < 5, 75$

b) $f (x) = 4 - x^{2}$ über $[0; 2]$ , $n = 4$ . Der Graph fällt.

$Δ x = \frac{2 - 0}{4} = 0, 5$

$x$	0	0,5	1	1,5	2
$f (x)$	4	3,75	3	1,75	0

Unter- und Obersumme für f(x) = 4 − x² über (0; 2)

$U_{4} = 3, 75 \cdot 0, 5 + 3 \cdot 0, 5 + 1, 75 \cdot 0, 5 + 0 \cdot 0, 5 = 4, 25$

$O_{4} = 4 \cdot 0, 5 + 3, 75 \cdot 0, 5 + 3 \cdot 0, 5 + 1, 75 \cdot 0, 5 = 6, 25$

Probe mit dem Integral: $F (x) = 4 x - \frac{1}{3} x^{3}$ , $F (2) = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$ , $F (0) = 0$ , also $\int_{0}^{2} (4 - x^{2}) d x = \frac{16}{3} - 0 \approx 5, 33$ , und $4, 25 < 5, 33 < 6, 25$

c) $f (x) = x^{3}$ über $[1; 3]$ , $n = 4$ . Der Graph steigt.

$Δ x = \frac{3 - 1}{4} = 0, 5$

$x$	1	1,5	2	2,5	3
$f (x)$	1	3,375	8	15,625	27

$U_{4} = 1 \cdot 0, 5 + 3, 375 \cdot 0, 5 + 8 \cdot 0, 5 + 15, 625 \cdot 0, 5 = 14$

$O_{4} = 3, 375 \cdot 0, 5 + 8 \cdot 0, 5 + 15, 625 \cdot 0, 5 + 27 \cdot 0, 5 = 27$

Probe mit dem Integral: $F (x) = \frac{1}{4} x^{4}$ , $F (3) = \frac{81}{4}$ , $F (1) = \frac{1}{4}$ , also $\int_{1}^{3} x^{3} d x = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = 20$ , und $14 < 20 < 27$

Übungen: Berechnet $U_{4}$ und $O_{4}$ und prüft mit dem Integral.

a) $f (x) = 2 x^{2}$ über $[0; 2]$

b) $f (x) = 8 - x^{3}$ über $[0; 2]$

c) $f (x) = x + 2$ über $[0; 2]$

Lösungen:

a) $Δ x = \frac{2 - 0}{4} = 0, 5$ . Der Graph steigt.

$x$	0	0,5	1	1,5	2
$f (x)$	0	0,5	2	4,5	8

$U_{4} = 0 \cdot 0, 5 + 0, 5 \cdot 0, 5 + 2 \cdot 0, 5 + 4, 5 \cdot 0, 5 = 3, 5$

$O_{4} = 0, 5 \cdot 0, 5 + 2 \cdot 0, 5 + 4, 5 \cdot 0, 5 + 8 \cdot 0, 5 = 7, 5$

Probe: $F (x) = \frac{2}{3} x^{3}$ , $F (2) = \frac{16}{3}$ , $F (0) = 0$ , also $\int_{0}^{2} 2 x^{2} d x = \frac{16}{3} - 0 \approx 5, 33$ , und $3, 5 < 5, 33 < 7, 5$

b) $Δ x = \frac{2 - 0}{4} = 0, 5$ . Der Graph fällt.

$x$	0	0,5	1	1,5	2
$f (x)$	8	7,875	7	4,625	0

$U_{4} = 7, 875 \cdot 0, 5 + 7 \cdot 0, 5 + 4, 625 \cdot 0, 5 + 0 \cdot 0, 5 = 9, 75$

$O_{4} = 8 \cdot 0, 5 + 7, 875 \cdot 0, 5 + 7 \cdot 0, 5 + 4, 625 \cdot 0, 5 = 13, 75$

Probe: $F (x) = 8 x - \frac{1}{4} x^{4}$ , $F (2) = 16 - 4 = 12$ , $F (0) = 0$ , also $\int_{0}^{2} (8 - x^{3}) d x = 12 - 0 = 12$ , und $9, 75 < 12 < 13, 75$

c) $Δ x = \frac{2 - 0}{4} = 0, 5$ . Der Graph steigt.

$x$	0	0,5	1	1,5	2
$f (x)$	2	2,5	3	3,5	4

$U_{4} = 2 \cdot 0, 5 + 2, 5 \cdot 0, 5 + 3 \cdot 0, 5 + 3, 5 \cdot 0, 5 = 5, 5$

$O_{4} = 2, 5 \cdot 0, 5 + 3 \cdot 0, 5 + 3, 5 \cdot 0, 5 + 4 \cdot 0, 5 = 6, 5$

Probe: $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ , $F (2) = 2 + 4 = 6$ , $F (0) = 0$ , also $\int_{0}^{2} (x + 2) d x = 6 - 0 = 6$ , und $5, 5 < 6 < 6, 5$

Fläche unter der x-Achse

Was liefert das Integral, wenn der Graph unter der x-Achse liegt? Rechnet mit $f (x) = x - 2$ von 0 bis 2:

$F (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ $F (2) = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 = 2 - 4 = - 2$ $F (0) = \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 = 0$ $\int_{0}^{2} (x - 2) d x = [\frac{1}{2} x^{2} - 2 x]_{0}^{2} = - 2 - 0 = - 2$

Dreieck unter der x-Achse zwischen x − 2 und der Achse

Minus 2. Das Dreieck hat aber die Fläche $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ .

Das Minus kommt aus den Rechtecken. Unter der x-Achse ist jeder Funktionswert negativ, also auch jedes Rechteck:

f (0, 5) \cdot Δ x = - 1, 5 \cdot 0, 5 = - 0, 75

Rechtecke mit negativer Höhe unter der x-Achse

Negative Höhe mal positive Breite ergibt ein negatives Rechteck. Die Summe ist negativ, ihr Grenzwert auch. Das Integral zählt Fläche unter der x-Achse mit Minus.

Liegt ein Teil oben und ein Teil unten, verrechnet das Integral beide. Zum Beispiel $f (x) = x - 1$ von 0 bis 3:

$F (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x$ $F (3) = \frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 3 = 4, 5 - 3 = 1, 5$ $F (0) = \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 = 0$ $\int_{0}^{3} (x - 1) d x = [\frac{1}{2} x^{2} - x]_{0}^{3} = 1, 5 - 0 = 1, 5$

Das kleine Dreieck unten hat die Fläche $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0, 5$ , das große oben $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ . Das Integral rechnet $2 - 0, 5 = 1, 5$ . Es ist eine Bilanz, also Plus und Minus zusammengerechnet. Diese Zählweise mit Vorzeichen heißt orientierter Flächeninhalt.

Merken: Das Integral zählt Fläche über der x-Achse mit Plus und Fläche unter der x-Achse mit Minus.

Ein Flächeninhalt ist nie negativ. Liegt der Graph im ganzen Intervall unter der x-Achse, ist der Flächeninhalt der Betrag des Integrals:

Lage des Graphen im Intervall	Integral	Flächeninhalt A
ganz über der x-Achse	$\int_{0}^{2} (3 x^{2} + 1) d x = 10$	$A = 10$ FE
ganz unter der x-Achse	$\int_{0}^{2} (x - 2) d x = - 2$	$A = ∣ - 2 ∣ = 2$ FE

Ob der Graph ganz unter der x-Achse liegt, zeigen die Nullstellen: Zwischen zwei benachbarten Nullstellen behält der Graph sein Vorzeichen. Ein Funktionswert dazwischen verrät es.

Weitere Beispiele:

a) $\int_{0}^{3} (x^{2} - 4 x) d x$ Lage: $x^{2} - 4 x = x (x - 4) = 0$ bei $x = 0$ und $x = 4$ ; $f (1) = 1 - 4 = - 3$ . Von 0 bis 3 liegt der Graph ganz unter der x-Achse. $F (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$ $F (3) = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 \cdot 3^{2} = 9 - 18 = - 9$ $F (0) = 0$ $\int_{0}^{3} (x^{2} - 4 x) d x = - 9 - 0 = - 9$ , also $A = ∣ - 9 ∣ = 9$ FE.

b) $\int_{π}^{2 π} sin x d x$ Lage: Von π bis 2π liegt der Sinusbogen unter der x-Achse. $F (x) = - cos x$ $F (2 π) = - cos 2 π = - 1$ $F (π) = - cos π = 1$ $\int_{π}^{2 π} sin x d x = - 1 - 1 = - 2$ , also $A = 2$ FE.

c) $\int_{- 2}^{0} (x^{2} - 4) d x$ Lage: $x^{2} - 4 = 0$ bei $x = - 2$ und $x = 2$ ; $f (- 1) = 1 - 4 = - 3$ . Von −2 bis 0 liegt der Graph ganz unter der x-Achse. $F (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ $F (0) = 0$ $F (- 2) = \frac{1}{3} \cdot (- 2)^{3} - 4 \cdot (- 2) = - \frac{8}{3} + 8 = \frac{16}{3}$ $\int_{- 2}^{0} (x^{2} - 4) d x = 0 - \frac{16}{3} = - \frac{16}{3} \approx - 5, 33$ , also $A = \frac{16}{3}$ FE $\approx 5, 33$ FE.

d) $\int_{- 1}^{1} x^{3} d x$ Lage: Nullstelle bei $x = 0$ ; von −1 bis 0 liegt der Graph unten, von 0 bis 1 oben. $F (x) = \frac{1}{4} x^{4}$ $F (1) = \frac{1}{4}$ $F (- 1) = \frac{1}{4} \cdot (- 1)^{4} = \frac{1}{4}$ $\int_{- 1}^{1} x^{3} d x = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$ . Bilanz: Das Stück oben und das Stück unten sind gleich groß.

e) $\int_{0}^{2 π} sin x d x$ Lage: Von 0 bis π liegt der Sinusbogen oben, von π bis 2π unten. $F (x) = - cos x$ $F (2 π) = - cos 2 π = - 1$ $F (0) = - cos 0 = - 1$ $\int_{0}^{2 π} sin x d x = - 1 - (- 1) = 0$ . Bilanz: oben $\int_{0}^{π} sin x d x = 1 - (- 1) = 2$ , unten $- 2$ aus b), zusammen 0.

Sinusbogen von 0 bis 2π: oben +2 blau, unten −2 rot

Jetzt ihr

\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) d x

Lösung

Nullstellen −1 und 1,

f (0, 5) = - 0, 75

, also unter der x-Achse;

F (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x

F (1) = - \frac{2}{3}

F (0) = 0

, Integral

- \frac{2}{3}

A = \frac{2}{3}

Übungen: Berechnet das Integral. Prüft mit den Nullstellen, ob der Graph im Intervall ganz unter der x-Achse liegt; dann gebt auch den Flächeninhalt A an.

a) $\int_{0}^{2} (- 3 x^{2}) d x$

b) $\int_{1}^{3} (x - 3) d x$

c) $\int_{- 2}^{2} x d x$

d) $\int_{0}^{2 π} cos x d x$

e) $\int_{0}^{4} (x - 1) d x$

Lösungen:

a) $\int_{0}^{2} (- 3 x^{2}) d x$ Lage: Nullstelle bei $x = 0$ ; $f (1) = - 3$ . Von 0 bis 2 liegt der Graph ganz unter der x-Achse. $F (x) = - x^{3}$ $F (2) = - 2^{3} = - 8$ $F (0) = - 0^{3} = 0$ $\int_{0}^{2} (- 3 x^{2}) d x = - 8 - 0 = - 8$ , also $A = 8$ FE.

b) $\int_{1}^{3} (x - 3) d x$ Lage: Nullstelle bei $x = 3$ ; $f (2) = - 1$ . Von 1 bis 3 liegt der Graph ganz unter der x-Achse. $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ $F (3) = \frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3 = 4, 5 - 9 = - 4, 5$ $F (1) = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 = 0, 5 - 3 = - 2, 5$ $\int_{1}^{3} (x - 3) d x = - 4, 5 - (- 2, 5) = - 2$ , also $A = 2$ FE.

c) $\int_{- 2}^{2} x d x$ Lage: Nullstelle bei $x = 0$ ; von −2 bis 0 unten, von 0 bis 2 oben. $F (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ $F (2) = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} = 2$ $F (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (- 2)^{2} = 2$ $\int_{- 2}^{2} x d x = 2 - 2 = 0$ . Bilanz: Das Dreieck unten zählt minus 2, das Dreieck oben plus 2.

d) $\int_{0}^{2 π} cos x d x$ Lage: Nullstellen bei $\frac{π}{2}$ und $\frac{3 π}{2}$ ; der Graph liegt teils oben, teils unten. $F (x) = sin x$ $F (2 π) = sin 2 π = 0$ $F (0) = sin 0 = 0$ $\int_{0}^{2 π} cos x d x = 0 - 0 = 0$ . Bilanz: Die Stücke oben und unten heben sich auf.

e) $\int_{0}^{4} (x - 1) d x$ Lage: Nullstelle bei $x = 1$ ; von 0 bis 1 unten, von 1 bis 4 oben. $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x$ $F (4) = \frac{1}{2} \cdot 4^{2} - 4 = 8 - 4 = 4$ $F (0) = \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 = 0$ $\int_{0}^{4} (x - 1) d x = 4 - 0 = 4$ . Bilanz: unten minus 0,5, oben plus 4,5.

Eigenschaften des bestimmten Integrals

Manche Integrale kann man am Bild ablesen, ohne zu rechnen. Alle Bilder hier zeigen dieselbe bekannte Fläche:

Fläche unter 3x² + 1 von 0 bis 2 mit 10 FE

\int_{0}^{2} (3 x^{2} + 1) d x = [x^{3} + x]_{0}^{2} = 10 - 0 = 10

Gleiche Grenzen

\int_{1}^{1} (3 x^{2} + 1) d x = [x^{3} + x]_{1}^{1} = 2 - 2 = 0

Allgemein: $\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ . Keine Breite, keine Fläche.

Vertauschte Grenzen

Von 2 nach 0 mit vier Rechtecken: $Δ x = \frac{obere Grenze - untere Grenze}{n} = \frac{0 - 2}{4} = - 0, 5$ . Jede Breite ist negativ, also auch jedes Rechteck $f (x) \cdot Δ x$ .

\int_{2}^{0} (3 x^{2} + 1) d x = [x^{3} + x]_{2}^{0} = 0 - 10 = - 10

Allgemein: $\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Intervall aufteilen

Fläche von 0 bis 2 bei x = 1 geteilt: links 2, rechts 8

\int_{0}^{1} (3 x^{2} + 1) d x + \int_{1}^{2} (3 x^{2} + 1) d x = 2 + 8 = 10 = \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 1) d x

Allgemein, mit einer Zwischenstelle z: $\int_{a}^{z} f (x) d x + \int_{z}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Faktorregel

\int_{0}^{2} 2 \cdot (3 x^{2} + 1) d x = [2 x^{3} + 2 x]_{0}^{2} = 20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 1) d x

Allgemein: $\int_{a}^{b} k \cdot f (x) d x = k \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x$ . Doppelt so hohe Rechtecke, doppelte Fläche.

Summenregel

\int_{0}^{2} (3 x^{2} + 1) d x = \int_{0}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 1 d x = [x^{3}]_{0}^{2} + [x]_{0}^{2} = 8 + 2 = 10

Allgemein: $\int_{a}^{b} (f (x) + g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ . Übereinandergestapelte Höhen, addierte Flächen.

Übungen: Es gilt $\int_{0}^{3} f (x) d x = 4$ und $\int_{3}^{5} f (x) d x = - 1$ . Berechnet:

a) $\int_{0}^{5} f (x) d x$

b) $\int_{3}^{0} f (x) d x$

c) $\int_{0}^{3} 2 \cdot f (x) d x$

d) $\int_{5}^{5} f (x) d x$

e) $\int_{5}^{3} f (x) d x$

f) $\int_{0}^{3} (f (x) + 1) d x$

Lösungen:

a) Intervall aufteilen: $\int_{0}^{5} f (x) d x = \int_{0}^{3} f (x) d x + \int_{3}^{5} f (x) d x = 4 + (- 1) = 3$

b) Vertauschte Grenzen: $\int_{3}^{0} f (x) d x = - \int_{0}^{3} f (x) d x = - 4$

c) Faktorregel: $\int_{0}^{3} 2 \cdot f (x) d x = 2 \cdot \int_{0}^{3} f (x) d x = 2 \cdot 4 = 8$

d) Gleiche Grenzen: $\int_{5}^{5} f (x) d x = 0$

e) Vertauschte Grenzen: $\int_{5}^{3} f (x) d x = - \int_{3}^{5} f (x) d x = - (- 1) = 1$

f) Summenregel: $\int_{0}^{3} (f (x) + 1) d x = \int_{0}^{3} f (x) d x + \int_{0}^{3} 1 d x = 4 + [x]_{0}^{3} = 4 + 3 = 7$

Herleitung: Warum die Stammfunktion die Fläche liefert

Die Fläche unter f von a bis zu einer Stelle x hängt von x ab. Sie ist selbst eine Funktion, die Flächenfunktion $A (x)$ .

Schiebt den rechten Rand um ein kleines Stück h weiter. Dann kommt ein schmaler Streifen dazu:

A (x + h) - A (x) \approx f (x) \cdot h

Teilt durch h:

\frac{A ( x + h ) - A ( x )}{h} \approx f (x)

Links steht Zuwachs durch Breite, wie $Δ y$ durch $Δ x$ bei einer Steigung. Für $h \to 0$ wird daraus die Ableitung $A^{'} (x)$ . Das fehlende Stück oben ist höchstens so groß wie ein Rechteck mit der Breite h und der Höhe $f (x + h) - f (x)$ . Geteilt durch h bleibt davon höchstens $f (x + h) - f (x)$ , und das geht für $h \to 0$ gegen 0. Also:

A^{'} (x) = f (x)

Die Flächenfunktion ist eine Stammfunktion von f.

Jede Stammfunktion F von f unterscheidet sich von A nur um eine Zahl:

A (x) = F (x) + c

Bei $x = a$ hat die Fläche noch keine Breite: $A (a) = 0$ . Also ist $F (a) + c = 0$ und $c = - F (a)$ :

A (x) = F (x) - F (a)

Die Fläche von a bis b:

\int_{a}^{b} f (x) d x = A (b) = F (b) - F (a)

Das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Für $f (x) = 3 x^{2} + 1$ ab $a = 0$ mit $F (x) = x^{3} + x$ : $A (x) = (x^{3} + x) - (0^{3} + 0) = x^{3} + x$ . Die Fläche von 0 bis x ist $x^{3} + x$ , bei $x = 2$ also 10.