m3 3.1 Nachfragefunktion, Preisfunktion und Marktgleichgewicht

Auf dem Wochenmarkt verkaufen Bauern Erdbeeren in Schalen. Die Kaeufer wollen mehr davon, je billiger die Schale ist. Die Verkaeufer bringen mehr davon, je teurer die Schale ist. Zwei Regeln laufen in zwei Richtungen. Gibt es einen Preis, bei dem beide dasselbe meinen?

x ist die Zahl der Schalen, die an einem Markttag ueber den Tisch gehen.

pN(x) ist der Preis, den die Kaeufer fuer eine Schale noch zahlen, wenn x Schalen auf dem Markt liegen.

pN (x) = 60 - 0, 5 x

$x$	$pN (x)$
$0$	$60$
$20$	$50$
$40$	$40$
$60$	$30$
$80$	$20$
$100$	$10$

Lest die Tafel von oben nach unten: pN(x) faellt, wenn x waechst. In der ersten Zeile steht 60. Mehr als 60 Euro gibt kein Kaeufer fuer eine Schale. Ueber 120 Schalen hinaus kauft niemand mehr.

Der Preisschritt

Der Preisschritt sagt, wie viel der Preis nachgibt, wenn zwanzig Schalen mehr auf dem Markt liegen. Dafuer zieht ihr zwei Zeilen der Tafel voneinander ab, die obere von der unteren.

a) $pN (20) - pN (0) = 50 - 60 = - 10$
b) $pN (40) - pN (20) = 40 - 50 = - 10$
c) $pN (60) - pN (40) = 30 - 40 = - 10$
d) $pN (80) - pN (60) = 20 - 30 = - 10$
e) $pN (100) - pN (80) = 10 - 20 = - 10$

Rechnet nach: jeder Preisschritt kommt auf denselben Wert.

pN'(x) ist die Ableitung von pN(x). pN'(x) sagt, wie viel der Preis je einzelne Schale nachgibt.

$x$	$p N^{'} (x)$
$0$	$- 0, 5$
$20$	$- 0, 5$
$40$	$- 0, 5$
$60$	$- 0, 5$
$80$	$- 0, 5$
$100$	$- 0, 5$

pN'(x) ist die Steigung der Geraden pN(x), das m in y = mx + b. Das Minus steht da, weil der Preis mit der Menge x faellt. In jeder Zeile steht derselbe Wert:

p N^{'} (x) = - 0, 5

pN'(x) aendert sich nicht, egal wie gross x ist.

Jeder Preisschritt von pN(x) steht hier untereinander.

Schritt	Preisschritt
$0 \to 20$	$- 10$
$20 \to 40$	$- 10$
$40 \to 60$	$- 10$
$60 \to 80$	$- 10$
$80 \to 100$	$- 10$

a) $pN (20) - pN (0) = 50 - 60 = - 10$
b) $pN (40) - pN (20) = 40 - 50 = - 10$

Bevor ihr weiterlest: Wie gross ist der naechste Preisschritt? (Lösung: Derselbe Betrag wie zuvor. Der Preisschritt einer Geraden aendert sich nicht.)

c) $pN (60) - pN (40) = 30 - 40 = - 10$
d) $pN (80) - pN (60) = 20 - 30 = - 10$
e) $pN (100) - pN (80) = 10 - 20 = - 10$

Solange pN(x) eine Gerade ist, bleibt der Preisschritt gleich. Krumme Nachfragekurven kommen im naechsten Kapitel.

Merken: Bei einer Nachfragegeraden ist jeder Preisschritt gleich gross.

	Die Schrittweite
Preisschritt	20 Schalen mehr
$p N^{'} (x)$	ein Schale

Derselbe Fall, andere Schrittweite: pN'(x) rechnet den Preisschritt auf eine Schale herunter.

Der Angebotspreis

pA(x) ist der Preis, ab dem die Verkaeufer x Schalen hergeben.

p A (x) = 0, 3 x + 12

Das Plus vor x bedeutet: mehr Schalen kommen nur zu hoeherem Preis auf den Markt.

Das Marktgleichgewicht

Im Gleichgewicht passt ein Preis zu beiden Seiten. Beide nennen dieselbe Zahl: pN(x) = pA(x).

Gesucht ist die Menge x, bei der pN(x) und pA(x) denselben Wert haben.

Herleitung:

Im Gleichgewicht zahlen Kaeufer genau das, was Verkaeufer verlangen:

pN (x) = p A (x)

Beide Preise haengen von derselben Menge x ab. Jetzt die Terme einsetzen:

60 - 0, 5 x = 0, 3 x + 12

Sortiert x nach links und die Zahlen nach rechts, dann teilt.

0, 8 x = 48

x = 48 : 0, 8 = 60

Jetzt die Menge 60 in pN(x) einsetzen:

pN (60) = 30

60 Schalen wechseln den Besitzer, zu 30 Euro je Schale. Nichts bleibt liegen.

Merken: Wo Nachfrage und Angebot sich schneiden, ist der Markt im Gleichgewicht: pN(x) = pA(x).

pN (x) = 60 - 0, 5 x

p A (x) = 0, 3 x + 12

Links vom Gleichgewicht liegt pN(x) ueber pA(x), die Ware wird knapp. Rechts davon bleibt sie liegen.

Schema

a)Nachfragepreis und Angebotspreis gleichsetzen
b)Die Terme einsetzen
c)Die Gleichung nach x aufloesen
d)x in pN(x) einsetzen

Weitere Beispiele:

pN (x) = 80 - x, p A (x) = 0, 5 x + 20

80 - x = 0, 5 x + 20

1, 5 x = 60

x = 60 : 1, 5 = 40

pN (40) = 40

Ergebnis: $x = 40, pN (40) = 40$

pN (x) = 66 - 0, 6 x, p A (x) = 0, 3 x + 12

66 - 0, 6 x = 0, 3 x + 12

0, 9 x = 54

x = 54 : 0, 9 = 60

pN (60) = 30

Ergebnis: $x = 60, pN (60) = 30$

pN (x) = 40 - 0, 25 x, p A (x) = 0, 25 x + 10

40 - 0, 25 x = 0, 25 x + 10

0, 5 x = 30

x = 30 : 0, 5 = 60

pN (60) = 25

Ergebnis: $x = 60, pN (60) = 25$

Rechnet nach: Rechnet pA(x) bei x = 60 aus. Was faellt auf?

Lösung: pA(x) gibt 30 Euro, genau wie pN(x). Beide Funktionen treffen sich dort.

Aus dem Gedächtnis: Was war der Hoechstpreis, und wo in der Tafel steht er?

Lösung: 60 Euro, in der ersten Zeile bei x = 0.

Ein haeufiger Fehler: das Gleichgewicht liege in der Mitte zwischen Hoechstpreis und null. Das stimmt nicht.

Warum der Schnittpunkt:

Liegt der Preis ueber dem Gleichgewicht, bleibt Ware liegen. Liegt er darunter, wird die Ware knapp. Von beiden Seiten rutscht der Markt in den Schnittpunkt.

Jetzt ihr:

a) $pN (x) = 50 - 0, 4 x, p A (x) = 0, 2 x + 20$ Wo liegt das Marktgleichgewicht?

Lösung: $50 - 0, 4 x = 0, 2 x + 20$ , $0, 6 x = 30$ , $x = 30 : 0, 6 = 50$ , $pN (50) = 30$ .

b) $pN (x) = 100 - 2 x, p A (x) = x + 10$ Bei welcher Menge und welchem Preis ist der Markt leer?

Lösung: $100 - 2 x = x + 10$ , $3 x = 90$ , $x = 90 : 3 = 30$ , $pN (30) = 40$ .