[m3 IR 7 22:58] Kosten + Erlös

Ihr erntet auf einem kleinen Hof Äpfel und verkauft sie im Hofladen.

Ihr verkauft doppelt so viele Kisten wie bisher.

Dann liegt doppelt so viel Geld in der Kasse, sagt das Gefühl.

Die Tafel zeigt weniger. Woran liegt das?

x ist die Zahl der Kisten.

Diese Zahl legt ihr selbst fest.

p(x) ist der Preis je Kiste.

Dieser Preis hängt von x ab.

$x$	$p (x)$
$0$	$40$
$10$	$36$
$20$	$32$
$30$	$28$
$40$	$24$
$50$	$20$

p (x) = 40 - 0, 4 x

Mehr Kisten drücken den Preis.

E(x) sagt, wie viel Geld in einer Saison hereinkommt.

Das ist die Erlösfunktion.

$x$	$E (x)$
$0$	$0$
$10$	$360$
$20$	$640$
$30$	$840$
$40$	$960$
$50$	$1000$

E(x) lest ihr als Höhe der Kurve über x.

Jedes weitere Stück bringt weniger Geld als das Stück davor.

Die Pfeile über gleich großen Schritten werden immer kürzer.

Merken: Der Preis fällt mit der Menge, darum wächst E(x) langsamer als x.

Herleitung:

Der Preis hängt von der Menge ab.

E (x) = p (x) \cdot x

Ihr verkauft die ganze Menge zu diesem Preis.

E (x) = (40 - 0, 4 x) \cdot x

So steht E(x) als Term in x.

E (x) = - 0, 4 x^{2} + 40 x

E(x) ist Preis mal Menge.

Weil der Preis selbst fällt, wächst E(x) immer langsamer.

Merken: Der Erlös ist Preis mal Menge, und der Preis hängt selbst von der Menge ab.

Schema

a)p(x) hinschreiben
b)Preis mal Menge rechnen
c)Die Klammer auflösen

Weitere Beispiele:

p (x) = 18 - 0, 16 x

E (x) = (18 - 0, 16 x) \cdot x

E (x) = - 0, 16 x^{2} + 18 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 16 x^{2} + 18 x$

p (x) = 25 - 0, 4 x

E (x) = (25 - 0, 4 x) \cdot x

E (x) = - 0, 4 x^{2} + 25 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 4 x^{2} + 25 x$

p (x) = 16 - 0, 1 x

E (x) = (16 - 0, 1 x) \cdot x

E (x) = - 0, 1 x^{2} + 16 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 1 x^{2} + 16 x$

Kostenfunktion

K(x) sagt, was in einer Saison hinausgeht.

Das ist die Kostenfunktion.

$x$	$K (x)$
$0$	$100$
$10$	$370$
$20$	$460$
$30$	$490$
$40$	$580$
$50$	$850$

K (x) = 0, 02 x^{3} - 1, 5 x^{2} + 40 x + 100

K(x) steigt, sobald x steigt.

Die Sprünge sind aber verschieden groß.

E(x) flacht ab.

K(x) zieht am Ende steil an.

Bei null Kisten steht schon ein Betrag da.

Das sind die Fixkosten.

K f = K (0) = 100

Kf beträgt 100 Euro.

Rechnet nach: Nehmt aus der Tafel von p(x) den Preis bei der größten Menge und rechnet Preis mal Menge.

Lösung: Es kommt der letzte Wert aus der Tafel von E(x) heraus.

Kostenzuwachs

Kz sagt, was der nächste Schwung zusätzlich kostet.

Das ist der Kostenzuwachs.

Kz lest ihr als Sprung von einer Zeile der Tafel zur nächsten.

$x$	$Kz$
$0 \to 10$	$270$
$10 \to 20$	$90$
$20 \to 30$	$30$
$30 \to 40$	$90$
$40 \to 50$	$270$

Am Anfang wird jeder Schwung billiger.

Später wird jeder Schwung wieder teurer.

Der Abstand zwischen zwei Zeilen schrumpft erst und wächst dann.

a) $K (10) - K (0) = 370 - 100 = 270$
b) $K (20) - K (10) = 460 - 370 = 90$

Bevor ihr weiterlest: Die ersten Sprünge werden kleiner. Wird der nächste noch kleiner? (Lösung: Er wird noch einmal kleiner. Danach wächst er wieder.)

c) $K (30) - K (20) = 490 - 460 = 30$
d) $K (40) - K (30) = 580 - 490 = 90$
e) $K (50) - K (40) = 850 - 580 = 270$

Wächst K(x) auf einer Geraden, so bleibt jeder Sprung gleich groß.

Lineare Kostenfunktionen bekommen ein eigenes Kapitel.

Merken: Bei K(x) werden die Sprünge erst kleiner und dann größer.

Zum Ableiten zieht ihr den Exponenten nach vorn.

Danach senkt ihr ihn um eins.

Herleitung:

Die Ableitung sagt, was ein Stück mehr kostet.

K^{'} (x) = 0, 06 x^{2} - 3 x + 40

Die zweite Ableitung sagt, ob dieser Betrag fällt oder steigt.

K^{''} (x) = 0, 12 x - 3

An der Kehre fällt der Betrag weder noch steigt er.

0, 12 x - 3 = 0

Die Lösung ist die Menge mit dem kleinsten Zuwachs.

x = 25

K^{'} (25) = 0, 06 \cdot 2 5^{2} - 3 \cdot 25 + 40

= 37, 5 - 75 + 40 = 2, 5

Ergebnis: $K^{'} (25) = 2, 5$

Schema

a)K(x) ableiten
b)Noch einmal ableiten
c)Die zweite Ableitung null setzen
d)Nach x auflösen

Rechnet nach: Sucht in der Serie den kleinsten Sprung. Liegt 25 in diesem Schritt?

Lösung: Ja. Dort kehren die Kosten.

Weitere Beispiele:

K (x) = 0, 02 x^{3} - 1, 2 x^{2} + 30 x + 90

K^{''} (x) = 0, 12 x - 2, 4

0, 12 x - 2, 4 = 0

x = 20

Ergebnis: $x = 20$

K (x) = 0, 01 x^{3} - 0, 9 x^{2} + 30 x + 60

K^{''} (x) = 0, 06 x - 1, 8

0, 06 x - 1, 8 = 0

x = 30

Ergebnis: $x = 30$

K (x) = 0, 04 x^{3} - 1, 8 x^{2} + 30 x + 200

K^{''} (x) = 0, 24 x - 3, 6

0, 24 x - 3, 6 = 0

x = 15

Ergebnis: $x = 15$

Aus dem Gedächtnis: Was zahlt ihr, wenn ihr gar nichts herstellt?

Lösung: 100 Euro.

Warum die zweite Ableitung die Kehre findet:

Die erste Ableitung gibt die Steigung von K(x).

Die zweite Ableitung gibt die Änderung dieser Steigung.

Wird sie null, so kehrt der Zuwachs.

Warum der Erlös keine Gerade ist:

Bei festem Preis wäre E(x) eine Gerade.

Hier fällt der Preis mit der Menge.

Darum steht in E(x) ein Quadrat.

Jetzt ihr:

a) $K (x) = 0, 02 x^{3} - 1, 8 x^{2} + 60 x + 150$ Bei welcher Menge kehren die Kosten?

Lösung: $K^{''} (x) = 0, 12 x - 3, 6$ , $0, 12 x - 3, 6 = 0$ , $x = 30$ .

b) $p (x) = 22 - 0, 22 x$ Wie lautet die Erlösfunktion?

Lösung: $E (x) = (22 - 0, 22 x) \cdot x$ , $E (x) = - 0, 22 x^{2} + 22 x$ .

c) $K (x) = 0, 01 x^{3} - 1, 05 x^{2} + 40 x + 120$ Wo liegt die Kostenkehre?

Lösung: $K^{''} (x) = 0, 06 x - 2, 1$ , $0, 06 x - 2, 1 = 0$ , $x = 35$ .