[Diff] Gewinnfunktion, Gewinnzone und Gewinnmaximum

Die Gewinnfunktion $G (x) = E (x) - K (x)$ sagt für jede Menge $x$ , wie viel Geld nach Abzug der Kosten übrig bleibt. Ist $G (x)$ negativ, macht der Betrieb Verlust.

Zum Beispiel stellt ein Betrieb Fahrradlampen her. Er ist einer von vielen Anbietern und verkauft zum festen Marktpreis von 10 GE je ME. Seine Kosten sind $K (x) = 4 x + 30$ .

G (x) = E (x) - K (x) = 10 x - (4 x + 30) = 6 x - 30

G (2) = E (2) - K (2) = 20 - 38 = - 18 Verlust

G (8) = E (8) - K (8) = 80 - 62 = 18 Gewinn

Oben ist der Gewinn der senkrechte Abstand zwischen Erlösgerade und Kostengerade. Unten steht er als eigener Graph.

Bei 0 ME ist $G (0) = - 30$ . Ohne Produktion bleiben die 30 GE Fixkosten als Verlust.

Die Gewinnschwelle

Die Gewinnschwelle ist die Menge, bei der der Verlust in Gewinn übergeht. Dort ist $G (x) = 0$ .

Beim Lampenbetrieb bringt jede ME 10 GE ein und verursacht 4 GE variable Kosten. Von jeder ME bleiben also $10 - 4 = 6$ GE übrig. Nach 5 ME sind damit die 30 GE Fixkosten bezahlt: $5 \cdot 6 = 30$ . Als Gleichung:

G (x) = 0 \Rightarrow 6 x - 30 = 0 \Rightarrow x = 5

Ergebnis: Gewinnschwelle 5 ME.

Oben in Skizze 1 schneiden sich dort die beiden Geraden: $E (5) = K (5) = 50$ . Unten hat $G$ dort seine Nullstelle.

Die Gewinngrenze und die Gewinnzone

Die Gewinngrenze ist die Menge, bei der der Gewinn wieder in Verlust übergeht.

Zum Beispiel muss ein Monopolist, also der einzige Anbieter am Markt, den Preis senken, wenn er mehr verkaufen will. Seine Nachfragefunktion ist $p_{N} (x) = 10 - x$ , seine Kosten sind $K (x) = 2 x + 7$ .

E (x) = p_{N} (x) \cdot x = (10 - x) \cdot x = 10 x - x^{2}

G (x) = 10 x - x^{2} - (2 x + 7) = - x^{2} + 8 x - 7

Nullstellen:

- x^{2} + 8 x - 7 = 0 ∣ \cdot (- 1)

x^{2} - 8 x + 7 = 0

x_{1, 2} = 4 \pm 16 - 7 = 4 \pm 3 \Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = 7

Vorzeichen:

$x$	$0$	$1$	$2$	$7$	$8$
$G (x)$	$- 7$	$0$	$5$	$0$	$- 7$
	Verlust		Gewinn		Verlust

Bei 1 ME geht der Verlust in Gewinn über: Das ist die Gewinnschwelle. Bei 7 ME geht der Gewinn wieder in Verlust über: Das ist die Gewinngrenze. Die Mengen dazwischen bilden die Gewinnzone, also alle Mengen, bei denen der Betrieb Gewinn macht.

Ergebnis: Gewinnschwelle 1 ME, Gewinngrenze 7 ME, Gewinnzone $1 < x < 7$ .

Warum hört der Gewinn wieder auf? Für jede weitere ME senkt der Monopolist den Preis. Darum wächst der Erlös immer langsamer, ab 5 ME fällt er sogar. Die Kosten wachsen gleichmäßig weiter. Bei 7 ME sind sie wieder so hoch wie der Erlös: $E (7) = K (7) = 21$ .

Gewinnzone bei ertragsgesetzlichen Kosten

Auch bei festem Marktpreis hört der Gewinn auf, wenn die Kosten immer schneller steigen. Zum Beispiel verkauft ein Betrieb zum Marktpreis von 24 GE je ME. Seine Kosten sind ertragsgesetzlich: $K (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 30 x + 16$ .

Das Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer um:

G (x) = 24 x - (x^{3} - 9 x^{2} + 30 x + 16) = 24 x - x^{3} + 9 x^{2} - 30 x - 16 = - x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 16

Um die Nullstellen zu finden, ratet ihr zuerst eine. Kandidaten sind die Teiler von 16:

G (1) = - 1 + 9 - 6 - 16 = - 14 G (2) = - 8 + 36 - 12 - 16 = 0 ✓

Polynomdivision durch $(x - 2)$ :

(- x^{3} \underline{- (- x^{3}} + 9 x^{2} \underline{+ 2 x^{2})} 7 x^{2} \underline{- (7 x^{2}} - 6 x - 6 x \underline{- 14 x)} 8 x \underline{- (8 x} - 16) - 16 \underline{- 16)} 0 : (x - 2) = - x^{2} + 7 x + 8

Die übrigen Nullstellen mit der pq-Formel:

- x^{2} + 7 x + 8 = 0 ∣ \cdot (- 1)

x^{2} - 7 x - 8 = 0

x_{1, 2} = 3, 5 \pm 12, 25 + 8 = 3, 5 \pm 4, 5 \Rightarrow x_{1} = - 1, x_{2} = 8

Die Nullstellen sind $- 1$ , $2$ und $8$ . Negative Mengen gibt es nicht, $- 1$ fällt weg.

Vorzeichen:

$x$	$0$	$2$	$4$	$8$	$9$
$G (x)$	$- 16$	$0$	$40$	$0$	$- 70$
	Verlust		Gewinn		Verlust

Ergebnis: Gewinnschwelle 2 ME, Gewinngrenze 8 ME, Gewinnzone $2 < x < 8$ .

Die Erlösgerade steigt gleichmäßig. Hinter der Kostenkehre bei 3 ME steigen die Kosten immer schneller. Bei 8 ME sind sie wieder so hoch wie der Erlös: $E (8) = K (8) = 192$ .

Beispiele: Gewinnzone

a) Polypol, Marktpreis 10 GE je ME, $K (x) = 4 x + 30$ , höchstens 20 ME

G (x) = 10 x - (4 x + 30) = 6 x - 30

6 x - 30 = 0 \Rightarrow x = 5

Vorzeichen: G (0) = - 30 < 0, G (20) = 90 > 0

Lineare Gewinnfunktion mit Kapazitätsgrenze

Ergebnis: Gewinnschwelle 5 ME, keine Gewinngrenze, Gewinnzone $5 < x \leq 20$ .

b) Monopol, $p_{N} (x) = 20 - 2 x$ , $K (x) = 4 x + 30$

E (x) = (20 - 2 x) \cdot x = 20 x - 2 x^{2}

G (x) = 20 x - 2 x^{2} - (4 x + 30) = - 2 x^{2} + 16 x - 30

- 2 x^{2} + 16 x - 30 = 0 ∣ : (- 2)

x^{2} - 8 x + 15 = 0 \Rightarrow x_{1, 2} = 4 \pm 16 - 15 = 4 \pm 1 \Rightarrow x_{1} = 3, x_{2} = 5

Vorzeichen: G (0) = - 30 < 0, G (4) = 2 > 0, G (6) = - 6 < 0

Ergebnis: Gewinnschwelle 3 ME, Gewinngrenze 5 ME, Gewinnzone $3 < x < 5$ .

c) Polypol, Marktpreis 15 GE je ME, $K (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 24 x + 18$

G (x) = 15 x - (x^{3} - 8 x^{2} + 24 x + 18) = - x^{3} + 8 x^{2} - 9 x - 18

G (1) = - 20 G (2) = - 12 G (3) = - 27 + 72 - 27 - 18 = 0 ✓

(- x^{3} \underline{- (- x^{3}} + 8 x^{2} \underline{+ 3 x^{2})} 5 x^{2} \underline{- (5 x^{2}} - 9 x - 9 x \underline{- 15 x)} 6 x \underline{- (6 x} - 18) - 18 \underline{- 18)} 0 : (x - 3) = - x^{2} + 5 x + 6

- x^{2} + 5 x + 6 = 0 ∣ \cdot (- 1)

x^{2} - 5 x - 6 = 0 \Rightarrow x_{1, 2} = 2, 5 \pm 6, 25 + 6 = 2, 5 \pm 3, 5 \Rightarrow x_{1} = - 1 (f \overset{a}{¨} llt weg), x_{2} = 6

Vorzeichen: G (0) = - 18 < 0, G (4) = 10 > 0, G (7) = - 32 < 0

Kubische Gewinnfunktion mit Gewinnzone von 3 bis 6

Ergebnis: Gewinnschwelle 3 ME, Gewinngrenze 6 ME, Gewinnzone $3 < x < 6$ .

d) Monopol, $p_{N} (x) = 10 - x$ , $K (x) = 2 x + 16$

G (x) = 10 x - x^{2} - (2 x + 16) = - x^{2} + 8 x - 16

x^{2} - 8 x + 16 = 0 \Rightarrow x_{1, 2} = 4 \pm 16 - 16 = 4 \pm 0 \Rightarrow x = 4

Vorzeichen: G (0) = - 16 < 0, G (4) = 0, G (8) = - 16 < 0

Ergebnis: kein Vorzeichenwechsel, also keine Gewinnschwelle, keine Gewinngrenze und keine Gewinnzone. Bei 4 ME ist $G = 0$ , sonst macht der Betrieb Verlust.

e) Monopol, $p_{N} (x) = 10 - x$ , $K (x) = 2 x + 20$

G (x) = 10 x - x^{2} - (2 x + 20) = - x^{2} + 8 x - 20

x^{2} - 8 x + 20 = 0 \Rightarrow x_{1, 2} = 4 \pm 16 - 20 = 4 \pm - 4 \Rightarrow keine Nullstelle

Vorzeichen: G (0) = - 20 < 0, und ohne Nullstelle bleibt G negativ

Ergebnis: keine Gewinnzone. Der Betrieb macht bei jeder Menge Verlust.

Merken: Gewinnschwelle und Gewinngrenze sind Nullstellen von $G$ , an denen $G$ das Vorzeichen wechselt. Die Gewinnzone umfasst alle Mengen mit Gewinn.

Jetzt ihr

Ein Monopolist hat

p_{N} (x) = 14 - x

und

K (x) = 4 x + 9

. Bestimmt die Gewinnzone.

Lösung

G (x) = - x^{2} + 10 x - 9

, Nullstellen 1 und 9,

G (0) = - 9

G (5) = 16

, Gewinnzone

1 < x < 9

Schema: Gewinnzone bestimmen

Das Vorgehen aus den Beispielen, allgemein:

1. Gewinnfunktion aufstellen: $G (x) = E (x) - K (x)$ , mit Klammer um $K (x)$ . 2. $G (x) = 0$ lösen. Das Werkzeug hängt von der Form von $G$ ab: - Polypol mit linearen Kosten, $G$ ist eine Gerade: nach $x$ auflösen. - Monopol mit linearen Kosten, $G$ ist eine Parabel: durch die Zahl vor $x^{2}$ teilen, dann pq-Formel. - ertragsgesetzliche Kosten, $G$ hat den Grad 3: eine Nullstelle raten (Teiler der Zahl ohne $x$ ), Polynomdivision, pq-Formel. 3. Nur Nullstellen im ökonomischen Definitionsbereich behalten: keine negativen Mengen, nichts über der Kapazitätsgrenze. 4. Vorzeichen prüfen: $G (0) = - K_{f}$ ist negativ. Dazu $G$ an einer Stelle zwischen den Nullstellen und an einer Stelle rechts davon berechnen. 5. Antwort: Gewinnschwelle ( $G$ wechselt von Minus nach Plus), Gewinngrenze ( $G$ wechselt von Plus nach Minus), Gewinnzone (alle Mengen mit $G (x) > 0$ ; ohne Gewinngrenze reicht sie bis zur Kapazitätsgrenze).

Übungen: Gewinnzone

Bestimmt Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone.

a) Monopol: $p_{N} (x) = 30 - 3 x$ , $K (x) = 6 x + 36$

b) Polypol: Marktpreis 28 GE je ME, $K (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 30 x + 48$

c) Monopol: $p_{N} (x) = 12 - x$ , $K (x) = 2 x + 30$

d) Polypol: Marktpreis 12 GE je ME, $K (x) = 8 x + 20$ , höchstens 30 ME

Lösungen: Gewinnzone

E (x) = (30 - 3 x) \cdot x = 30 x - 3 x^{2}

G (x) = 30 x - 3 x^{2} - (6 x + 36) = - 3 x^{2} + 24 x - 36

- 3 x^{2} + 24 x - 36 = 0 ∣ : (- 3)

x^{2} - 8 x + 12 = 0 \Rightarrow x_{1, 2} = 4 \pm 16 - 12 = 4 \pm 2 \Rightarrow x_{1} = 2, x_{2} = 6

Vorzeichen: G (0) = - 36 < 0, G (4) = 12 > 0, G (7) = - 15 < 0

Ergebnis: Gewinnschwelle 2 ME, Gewinngrenze 6 ME, Gewinnzone $2 < x < 6$ .

G (x) = 28 x - (x^{3} - 9 x^{2} + 30 x + 48) = - x^{3} + 9 x^{2} - 2 x - 48

G (1) = - 42 G (2) = - 24 G (3) = - 27 + 81 - 6 - 48 = 0 ✓

(- x^{3} \underline{- (- x^{3}} + 9 x^{2} \underline{+ 3 x^{2})} 6 x^{2} \underline{- (6 x^{2}} - 2 x - 2 x \underline{- 18 x)} 16 x \underline{- (16 x} - 48) - 48 \underline{- 48)} 0 : (x - 3) = - x^{2} + 6 x + 16

- x^{2} + 6 x + 16 = 0 ∣ \cdot (- 1)

x^{2} - 6 x - 16 = 0 \Rightarrow x_{1, 2} = 3 \pm 9 + 16 = 3 \pm 5 \Rightarrow x_{1} = - 2 (f \overset{a}{¨} llt weg), x_{2} = 8

Vorzeichen: G (0) = - 48 < 0, G (5) = 42 > 0, G (9) = - 66 < 0

Ergebnis: Gewinnschwelle 3 ME, Gewinngrenze 8 ME, Gewinnzone $3 < x < 8$ .

E (x) = (12 - x) \cdot x = 12 x - x^{2}

G (x) = 12 x - x^{2} - (2 x + 30) = - x^{2} + 10 x - 30

- x^{2} + 10 x - 30 = 0 ∣ \cdot (- 1)

x^{2} - 10 x + 30 = 0 \Rightarrow x_{1, 2} = 5 \pm 25 - 30 = 5 \pm - 5 \Rightarrow keine Nullstelle

Vorzeichen: G (0) = - 30 < 0, und ohne Nullstelle bleibt G negativ

Ergebnis: keine Gewinnzone. Der Monopolist macht bei jeder Menge Verlust.

G (x) = 12 x - (8 x + 20) = 4 x - 20

4 x - 20 = 0 \Rightarrow x = 5

Vorzeichen: G (0) = - 20 < 0, G (30) = 100 > 0

Ergebnis: Gewinnschwelle 5 ME, keine Gewinngrenze, Gewinnzone $5 < x \leq 30$ .

Das Gewinnmaximum

Das Gewinnmaximum ist der größte Gewinn, den der Betrieb unter allen möglichen Mengen erreicht. Gesucht sind zwei Werte: die gewinnmaximale Menge in ME und der maximale Gewinn in GE.

Zum Beispiel der Monopolist mit $p_{N} (x) = 10 - x$ und $K (x) = 2 x + 7$ :

G (x) = 10 x - x^{2} - (2 x + 7) = - x^{2} + 8 x - 70 \leq x \leq 10

Mehr als 10 ME kauft niemand, denn bei 10 ME ist der Preis schon $p_{N} (10) = 0$ .

Notwendige Bedingung: $G^{'} (x) = 0$

G^{'} (x) = - 2 x + 8 = 0 \Rightarrow x = 4

Hinreichende Bedingung: $G^{''} (x) < 0$

G^{''} (x) = - 2 < 0 \Rightarrow Hochpunkt

G (4) = - 16 + 32 - 7 = 9 \Rightarrow H (4 ∣ 9)

Ränder:

G (0) = - 7 G (10) = - 100 + 80 - 7 = - 27

Vergleich: $9 > - 7 > - 27$

Ergebnis: Die gewinnmaximale Menge ist 4 ME. Der maximale Gewinn ist 9 GE.

Beispiele: Gewinnmaximum

a) Polypol, Marktpreis 60 GE je ME, $K (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 60 x + 98$ , höchstens 10 ME

G (x) = 60 x - (x^{3} - 12 x^{2} + 60 x + 98) = - x^{3} + 12 x^{2} - 980 \leq x \leq 10

Notwendige Bedingung:

G^{'} (x) = - 3 x^{2} + 24 x = - 3 x (x - 8) = 0 \Rightarrow x = 0 oder x = 8

Hinreichende Bedingung mit $G^{''} (x) = - 6 x + 24$ :

G^{''} (0) = 24 > 0 \Rightarrow Tiefpunkt G^{''} (8) = - 24 < 0 \Rightarrow Hochpunkt

G (8) = - 512 + 768 - 98 = 158 \Rightarrow H (8 ∣ 158)

Ränder:

G (0) = - 98 G (10) = - 1000 + 1200 - 98 = 102

Vergleich: $158 > 102 > - 98$

Ergebnis: 8 ME, maximaler Gewinn 158 GE.

b) Polypol, Marktpreis 10 GE je ME, $K (x) = 4 x + 30$ , höchstens 20 ME

G (x) = 10 x - (4 x + 30) = 6 x - 300 \leq x \leq 20

Notwendige Bedingung:

G^{'} (x) = 6 \neq = 0 \Rightarrow kein Hochpunkt

Ränder:

G (0) = - 30 G (20) = 6 \cdot 20 - 30 = 90

Vergleich: $90 > - 30$

Gewinnmaximum am Rand bei linearem Gewinn

Ergebnis: 20 ME, maximaler Gewinn 90 GE. Ein Maximum am Rand heißt Randmaximum.

c) Monopol, $p_{N} (x) = 20 - x$ , $K (x) = 4 x + 28$ , höchstens 5 ME

E (x) = (20 - x) \cdot x = 20 x - x^{2}

G (x) = 20 x - x^{2} - (4 x + 28) = - x^{2} + 16 x - 280 \leq x \leq 5

Notwendige Bedingung:

G^{'} (x) = - 2 x + 16 = 0 \Rightarrow x = 8 (\overset{u}{¨} ber der Kapazit \overset{a}{¨} tsgrenze, f \overset{a}{¨} llt weg)

Ränder:

G (0) = - 28 G (5) = - 25 + 80 - 28 = 27

Vergleich: $27 > - 28$

Ergebnis: 5 ME, maximaler Gewinn 27 GE, ein Randmaximum.

Merken: Das Gewinnmaximum ist der größte Wert von $G$ unter allen möglichen Mengen. Kandidaten sind die Hochpunkte und die Ränder.

Jetzt ihr

Polypol, Marktpreis 15 GE je ME,

K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 10

, höchstens 5 ME. Bestimmt die gewinnmaximale Menge und den maximalen Gewinn.

Lösung

G (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 10

;

G^{'} (x) = - 3 x (x - 4) = 0

bei 0 und 4;

G^{''} (4) = - 12 < 0

H (4 ∣ 22)

; Ränder

G (0) = - 10

G (5) = 15

; gewinnmaximale Menge 4 ME, maximaler Gewinn 22 GE

Schema: Gewinnmaximum bestimmen

Das Vorgehen aus den Beispielen, allgemein:

1. Gewinnfunktion aufstellen und die möglichen Mengen notieren: von 0 bis zur Kapazitätsgrenze, beim Monopolisten höchstens bis zur Sättigungsmenge. 2. Notwendige Bedingung: $G^{'} (x) = 0$ . Die Lösungen unter den möglichen Mengen sind die Kandidaten. 3. Hinreichende Bedingung: $G^{''} (x) < 0$ zeigt einen Hochpunkt $H (x ∣ G (x))$ . 4. Ränder: $G$ an beiden Rändern der möglichen Mengen berechnen. 5. Vergleich: Der größte Wert ist der maximale Gewinn, seine Stelle die gewinnmaximale Menge. 6. Antwort: gewinnmaximale Menge in ME, maximaler Gewinn in GE.

Übungen: Gewinnmaximum

Bestimmt die gewinnmaximale Menge und den maximalen Gewinn.

a) Monopol: $p_{N} (x) = 30 - 2 x$ , $K (x) = 6 x + 40$

b) Polypol: Marktpreis 36 GE je ME, $K (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 84 x + 20$ , höchstens 10 ME

c) Polypol: Marktpreis 30 GE je ME, $K (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 51 x + 50$ , höchstens 6 ME

Lösungen: Gewinnmaximum

E (x) = (30 - 2 x) \cdot x = 30 x - 2 x^{2}

G (x) = 30 x - 2 x^{2} - (6 x + 40) = - 2 x^{2} + 24 x - 400 \leq x \leq 15, denn p_{N} (15) = 0

Notwendige Bedingung:

G^{'} (x) = - 4 x + 24 = 0 \Rightarrow x = 6

Hinreichende Bedingung:

G^{''} (x) = - 4 < 0 \Rightarrow Hochpunkt

G (6) = - 72 + 144 - 40 = 32 \Rightarrow H (6 ∣ 32)

Ränder:

G (0) = - 40 G (15) = - 450 + 360 - 40 = - 130

Vergleich: $32 > - 40 > - 130$

Ergebnis: 6 ME, maximaler Gewinn 32 GE.

G (x) = 36 x - (x^{3} - 15 x^{2} + 84 x + 20) = - x^{3} + 15 x^{2} - 48 x - 200 \leq x \leq 10

Notwendige Bedingung:

G^{'} (x) = - 3 x^{2} + 30 x - 48 = 0 ∣ : (- 3)

x^{2} - 10 x + 16 = 0 \Rightarrow x_{1, 2} = 5 \pm 25 - 16 = 5 \pm 3 \Rightarrow x_{1} = 2, x_{2} = 8

Hinreichende Bedingung mit $G^{''} (x) = - 6 x + 30$ :

G^{''} (2) = 18 > 0 \Rightarrow Tiefpunkt G^{''} (8) = - 18 < 0 \Rightarrow Hochpunkt

G (8) = - 512 + 960 - 384 - 20 = 44 \Rightarrow H (8 ∣ 44)

Ränder:

G (0) = - 20 G (10) = - 1000 + 1500 - 480 - 20 = 0

Vergleich: $44 > 0 > - 20$

Ergebnis: 8 ME, maximaler Gewinn 44 GE.

G (x) = 30 x - (x^{3} - 12 x^{2} + 51 x + 50) = - x^{3} + 12 x^{2} - 21 x - 500 \leq x \leq 6

Notwendige Bedingung:

G^{'} (x) = - 3 x^{2} + 24 x - 21 = 0 ∣ : (- 3)

x^{2} - 8 x + 7 = 0 \Rightarrow x_{1, 2} = 4 \pm 16 - 7 = 4 \pm 3 \Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = 7 (\overset{u}{¨} ber der Kapazit \overset{a}{¨} tsgrenze, f \overset{a}{¨} llt weg)

Hinreichende Bedingung mit $G^{''} (x) = - 6 x + 24$ :

G^{''} (1) = 18 > 0 \Rightarrow Tiefpunkt

Ränder:

G (0) = - 50 G (6) = - 216 + 432 - 126 - 50 = 40

Vergleich: $40 > - 50$

Ergebnis: 6 ME, maximaler Gewinn 40 GE, ein Randmaximum.

Grenzerlös gleich Grenzkosten

Grenzerlös gleich Grenzkosten ist die notwendige Bedingung $G^{'} (x) = 0$ , mit Erlös und Kosten geschrieben:

G (x) = E (x) - K (x) \Rightarrow G^{'} (x) = E^{'} (x) - K^{'} (x)

G^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow E^{'} (x) - K^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow E^{'} (x) = K^{'} (x)

Zum Beispiel beim Monopolisten mit $p_{N} (x) = 10 - x$ und $K (x) = 2 x + 7$ :

E (x) = 10 x - x^{2} \Rightarrow E^{'} (x) = 10 - 2 x K (x) = 2 x + 7 \Rightarrow K^{'} (x) = 2

E^{'} (x) = K^{'} (x) \Rightarrow 10 - 2 x = 2 \Rightarrow x = 4

Das ist wieder die gewinnmaximale Menge 4 ME mit $H (4 ∣ 9)$ .

Gleich steil: Grenzerlös gleich Grenzkosten

x = 1 : E (1) = K (1) = 9 E^{'} (1) = 8, K^{'} (1) = 2

x = 4 : E (4) = 24, K (4) = 15 E^{'} (4) = K^{'} (4) = 2

Bei 1 ME sind Erlös und Kosten gleich hoch. Die Kurven schneiden sich, das ist die Gewinnschwelle. Bei 4 ME sind sie gleich steil. Die Tangente an $E$ läuft dort parallel zu $K$ , und der Abstand $G (4) = 9$ ist am größten.

Merken: $E = K$ , gleich hoch: Gewinnschwelle oder Gewinngrenze. $E^{'} = K^{'}$ , gleich steil: Kandidat für das Gewinnmaximum.

Theorie: Warum ist der Gewinn bei $E'=K'$ am größten?

$E^{'}$ und $K^{'}$ sagen ungefähr, wie viel Erlös und wie viel Kosten eine weitere ME bringt. Genau gerechnet sieht das beim Monopolisten so aus:

ME	Erlös dieser ME	Kosten dieser ME	Gewinn dieser ME	$G (x)$ danach
3.	$E (3) - E (2) = 21 - 16 = 5$	$2$	$+ 3$	$8$
4.	$E (4) - E (3) = 24 - 21 = 3$	$2$	$+ 1$	$9$
5.	$E (5) - E (4) = 25 - 24 = 1$	$2$	$- 1$	$8$
6.	$E (6) - E (5) = 24 - 25 = - 1$	$2$	$- 3$	$5$

Die 4. ME bringt mehr ein, als sie kostet. Die 5. ME bringt weniger ein, als sie kostet. Darum ist der Gewinn bei 4 ME am größten.

$E^{'} (4) = 2$ ist die Steigung von $E$ genau an der Stelle 4. Sie liegt zwischen den 3 GE der 4. ME und dem 1 GE der 5. ME. Genau dort ist sie so groß wie $K^{'} (4) = 2$ .

Steigung des Gewinns und Grenzfunktionen

Links von 4 liegt $E^{'}$ über $K^{'}$ . Dort ist $G^{'} > 0$ , und der Gewinn steigt. Rechts von 4 liegt $E^{'}$ unter $K^{'}$ . Dort ist $G^{'} < 0$ , und der Gewinn fällt.

Im Polypol: Preis gleich Grenzkosten

Im Polypol verkauft der Betrieb jede ME zum selben Marktpreis $p$ . Jede weitere ME bringt also genau $p$ ein:

E (x) = p \cdot x \Rightarrow E^{'} (x) = p

Grenzerlös gleich Grenzkosten heißt dort:

K^{'} (x) = p (Preis gleich Grenzkosten)

Zum Beispiel beim Betrieb mit Marktpreis 60 GE je ME und $K (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 60 x + 98$ :

K^{'} (x) = 3 x^{2} - 24 x + 60 = 60 \Rightarrow 3 x^{2} - 24 x = 0 \Rightarrow 3 x (x - 8) = 0 \Rightarrow x = 0 oder x = 8

Das sind dieselben Kandidaten wie mit $G^{'} (x) = 0$ : der Tiefpunkt $T (0 ∣ - 98)$ und der Hochpunkt $H (8 ∣ 158)$ .

Zwischen 0 und 8 ME liegen die Grenzkosten unter dem Preis. Jede weitere ME bringt dort mehr ein, als sie kostet, und $G$ steigt. Hinter 8 ME liegen die Grenzkosten über dem Preis, und $G$ fällt. Darum liegt bei 0 der Tiefpunkt und bei 8 der Hochpunkt.

Bei 4 ME, an der Kostenkehre, liegen Preis und Grenzkosten am weitesten auseinander. Dort steigt $G$ am schnellsten, aber $G (4)$ ist erst 30. Am größten ist $G$ bei 8 ME, wo der Abstand 0 ist.

Beim Monopolisten: Grenzerlös unter dem Preis

Der Monopolist verkauft eine weitere ME nur, wenn er den Preis senkt. Der neue Preis gilt dann für alle ME. Zum Beispiel senkt der Monopolist mit $p_{N} (x) = 10 - x$ für die 5. ME den Preis von 6 auf 5 GE je ME:

E (4) = 4 \cdot 6 = 24 E (5) = 5 \cdot 5 = 25

Die 5. ME bringt 5 GE ein. Die ersten 4 ME bringen dafür zusammen 4 GE weniger ein. Der Erlös wächst also nur um $5 - 4 = 1$ GE. Darum liegt der Grenzerlös unter dem Preis:

p_{N} (x) = 10 - x

E^{'} (x) = 10 - 2 x

E^{'} (x) = K^{'} (x) : 10 - 2 x = 2 \Rightarrow x = 4, G (4) = 9

p_{N} (x) = K^{'} (x) : 10 - x = 2 \Rightarrow x = 8, G (8) = - 64 + 64 - 7 = - 7

Merken: Grenzerlös gleich Grenzkosten gilt für jeden Betrieb. Preis gleich Grenzkosten gilt nur im Polypol, denn nur dort ist $E^{'} (x) = p$ .

Jetzt ihr

Ein Monopolist hat

p_{N} (x) = 18 - 2 x

und

K (x) = 2 x + 12

. Bestimmt die gewinnmaximale Menge mit

E^{'} (x) = K^{'} (x)

und den maximalen Gewinn.

Lösung

E^{'} (x) = 18 - 4 x

K^{'} (x) = 2

18 - 4 x = 2

ergibt

x = 4

;

G (x) = - 2 x^{2} + 16 x - 12

G^{''} (x) = - 4 < 0

; Ränder

G (0) = - 12

G (9) = - 30

; gewinnmaximale Menge 4 ME, maximaler Gewinn

G (4) = 20

Stückgewinn und Gesamtgewinn

Der Stückgewinn $p - k (x)$ ist der Gewinn an einer einzelnen ME: Preis minus Stückkosten. Der Gesamtgewinn $G (x)$ ist Menge mal Stückgewinn:

G (x) = p \cdot x - K (x) = x \cdot (p - \frac{K ( x )}{x}) = x \cdot (p - k (x))

Im Betriebsoptimum sind die Stückkosten am kleinsten, also ist dort der Stückgewinn am größten. Ist dort auch der Gesamtgewinn am größten?

Zum Beispiel der Betrieb mit Marktpreis 60 GE je ME und $K (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 60 x + 98$ . Sein Gewinnmaximum ist $H (8 ∣ 158)$ .

$x$	$K (x)$	$k (x) = \frac{K ( x )}{x}$	Stückgewinn $60 - k (x)$	Gesamtgewinn $G (x) = 60 x - K (x)$
6	242	$\approx 40, 33$	$\approx 19, 67$	$360 - 242 = 118$
7	273	$39$	$21$	$420 - 273 = 147$
8	322	$40, 25$	$19, 75$	$480 - 322 = 158$
9	395	$\approx 43, 89$	$\approx 16, 11$	$540 - 395 = 145$

Bei 7 ME sind die Stückkosten am kleinsten. Dort liegt das Betriebsoptimum mit dem größten Stückgewinn 21. Der Gesamtgewinn ist erst bei 8 ME am größten.

Bei 8 ME ist der Stückgewinn etwas kleiner, aber es sind mehr ME. Die 8. ME kostet $K (8) - K (7) = 322 - 273 = 49$ GE und bringt 60 GE ein: Sie lohnt sich. Die 9. ME kostet $K (9) - K (8) = 395 - 322 = 73$ GE: Sie lohnt sich nicht mehr.

Merken: Der Stückgewinn ist im Betriebsoptimum am größten. Der Gesamtgewinn wächst weiter, solange die nächste ME weniger kostet als der Preis.

Sinkt der Marktpreis, schrumpft die Gewinnzone. Gewinn gibt es nur, wo die Preisgerade über der $k$ -Kurve liegt:

Beim Preis 39 GE je ME berührt die Preisgerade die $k$ -Kurve nur noch im Betriebsoptimum: $G (7) = 7 \cdot (39 - 39) = 0$ . Ist der Preis noch kleiner, macht der Betrieb bei jeder Menge Verlust. Darum ist $k (7) = 39$ die langfristige Preisuntergrenze.

Der Cournotsche Punkt

Der Cournotsche Punkt $C (x_{C} ∣ p_{C})$ ist der Punkt auf der Nachfragekurve, an dem der Monopolist den größten Gewinn macht. Dabei ist $x_{C}$ die gewinnmaximale Menge und $p_{C}$ der Preis, zu dem er sie verkauft. Der Punkt ist nach dem Mathematiker Antoine-Augustin Cournot benannt.

Warum ein Punkt auf der Nachfragekurve? Der Monopolist darf jeden Preis verlangen. Zu jedem Preis kaufen die Kunden aber nur eine bestimmte Menge. Mit der Menge wählt er also auch den Preis.

Zum Beispiel der Monopolist mit $p_{N} (x) = 10 - x$ und $K (x) = 2 x + 7$ . Seine gewinnmaximale Menge kommt wie immer aus $G^{'} (x) = 0$ :

G (x) = - x^{2} + 8 x - 7 G^{'} (x) = - 2 x + 8 = 0 \Rightarrow x_{C} = 4

G^{''} (x) = - 2 < 0, G (4) = 9, R \overset{a}{¨} nder: G (0) = - 7, G (10) = - 27

Der Preis dazu steht auf der Nachfragekurve:

p_{C} = p_{N} (4) = 10 - 4 = 6 \Rightarrow C (4 ∣ 6)

Ergebnis: Der Monopolist verkauft 4 ME zum Preis von 6 GE je ME. Sein Gewinn ist 9 GE.

Unten schneiden sich Grenzerlös und Grenzkosten im Punkt $S (4 ∣ 2)$ . Der Cournotsche Punkt liegt senkrecht darüber auf der Nachfragekurve.

Jede Menge hat ihren Preis und ihren Gewinn:

Menge $x$	Preis $p_{N} (x)$	Gewinn $G (x)$
0	10	$- 7$	Höchstpreis
1	9	$0$	Gewinnschwelle
4	6	$9$	Cournotscher Punkt
5	5	$8$	Erlösmaximum
7	3	$0$	Gewinngrenze
8	2	$- 7$	Preis in Höhe von $S$

Gewinn macht der Monopolist zu Preisen zwischen 3 und 9 GE je ME. Vom Cournotschen Punkt zum Erlösmaximum steigt der Erlös um 1 GE, die Kosten steigen um 2 GE. Darum verkauft er weniger und teurer als im Erlösmaximum.

Monopolist mit ertragsgesetzlichen Kosten

Ein Monopolist hat die Nachfragefunktion $p_{N} (x) = 36 - 3 x$ und die Kosten $K (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 10$ .

E (x) = (36 - 3 x) \cdot x = 36 x - 3 x^{2}

G (x) = 36 x - 3 x^{2} - (x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 10) = - x^{3} + 27 x - 100 \leq x \leq 12, denn p_{N} (12) = 0

Notwendige Bedingung:

G^{'} (x) = - 3 x^{2} + 27 = 0 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3 (x = - 3 f \overset{a}{¨} llt weg)

Hinreichende Bedingung:

G^{''} (x) = - 6 x, G^{''} (3) = - 18 < 0 \Rightarrow Hochpunkt

G (3) = - 27 + 81 - 10 = 44 \Rightarrow H (3 ∣ 44)

Ränder:

G (0) = - 10 G (12) = - 1728 + 324 - 10 = - 1414

Vergleich: $44 > - 10 > - 1414$ , also $x_{C} = 3$ .

Cournot-Preis:

p_{C} = p_{N} (3) = 36 - 9 = 27 \Rightarrow C (3 ∣ 27)

Probe mit Grenzerlös gleich Grenzkosten:

E^{'} (x) = 36 - 6 x K^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 9

36 - 6 x = 3 x^{2} - 6 x + 9 \Rightarrow 3 x^{2} = 27 \Rightarrow x = 3

Cournot-Punkt mit quadratischen Grenzkosten

Ergebnis: Der Monopolist verkauft 3 ME zum Preis von 27 GE je ME. Sein maximaler Gewinn ist 44 GE.

Höhere Fixkosten

Die Miete des Monopolisten mit $p_{N} (x) = 10 - x$ steigt. Seine Fixkosten wachsen von 7 GE auf 12, 16 oder 20 GE. Muss er jetzt teurer verkaufen?

$K (x)$	$G (x)$	$G^{'} (x)$	$x_{C}$	$p_{C}$	$G (x_{C})$	Gewinnzone
$2 x + 7$	$- x^{2} + 8 x - 7$	$- 2 x + 8$	4	6	9	$1 < x < 7$
$2 x + 12$	$- x^{2} + 8 x - 12$	$- 2 x + 8$	4	6	4	$2 < x < 6$
$2 x + 16$	$- x^{2} + 8 x - 16$	$- 2 x + 8$	4	6	0	keine
$2 x + 20$	$- x^{2} + 8 x - 20$	$- 2 x + 8$	4	6	$- 4$	keine

Gewinnparabeln bei verschiedenen Fixkosten

Die Spalte $G^{'} (x)$ ist in jeder Zeile gleich. Die Parabel rutscht nur nach unten, ihr Scheitel bleibt bei $x = 4$ .

Merken: Fixkosten fallen beim Ableiten weg. Sie ändern den Gewinn, aber nicht die gewinnmaximale Menge und nicht den Preis.

Bei 20 GE Fixkosten ist das Beste ein Verlust von 4 GE. Das Maximum ist dann der kleinste Verlust.

Jetzt ihr

Ein Monopolist hat

p_{N} (x) = 16 - 2 x

und

K (x) = 4 x + 10

. Bestimmt den Cournotschen Punkt und den maximalen Gewinn.

Lösung

G (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 10

G^{'} (x) = - 4 x + 12 = 0

ergibt

x_{C} = 3

G^{''} (x) = - 4 < 0

; Ränder

G (0) = - 10

G (8) = - 42

;

p_{C} = p_{N} (3) = 10

C (3 ∣ 10)

, maximaler Gewinn

G (3) = 8

Schema: Cournotschen Punkt bestimmen

Das Vorgehen aus den Beispielen, allgemein:

1. Erlös und Gewinn aufstellen: $E (x) = p_{N} (x) \cdot x$ , $G (x) = E (x) - K (x)$ . Mögliche Mengen: von 0 bis zur Sättigungsmenge, höchstens bis zur Kapazitätsgrenze. 2. Notwendige Bedingung: $G^{'} (x) = 0$ , gleichwertig $E^{'} (x) = K^{'} (x)$ . Das gibt die Kandidaten. 3. Hinreichende Bedingung: $G^{''} (x) < 0$ zeigt den Hochpunkt. 4. Ränder berechnen und vergleichen. Die Stelle mit dem größten Gewinn ist $x_{C}$ . 5. Cournot-Preis: $x_{C}$ in die Nachfragefunktion einsetzen, $p_{C} = p_{N} (x_{C})$ . 6. Antwort: $C (x_{C} ∣ p_{C})$ und maximaler Gewinn $G (x_{C})$ .

Übungen: Cournotscher Punkt

Bestimmt den Cournotschen Punkt und den maximalen Gewinn.

a) $p_{N} (x) = 24 - 2 x$ , $K (x) = 4 x + 32$

b) $p_{N} (x) = 40 - 3 x$ , $K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 40$ , höchstens 10 ME

c) $p_{N} (x) = 24 - 2 x$ , $K (x) = 4 x + 40$

Lösungen: Cournotscher Punkt

E (x) = (24 - 2 x) \cdot x = 24 x - 2 x^{2}

G (x) = 24 x - 2 x^{2} - (4 x + 32) = - 2 x^{2} + 20 x - 320 \leq x \leq 12, denn p_{N} (12) = 0

Notwendige Bedingung:

G^{'} (x) = - 4 x + 20 = 0 \Rightarrow x = 5

Hinreichende Bedingung:

G^{''} (x) = - 4 < 0 \Rightarrow Hochpunkt

G (5) = - 50 + 100 - 32 = 18 \Rightarrow H (5 ∣ 18)

Ränder:

G (0) = - 32 G (12) = - 288 + 240 - 32 = - 80

Vergleich: $18 > - 32 > - 80$ , also $x_{C} = 5$ .

Cournot-Preis:

p_{C} = p_{N} (5) = 24 - 10 = 14

Ergebnis: $C (5 ∣ 14)$ , maximaler Gewinn 18 GE.

E (x) = (40 - 3 x) \cdot x = 40 x - 3 x^{2}

G (x) = 40 x - 3 x^{2} - (x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 40) = - x^{3} + 3 x^{2} + 24 x - 400 \leq x \leq 10

Notwendige Bedingung:

G^{'} (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 24 = 0 ∣ : (- 3)

x^{2} - 2 x - 8 = 0 \Rightarrow x_{1, 2} = 1 \pm 1 + 8 = 1 \pm 3 \Rightarrow x_{1} = - 2 (f \overset{a}{¨} llt weg), x_{2} = 4

Hinreichende Bedingung:

G^{''} (x) = - 6 x + 6, G^{''} (4) = - 18 < 0 \Rightarrow Hochpunkt

G (4) = - 64 + 48 + 96 - 40 = 40 \Rightarrow H (4 ∣ 40)

Ränder:

G (0) = - 40 G (10) = - 1000 + 300 + 240 - 40 = - 500

Vergleich: $40 > - 40 > - 500$ , also $x_{C} = 4$ .

Cournot-Preis:

p_{C} = p_{N} (4) = 40 - 12 = 28

Ergebnis: $C (4 ∣ 28)$ , maximaler Gewinn 40 GE.

E (x) = (24 - 2 x) \cdot x = 24 x - 2 x^{2}

G (x) = 24 x - 2 x^{2} - (4 x + 40) = - 2 x^{2} + 20 x - 400 \leq x \leq 12, denn p_{N} (12) = 0

Notwendige Bedingung:

G^{'} (x) = - 4 x + 20 = 0 \Rightarrow x = 5

Hinreichende Bedingung:

G^{''} (x) = - 4 < 0 \Rightarrow Hochpunkt

G (5) = - 50 + 100 - 40 = 10 \Rightarrow H (5 ∣ 10)

Ränder:

G (0) = - 40 G (12) = - 288 + 240 - 40 = - 88

Vergleich: $10 > - 40 > - 88$ , also $x_{C} = 5$ .

Cournot-Preis:

p_{C} = p_{N} (5) = 24 - 10 = 14

Ergebnis: $C (5 ∣ 14)$ , maximaler Gewinn 10 GE.

Übersicht

Jede gesuchte Größe ist eine Bedingung an eine Funktion. Rechts stehen die Werte des Monopolisten mit $p_{N} (x) = 10 - x$ und $K (x) = 2 x + 7$ .

gesucht	Bedingung	beim Monopolisten
Verlust bei 0 ME	$G (0) = - K_{f}$	$G (0) = - 7$
Gewinnschwelle	$G (x) = 0$ , $G$ wechselt von Minus nach Plus	1 ME
Gewinngrenze	$G (x) = 0$ , $G$ wechselt von Plus nach Minus	7 ME
Gewinnzone	$G (x) > 0$	$1 < x < 7$
gewinnmaximale Menge	größter Wert von $G$ : Hochpunkt mit $G^{'} (x) = 0$ bzw. $E^{'} (x) = K^{'} (x)$ und $G^{''} (x) < 0$ , Ränder verglichen	4 ME
maximaler Gewinn	$G$ an der gewinnmaximalen Menge	9 GE
Cournot-Preis	$p_{N}$ an der gewinnmaximalen Menge	6 GE je ME