[Diff] Elastizität

Die Elastizität sagt, wie stark die Nachfrage auf den Preis reagiert. Sie beantwortet die Frage: Der Preis steigt um 1 %. Um wie viel Prozent ändert sich dann die Menge?

Zum Beispiel erhöht ein Händler den Preis von 10 GE auf 11 GE je ME. Die Nachfrage sinkt von 200 ME auf 170 ME. Jede Änderung messen wir an ihrem Ausgangswert, als relative Änderung (Änderung geteilt durch den Wert vorher):

	vorher	nachher	Änderung	relative Änderung
Preis $p$	$10$	$11$	$+ 1$	$\frac{+ 1}{10} = + 10 %$
Menge $x$	$200$	$170$	$- 30$	$\frac{- 30}{200} = - 15 %$

Die Elastizität $ε$ (Epsilon) ist die relative Mengenänderung geteilt durch die relative Preisänderung. Ihr voller Name ist Preiselastizität der Nachfrage.

ε = \frac{- 15 %}{+ 10 %} = - 1, 5

Geteilt durch 10 zeigt das die Wirkung von 1 % Preis:

Preis + 10 % Preis + 1 % ⟶ Menge - 15 % ⟶ Menge - 1, 5 %

Je 1 % Preiserhöhung sinkt die Menge um 1,5 %.

Das Minus zeigt die Richtung: Der Preis steigt, die Menge sinkt. Die Stärke steht in der Zahl ohne Vorzeichen, dem Betrag $∣ ε ∣ = 1, 5$ .

Prozent macht Brot und Fahrrad vergleichbar

Warum nicht einfach 30 ME weniger je 1 GE mehr? Bei Brot und bei Fahrrädern steigt der Preis um 1 GE, und bei beiden sinkt die Nachfrage von 100 ME auf 90 ME:

	Preis	Menge	ME je GE	Preis relativ	Menge relativ	$ε$
Brot	$2 \to 3$ GE	$100 \to 90$ ME	$- 10$	$+ 50 %$	$- 10 %$	$\frac{- 10 %}{+ 50 %} = - 0, 2$
Fahrrad	$500 \to 501$ GE	$100 \to 90$ ME	$- 10$	$+ 0, 2 %$	$- 10 %$	$\frac{- 10 %}{+ 0 , 2 %} = - 50$

In ME je GE sehen beide gleich aus. In Prozent zeigt sich der Unterschied:

Brot: Fahrrad: Preis + 50 % Preis + 0, 2 % ⟶ Menge - 10 % ⟶ Menge - 10 % schwache Reaktion starke Reaktion

Merken: Die Elastizität misst jede Änderung in Prozent vom Ausgangswert. Darum vergleicht sie Brot mit Fahrrädern.

Zwei Punkte, zwei Antworten

Die Nachfrage ist $p_{N} (x) = 20 - 0, 2 x$ . Bei 50 ME ist der Preis $p_{N} (50) = 10$ GE je ME, bei 40 ME ist er $p_{N} (40) = 12$ GE je ME. Von welchem Punkt aus rechnet man die Prozente?

Richtung	Preis	Menge	Preis relativ	Menge relativ	$ε$
hin	$10 \to 12$	$50 \to 40$	$\frac{+ 2}{10} = + 20 %$	$\frac{- 10}{50} = - 20 %$	$- 1$
zurück	$12 \to 10$	$40 \to 50$	$\frac{- 2}{12} \approx - 16, 7 %$	$\frac{+ 10}{40} = + 25 %$	$- 1, 5$

Dieselben zwei Punkte, zwei Elastizitäten. Jede Richtung misst von ihrem eigenen Ausgangswert aus. Die Elastizität zwischen zwei Punkten heißt Bogenelastizität.

Merken: Zwischen zwei Punkten hängt die Elastizität davon ab, von welchem Punkt aus ihr rechnet.

Rücken die Punkte näher zusammen, rücken auch die beiden Antworten zusammen:

Preis	Menge	$ε$ hin	$ε$ zurück
$10 \leftrightarrow 12$	$50 \leftrightarrow 40$	$- 1$	$- 1, 5$
$10 \leftrightarrow 11$	$50 \leftrightarrow 45$	$- 1$	$- 1, 22$
$10 \leftrightarrow 10, 1$	$50 \leftrightarrow 49, 5$	$- 1$	$- 1, 02$

An der Stelle $x = 50$ (Preis 10 GE je ME) bleibt eine einzige Zahl übrig. Winzige Schritte an einer Stelle: Dafür gibt es die Ableitung.

Die Elastizität an einer Stelle

An einer Stelle berechnet man die Elastizität mit der Ableitung der Preisfunktion.

Herleitung:

Hinweis: $Δ$ (Delta) steht für eine Änderung. Auf dem Weg hin ist $Δ p = 12 - 10 = + 2$ und $Δ x = 40 - 50 = - 10$ .

ε = \frac{relative Mengen a ¨ nderung}{relative Preis a ¨ nderung}

Die untere Zeile rechnet mit dem Weg hin: $p = 10$ , $x = 50$ , $Δ p = + 2$ , $Δ x = - 10$ .

ε - 1 = \frac{Δ x}{x} : \frac{Δ p}{p} = \frac{- 10}{50} : \frac{2}{10} = \frac{Δ x}{x} \cdot \frac{p}{Δ p} = \frac{- 10}{50} \cdot \frac{10}{2} = \frac{Δ x}{Δ p} \cdot \frac{p}{x} = \frac{- 10}{2} \cdot \frac{10}{50}

Durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrwert malnimmt. Danach tauschen die beiden Nenner die Plätze. Die Elastizität hat damit zwei Faktoren:

ε = Menge je Preis \frac{Δ x}{Δ p} \cdot Preis durch Menge \frac{p}{x}

Menge je Preis steckt im Graphen von $p_{N}$ , im Steigungsdreieck:

Steigungsdreieck an der Nachfragegeraden: Preis je Menge und Menge je Preis

Dasselbe Dreieck, zweimal gelesen. Preis je Menge ist die Steigung $m = - 0, 2$ . Menge je Preis ist ihr Kehrwert:

\frac{Δ x}{Δ p} = \frac{1}{m} = \frac{1}{- 0 , 2} = - 5

Nach $x$ aufgelöst steht Menge je Preis direkt in der Gleichung:

p_{N} (x) = 20 Preis je Menge - 0, 2 x ⟺ x (p) = 100 Menge je Preis - 5 p

Rechts ist die Menge eine Funktion des Preises, $x (p)$ . Ihre Ableitung $x^{'} (p) = - 5$ ist Menge je Preis.

An einer Stelle werden die Schritte winzig, wie bei der momentanen Änderungsrate. Preis je Menge ist dann die Ableitung $p_{N}^{'} (x)$ , die Steigung der Tangente. Bei einer Geraden ist die Tangente die Gerade selbst. So entsteht die Preiselastizität der Nachfrage an der Stelle $x$ , kurz Punktelastizität:

ε (x) = Menge je Preis \frac{1}{p _{N}^{'} ( x )} \cdot Preis durch Menge \frac{p _{N} ( x )}{x}

An der Stelle $x = 50$ mit $p_{N}^{'} (x) = - 0, 2$ :

ε (50) = \frac{1}{- 0 , 2} \cdot \frac{10}{50} = - 5 \cdot 0, 2 = - 1

Da ist sie: $- 1$ . Auf diese Zahl sind die Werte zurück zugekrochen: $- 1, 5$ , dann $- 1, 22$ , dann $- 1, 02$ .

Beispiel: $p_N(x)=100-2x$ an der Stelle $x=10$

p_{N} (10) = 100 - 2 \cdot 10 = 80 p_{N}^{'} (x) = - 2

ε (10) = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{80}{10} = - 0, 5 \cdot 8 = - 4

Beim Preis 80 GE je ME gilt: Steigt der Preis um 1 %, sinkt die Nachfrage um etwa 4 %.

Gelesen wird $ε$ wie die Grenzkosten. Beide sagen, was ein kleiner Schritt ungefähr bewirkt:

K^{'} (x) ε (x) = 15 : = - 4 : eine ME mehr 1 % teurer ⟶ etwa 15 GE mehr Kosten ⟶ etwa 4 % weniger Menge

Probe: 1 % teurer sind $80, 80$ GE je ME. Aus $100 - 2 x = 80, 8$ folgt $x = 9, 6$ . Von 10 ME auf 9,6 ME sind $\frac{- 0 , 4}{10} = - 4 %$ . ✓

Jetzt ihr

p_{N} (x) = 100 - 2 x

an der Stelle

x = 20

Lösung

ε (20) = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{60}{20} = - 1, 5

. Beim Preis 60 GE je ME gilt: Steigt der Preis um 1 %, sinkt die Nachfrage um etwa 1,5 %.

Beispiele

Dieselbe Rechnung achtmal. Schaut nur auf das Muster.

Geraden

	gegeben	Stelle	Preis $p$	Menge je Preis	$ε$
Bsp.	$p_{N} (x) = 100 - 2 x$	$x = 10$	$80$	$\frac{1}{- 2}$	$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{80}{10} = - 4$
a)	$p_{N} (x) = 100 - 2 x$	$x = 25$	$50$	$\frac{1}{- 2}$	$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{50}{25} = - 1$
b)	$p_{N} (x) = 100 - 2 x$	$x = 40$	$20$	$\frac{1}{- 2}$	$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{20}{40} = - 0, 25$
c)	$p_{N} (x) = 60 - 3 x$	Preis 45: $60 - 3 x = 45$ , $x = 5$	$45$	$\frac{1}{- 3}$	$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{45}{5} = - 3$
d)	$x (p) = 120 - 4 p$	Preis 20: $x = 120 - 80 = 40$	$20$	$x^{'} (p) = - 4$	$- 4 \cdot \frac{20}{40} = - 2$

Bsp., a) und b) liegen auf derselben Geraden: überall die Steigung $- 2$ , dreimal eine andere Elastizität.

Kurven

	gegeben	Stelle	Preis $p$	Menge je Preis	$ε$
e)	$p_{N} (x) = 64 - x^{2}$	$x = 4$	$48$	$p_{N}^{'} (x) = - 2 x = - 8$ : $\frac{1}{- 8}$	$\frac{1}{- 8} \cdot \frac{48}{4} = - 1, 5$
f)	$p_{N} (x) = 1000 x^{- 1}$	$x = 5$	$200$	$p_{N}^{'} (x) = - 1000 x^{- 2} = - 40$ : $\frac{1}{- 40}$	$\frac{1}{- 40} \cdot \frac{200}{5} = - 1$
g)	$p_{N} (x) = 1000 x^{- 1}$	$x = 100$	$10$	$p_{N}^{'} (x) = - 1000 x^{- 2} = - 0, 1$ : $\frac{1}{- 0 , 1}$	$\frac{1}{- 0 , 1} \cdot \frac{10}{100} = - 1$

An einer Kurve sitzt das Steigungsdreieck an der Tangente, hier bei e):

Tangente an p_N(x)=64-x² im Punkt (4|48) mit Steigungsdreieck

f) und g) liegen auf dem Graphen von $p_{N} (x) = \frac{1000}{x}$ , einer Hyperbel:

Hyperbel p_N(x)=1000/x mit zwei Tangentenstücken, beide ε=-1

Steil oder flach, beide Male $ε = - 1$ . Die Steigung allein sagt nichts über die Elastizität.

Bei f) sagt der Antwortsatz: 1 % teurer, etwa 1 % weniger. Nachgerechnet mit $x = \frac{1000}{p}$ :

Preis	Menge	Preis relativ	Menge relativ
$200 \to 202$	$5 \to \frac{1000}{202} \approx 4, 9505$	$+ 1 %$	$- 0, 99 %$
$200 \to 400$	$5 \to \frac{1000}{400} = 2, 5$	$+ 100 %$	$- 50 %$

Für 1 % stimmt der Satz fast genau. Für 100 % sagt er $- 100 %$ , also gar keine Kunden mehr. Die echte Änderung ist nur $- 50 %$ . Die Elastizität beschreibt kleine Schritte an ihrer Stelle.

Schema:

Das eben Gerechnete, allgemein:

Preiselastizität der Nachfrage an der Stelle $x$

1. Stelle: $x$ und Preis $p = p_{N} (x)$ . Ist der Preis gegeben: $p_{N} (x) = p$ nach $x$ lösen. 2. Menge je Preis: $\frac{1}{p _{N}^{'} ( x )}$ . Ist die Nachfrage als $x (p)$ gegeben: $x^{'} (p)$ . 3. $ε = Menge je Preis \cdot \frac{p}{x}$ 4. Antwortsatz: „Beim Preis … GE je ME gilt: Steigt der Preis um 1 %, sinkt die Nachfrage um etwa $∣ ε ∣$ %.“

Übungen: Elastizität an einer Stelle

Berechnet $ε$ und schreibt den Antwortsatz:

a) $p_{N} (x) = 120 - 3 x$ an der Stelle $x = 10$

b) $p_{N} (x) = 120 - 3 x$ an der Stelle $x = 30$

c) $p_{N} (x) = 80 - 0, 5 x^{2}$ an der Stelle $x = 4$

d) $p_{N} (x) = \frac{400}{x}$ an der Stelle $x = 8$

e) $p_{N} (x) = 90 - 2 x$ beim Preis 30 GE je ME

f) $x (p) = 200 - 5 p$ beim Preis 30 GE je ME

Lösungen Schritt für Schritt

	1. Stelle	2. Menge je Preis	3. $ε$	4. Antwort: 1 % teurer
a)	$x = 10$ , $p = 90$	$\frac{1}{- 3}$	$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{90}{10} = - 3$	beim Preis 90: etwa 3 % weniger Nachfrage
b)	$x = 30$ , $p = 30$	$\frac{1}{- 3}$	$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{30}{30} \approx - 0, 33$	beim Preis 30: etwa 0,33 % weniger Nachfrage
c)	$x = 4$ , $p = 72$	$p_{N}^{'} (x) = - x$ : $\frac{1}{- 4}$	$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{72}{4} = - 4, 5$	beim Preis 72: etwa 4,5 % weniger Nachfrage
d)	$x = 8$ , $p = 50$	$p_{N}^{'} (x) = - 400 x^{- 2}$ : $\frac{1}{- 6 , 25}$	$\frac{1}{- 6 , 25} \cdot \frac{50}{8} = - 1$	beim Preis 50: etwa 1 % weniger Nachfrage
e)	$90 - 2 x = 30$ : $x = 30$ , $p = 30$	$\frac{1}{- 2}$	$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{30}{30} = - 0, 5$	beim Preis 30: etwa 0,5 % weniger Nachfrage
f)	$p = 30$ : $x = 200 - 150 = 50$	$x^{'} (p) = - 5$	$- 5 \cdot \frac{30}{50} = - 3$	beim Preis 30: etwa 3 % weniger Nachfrage

Elastisch, unelastisch, proportional elastisch

Die Einteilung vergleicht die beiden Prozentsätze: Ändert sich die Menge stärker als der Preis, gleich stark oder schwächer? Drei Stellen der Geraden $p_{N} (x) = 100 - 2 x$ zeigen alle drei Fälle:

Stelle	Preis	$ε$	1 % teurer: Menge	Menge reagiert	Name
$x = 10$	$80$	$- 4$	$- 4 %$	stärker als der Preis, $∣ ε ∣ > 1$	elastisch
$x = 25$	$50$	$- 1$	$- 1 %$	gleich stark, $∣ ε ∣ = 1$	proportional elastisch
$x = 40$	$20$	$- 0, 25$	$- 0, 25 %$	schwächer als der Preis, $∣ ε ∣ < 1$	unelastisch

Merken: Vergleicht $∣ ε ∣$ mit 1. Größer als 1: elastisch. Kleiner als 1: unelastisch. Genau 1: proportional elastisch.

Entschieden wird am Betrag. $- 4$ ist die kleinere Zahl als $- 0, 25$ , aber 4 % Reaktion sind mehr als 0,25 %. Unelastisch heißt: Die Menge reagiert schwächer als der Preis. Sie reagiert trotzdem.

Bereiche einer Nachfrage

Ist die Nachfrage $p_{N} (x) = 100 - 2 x$ elastisch? Das hängt von der Stelle ab. Die Grenze liegt dort, wo $ε = - 1$ ist. Um sie zu finden, schreibt ihr $ε (x)$ als einen Bruch:

ε (x) = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{100 - 2 x}{x} = \frac{100 - 2 x}{- 2 x}

Grenze:

\frac{100 - 2 x}{- 2 x} = - 1 \cdot (- 2 x) ⟹ 100 - 2 x = 2 x ⟹ x = 25

Teststellen links und rechts: $ε (10) = \frac{80}{- 20} = - 4$ und $ε (40) = \frac{20}{- 80} = - 0, 25$ .

> - elastisch für $0 < x < 25$ (Preise über 50 GE je ME) > - proportional elastisch bei $x = 25$ (Preis 50 GE je ME) > - unelastisch für $25 < x < 50$ (Preise unter 50 GE je ME)

Elastizitätsbereiche entlang der Geraden p_N(x)=100-2x

An den Enden der Geraden liegen die Enden der Skala:

Stelle	$ε$	Name
Sättigungsmenge $x = 50$	$ε (50) = \frac{0}{- 100} = 0$	vollkommen unelastisch: Die Menge reagiert gar nicht.
nahe beim Höchstpreis	$ε (1) = \frac{98}{- 2} = - 49$ , $ε (0, 1) = \frac{99 , 8}{- 0 , 2} = - 499$	vollkommen elastisch: $∣ ε ∣$ wächst ohne Ende.

Dasselbe bei zwei anderen Nachfragen:

a) $p_{N} (x) = 60 - 3 x$

ε (x) = \frac{1}{- 3} \cdot \frac{60 - 3 x}{x} = \frac{60 - 3 x}{- 3 x} \frac{60 - 3 x}{- 3 x} = - 1 ⟹ 60 - 3 x = 3 x ⟹ x = 10

Teststellen: $ε (5) = \frac{45}{- 15} = - 3$ und $ε (15) = \frac{15}{- 45} \approx - 0, 33$ .

> elastisch für $0 < x < 10$ (Preise über 30 GE je ME), unelastisch für $10 < x < 20$ (Preise unter 30 GE je ME)

b) $p_{N} (x) = 27 - x^{2}$ mit $p_{N}^{'} (x) = - 2 x$

ε (x) = \frac{1}{- 2 x} \cdot \frac{27 - x ^{2}}{x} = \frac{27 - x ^{2}}{- 2 x ^{2}} \frac{27 - x ^{2}}{- 2 x ^{2}} = - 1 ⟹ 27 - x^{2} = 2 x^{2} ⟹ x^{2} = 9 ⟹ x = 3

Teststellen: $ε (1) = \frac{26}{- 2} = - 13$ und $ε (4) = \frac{11}{- 32} \approx - 0, 34$ . Die Sättigungsmenge ist $27 \approx 5, 2$ .

> elastisch für $0 < x < 3$ (Preise über 18 GE je ME), unelastisch für $3 < x < 5, 2$ (Preise unter 18 GE je ME)

Schema:

Das eben Gerechnete, allgemein:

Bereiche einer Nachfrage

1. $ε (x)$ als einen Bruch aufstellen: $ε (x) = \frac{1}{p _{N}^{'} ( x )} \cdot \frac{p _{N} ( x )}{x} = \frac{p _{N} ( x )}{x \cdot p _{N}^{'} ( x )}$ 2. Grenze: $ε (x) = - 1$ lösen. 3. Links und rechts der Grenze je eine Teststelle einsetzen und einteilen. 4. Bereiche mit Mengen und Preisen angeben.

Übungen: Einteilen und Bereiche

Berechnet $ε$ und teilt ein:

a) $p_{N} (x) = 90 - 3 x$ an der Stelle $x = 5$

b) $p_{N} (x) = 90 - 3 x$ an der Stelle $x = 15$

c) $p_{N} (x) = 90 - 3 x$ an der Stelle $x = 20$

Bestimmt die Bereiche:

d) $p_{N} (x) = 48 - 4 x$

e) $p_{N} (x) = 75 - x^{2}$

Lösungen Schritt für Schritt

	Stelle	$ε$	$∣ ε ∣$ gegen 1	Name
a)	$x = 5$ , $p = 75$	$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{75}{5} = - 5$	$5 > 1$	elastisch
b)	$x = 15$ , $p = 45$	$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{45}{15} = - 1$	$1 = 1$	proportional elastisch
c)	$x = 20$ , $p = 30$	$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{30}{20} = - 0, 5$	$0, 5 < 1$	unelastisch

ε (x) = \frac{1}{- 4} \cdot \frac{48 - 4 x}{x} = \frac{48 - 4 x}{- 4 x} \frac{48 - 4 x}{- 4 x} = - 1 ⟹ 48 - 4 x = 4 x ⟹ x = 6

Teststellen: $ε (3) = \frac{36}{- 12} = - 3$ und $ε (9) = \frac{12}{- 36} \approx - 0, 33$ .

> elastisch für $0 < x < 6$ (Preise über 24 GE je ME), unelastisch für $6 < x < 12$ (Preise unter 24 GE je ME)

ε (x) = \frac{1}{- 2 x} \cdot \frac{75 - x ^{2}}{x} = \frac{75 - x ^{2}}{- 2 x ^{2}} \frac{75 - x ^{2}}{- 2 x ^{2}} = - 1 ⟹ 75 - x^{2} = 2 x^{2} ⟹ x^{2} = 25 ⟹ x = 5

Teststellen: $ε (2) = \frac{71}{- 8} \approx - 8, 9$ und $ε (8) = \frac{11}{- 128} \approx - 0, 09$ . Die Sättigungsmenge ist $75 \approx 8, 66$ .

> elastisch für $0 < x < 5$ (Preise über 50 GE je ME), unelastisch für $5 < x < 8, 66$ (Preise unter 50 GE je ME)

Elastizität und Erlös

Die Elastizität sagt voraus, ob eine Preiserhöhung den Erlös steigert oder senkt.

Zum Beispiel bringen auf der Nachfrage $p_{N} (x) = 100 - 2 x$ zwei Stellen denselben Erlös $E = p \cdot x$ : Bei $x = 10$ sind es $80 \cdot 10 = 800$ GE, bei $x = 40$ sind es $20 \cdot 40 = 800$ GE. An beiden Stellen steigt der Preis um 1 %. Wie stark die Menge antwortet, sagt die Elastizität: bei $x = 10$ ist $ε = - 4$ , bei $x = 40$ ist $ε = - 0, 25$ .

Stelle	Preis $+ 1 %$	Menge	Erlös	Erlös relativ
$x = 10$ , $ε = - 4$	$80 \to 80, 8$	$10 \to 9, 6$ $(- 4 %)$	$800 \to 775, 68$	$- 3, 04 %$
$x = 40$ , $ε = - 0, 25$	$20 \to 20, 2$	$40 \to 39, 9$ $(- 0, 25 %)$	$800 \to 805, 98$	$+ 0, 75 %$

Warum? Der Erlös $p \cdot x$ ist die Fläche des Rechtecks unter dem Punkt. Der höhere Preis macht das Rechteck höher, die kleinere Menge macht es schmaler:

Erlösrechtecke bei x=10 und x=40 mit Gewinn- und Verluststreifen

Oben kommt knapp 1 % des Erlöses dazu. Rechts fällt $∣ ε ∣$ % des Erlöses weg. Zusammen:

x = 10 : x = 40 : etwa + 1 % - 4 % = - 3 % etwa + 1 % - 0, 25 % = + 0, 75 % genau: + 0, 96 % - 4 % = - 3, 04 % genau: + 0, 9975 % - 0, 25 % = + 0, 7475 %

Preis + 1 % ⟹ Erl \overset{o}{¨} s etwa (1 - ∣ ε ∣) %

Und wenn der Preis um 1 % sinkt:

Stelle	Preis $- 1 %$	Menge	Erlös	Erlös relativ
$x = 10$ , $ε = - 4$	$80 \to 79, 2$	$10 \to 10, 4$ $(+ 4 %)$	$800 \to 823, 68$	$+ 2, 96 %$
$x = 40$ , $ε = - 0, 25$	$20 \to 19, 8$	$40 \to 40, 1$ $(+ 0, 25 %)$	$800 \to 793, 98$	$- 0, 75 %$

Die Erlösregel

Ob der Preis gewinnt oder die Menge, entscheidet $∣ ε ∣$ :

Bereich	Preis $+ 1 %$ : Erlös etwa $(1 - ∣ ε ∣) %$	mehr Erlös durch
elastisch, $∣ ε ∣ > 1$	negativ: Erlös sinkt	Preis senken
proportional elastisch, $∣ ε ∣ = 1$	$0 %$ : Erlös bleibt fast gleich
unelastisch, $∣ ε ∣ < 1$	positiv: Erlös steigt	Preis erhöhen

Merken: Elastisch: Preis senken bringt mehr Erlös. Unelastisch: Preis erhöhen bringt mehr Erlös.

Jetzt ihr

p_{N} (x) = 60 - 3 x

an der Stelle

x = 15

. Bringt ein höherer oder ein niedrigerer Preis mehr Erlös?

Lösung

p = 15

ε = \frac{1}{- 3} \cdot \frac{15}{15} \approx - 0, 33

, unelastisch. Preis

+ 1 %

: Erlös etwa

(1 - 0, 33) % = + 0, 67 %

. Preis erhöhen.

Übungen: Erlös bei einer Preisänderung

Berechnet $ε$ , teilt ein und schätzt die Erlösänderung bei 1 % höherem Preis:

a) $p_{N} (x) = 100 - 2 x$ an der Stelle $x = 30$

b) $p_{N} (x) = 60 - 3 x$ an der Stelle $x = 4$

c) $p_{N} (x) = \frac{400}{x}$ an der Stelle $x = 8$

d) $x (p) = 200 - 5 p$ beim Preis 10 GE je ME

Lösungen Schritt für Schritt

	Stelle	$ε$	Name	Erlös bei $+ 1 %$ Preis	mehr Erlös durch
a)	$x = 30$ , $p = 40$	$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{40}{30} \approx - 0, 67$	unelastisch	$(1 - 0, 67) % \approx + 0, 33 %$	Preis erhöhen
b)	$x = 4$ , $p = 48$	$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{48}{4} = - 4$	elastisch	$(1 - 4) % = - 3 %$	Preis senken
c)	$x = 8$ , $p = 50$	$\frac{1}{- 6 , 25} \cdot \frac{50}{8} = - 1$	proportional elastisch	$(1 - 1) % = 0 %$	weder noch: Der Erlös bleibt fast gleich.
d)	$p = 10$ : $x = 150$	$- 5 \cdot \frac{10}{150} \approx - 0, 33$	unelastisch	$(1 - 0, 33) % \approx + 0, 67 %$	Preis erhöhen

Das Erlösmaximum liegt bei $\varepsilon=-1$

Bei $p_{N} (x) = 100 - 2 x$ ist die Nachfrage links von $x = 25$ elastisch und rechts davon unelastisch. Der Erlös $E (x) = (100 - 2 x) \cdot x = 100 x - 2 x^{2}$ ist die bekannte Parabel. Übereinander gezeichnet:

Nachfragegerade und Erlösparabel übereinander

Das Maximum findet ihr auf zwei Wegen:

ε (x) = - 1 : E^{'} (x) = 0 : \frac{100 - 2 x}{- 2 x} = - 1 100 - 4 x = 0 ⟹ 100 - 2 x = 2 x ⟹ x = 25 ⟹ x = 25

Beide Wege treffen dieselbe Stelle, mit $E (25) = 1250$ GE. Der Grund steht in der Erlösregel: Bei $∣ ε ∣ = 1$ ändert 1 % Preis den Erlös um etwa $(1 - 1) % = 0 %$ . Die Erlösparabel ist dort waagerecht, und das ist ihr Hochpunkt.

Stelle	$ε$	Bereich	$E^{'} (x)$	Preis senken, also mehr Menge: Erlös
$x = 10$	$- 4$	elastisch	$60 > 0$	steigt
$x = 25$	$- 1$	proportional elastisch	$0$	Hochpunkt
$x = 40$	$- 0, 25$	unelastisch	$- 60 < 0$	sinkt

Mehr Menge heißt auf der Nachfragekurve: niedrigerer Preis. Im elastischen Bereich bringt das mehr Erlös, der Grenzerlös ist positiv. Im unelastischen Bereich bringt es weniger, der Grenzerlös ist negativ.

Merken: Im Erlösmaximum ist die Nachfrage proportional elastisch, $ε = - 1$ .

Der Cournotsche Punkt liegt im elastischen Bereich. Mit den Kosten $K (x) = 20 x + 100$ ist $G (x) = 100 x - 2 x^{2} - 20 x - 100$ und $G^{'} (x) = 80 - 4 x = 0$ bei $x = 20$ , Preis $p_{N} (20) = 60$ GE je ME. Dort ist $ε (20) = \frac{60}{- 40} = - 1, 5$ : elastisch. Bei positiven Grenzkosten ist das immer so: Im Gewinnmaximum ist $E^{'} (x) = K^{'} (x) > 0$ , und positiver Grenzerlös heißt elastisch.

Jetzt ihr

p_{N} (x) = 80 - 4 x

. Bei welcher Menge ist der Erlös am größten? Sucht die Stelle mit

ε = - 1

Lösung

\frac{80 - 4 x}{- 4 x} = - 1

, also

80 - 4 x = 4 x

und

x = 10

, Preis 40 GE je ME,

E = 400

GE. Probe:

E^{'} (x) = 80 - 8 x = 0

bei

x = 10

✓

Übungen: Erlösmaximum

Bestimmt die erlösmaximale Menge über $ε = - 1$ und prüft mit $E^{'} (x) = 0$ :

a) $p_{N} (x) = 120 - 3 x$

b) $p_{N} (x) = 90 - 1, 5 x$

c) $p_{N} (x) = 108 - x^{2}$

Lösungen Schritt für Schritt

ε (x) = \frac{120 - 3 x}{- 3 x} = - 1 ⟹ 120 - 3 x = 3 x ⟹ x = 20

> Erlösmaximum bei $x = 20$ ME, Preis $p_{N} (20) = 60$ GE je ME, $E (20) = 1200$ GE. > Probe: $E (x) = 120 x - 3 x^{2}$ , $E^{'} (x) = 120 - 6 x = 0$ bei $x = 20$ ✓

ε (x) = \frac{90 - 1 , 5 x}{- 1 , 5 x} = - 1 ⟹ 90 - 1, 5 x = 1, 5 x ⟹ x = 30

> Erlösmaximum bei $x = 30$ ME, Preis $p_{N} (30) = 45$ GE je ME, $E (30) = 1350$ GE. > Probe: $E (x) = 90 x - 1, 5 x^{2}$ , $E^{'} (x) = 90 - 3 x = 0$ bei $x = 30$ ✓

ε (x) = \frac{108 - x ^{2}}{- 2 x ^{2}} = - 1 ⟹ 108 - x^{2} = 2 x^{2} ⟹ x^{2} = 36 ⟹ x = 6

> Erlösmaximum bei $x = 6$ ME, Preis $p_{N} (6) = 72$ GE je ME, $E (6) = 432$ GE. > Probe: $E (x) = 108 x - x^{3}$ , $E^{'} (x) = 108 - 3 x^{2} = 0$ bei $x = 6$ ✓

Theorie: Warum Prozent durch Prozent

Die Elastizität hat keine Einheit

Die Steigung hängt an den Einheiten, die Elastizität nicht. Zählt man bei $p_{N} (x) = 100 - 2 x$ in Stück ( $s$ ) statt in ME, mit 1 ME = 100 Stück, dann sind 10 ME genau 1000 Stück:

gezählt in	Nachfrage	Stelle	Steigung	$ε$
ME	$p = 100 - 2 x$	$x = 10$	$- 2$ GE je ME	$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{80}{10} = - 4$
Stück	$p = 100 - 0, 02 s$	$s = 1000$	$- 0, 02$ GE je Stück	$\frac{1}{- 0 , 02} \cdot \frac{80}{1000} = - 4$

Die Steigung wird hundertmal kleiner, die Elastizität bleibt $- 4$ . Steigt der Preis um 1 %, sinkt die Menge in beiden Zählweisen gleich:

\frac{Δ x}{x} = \frac{- 0 , 4 ME}{10 ME} = - 4 % \frac{Δ s}{s} = \frac{- 40 St u ¨ ck}{1000 St u ¨ ck} = - 4 %

Die Einheit steht oben und unten und fällt weg. Prozent durch Prozent hat darum keine Einheit. So lassen sich Elastizitäten verschiedener Güter direkt vergleichen, wie Brot mit $ε = - 0, 2$ und Fahrrad mit $ε = - 50$ .

Elastizität für jedes Paar aus Ursache und Wirkung

Elastizität gibt es für jedes Paar aus Ursache und Wirkung. Sie sagt: Die Ursache steigt um 1 %. Um wie viel Prozent ändert sich dann die Wirkung?

ε = \frac{relative A ¨ nderung der Wirkung}{relative A ¨ nderung der Ursache}

	Ursache	Wirkung	Elastizität
Nachfrage	Preis $p$	Menge $x$	$ε = \frac{Δ x}{Δ p} \cdot \frac{p}{x}$
Kosten	Menge $x$	Kosten $K$	$ε_{K} = \frac{Δ K}{Δ x} \cdot \frac{x}{K}$

An einer Stelle wird $\frac{Δ K}{Δ x}$ zur Ableitung $K^{'} (x)$ , den Grenzkosten. Und $\frac{x}{K ( x )}$ ist der Kehrwert der Stückkosten $k (x) = \frac{K ( x )}{x}$ . Das ist die Kostenelastizität:

ε_{K} (x) = K^{'} (x) \cdot \frac{x}{K ( x )} = \frac{K ^{'} ( x )}{k ( x )} = \frac{Grenzkosten}{St u ¨ ckkosten}

Zum Beispiel $K (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 32$ mit $K^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 15$ :

Stelle	$K^{'} (x)$	$K (x)$	$k (x) = \frac{K ( x )}{x}$	$ε_{K} = \frac{K ^{'} ( x )}{k ( x )}$
$x = 2$	$12 - 24 + 15 = 3$	$8 - 24 + 30 + 32 = 46$	$\frac{46}{2} = 23$	$\frac{3}{23} \approx 0, 13$
$x = 4$	$48 - 48 + 15 = 15$	$64 - 96 + 60 + 32 = 60$	$\frac{60}{4} = 15$	$\frac{15}{15} = 1$
$x = 6$	$108 - 72 + 15 = 51$	$216 - 216 + 90 + 32 = 122$	$\frac{122}{6} \approx 20, 33$	$\frac{51}{20 , 33} \approx 2, 51$

Bei $x = 2$ heißt das: 1 % mehr Menge, etwa 0,13 % mehr Kosten.

Die Stückkosten $k (x)$ sind die Kosten je ME im Durchschnitt. Die Grenzkosten $K^{'} (x)$ sind ungefähr die Kosten der nächsten ME. Kostet die nächste ME mehr als der Durchschnitt, steigt der Durchschnitt. Genauso hebt ein neuer Schüler, der größer ist als der Durchschnitt, die Durchschnittsgröße seiner Klasse:

$ε_{K}$	Grenzkosten und Stückkosten	Stückkosten	im Beispiel
$ε_{K} < 1$	$K^{'} (x) < k (x)$	fallen	$x = 2$
$ε_{K} = 1$	$K^{'} (x) = k (x)$	Minimum: Betriebsoptimum	$x = 4$
$ε_{K} > 1$	$K^{'} (x) > k (x)$	steigen	$x = 6$