Integralrechnung (allgemein)

Potenzen integrieren

Integrieren ist Ableiten, rückwärts. Zuerst das Ableiten, das kennst du.

Jetzt rückwärts: Wir integrieren $x^3$.

Stimmt das? Wir prüfen.

Warum + c?

Beim Ableiten ist das $c$ weggefallen. Das gilt für jede feste Zahl.

Das Ergebnis heißt Stammfunktion. Wegen $+c$ gibt es viele davon, eine für jede Zahl $c$.

Die Potenzregel

Ein neues Beispiel. $\int x^{5}dx$ heißt: Integriere $x^5$. Das $dx$ sagt: Die Variable ist $x$.

Das geht mit jedem Exponenten. Wir schreiben $n$ für irgendeinen Exponenten.

Das ist die Potenzregel:

Vier Beispiele, immer dasselbe Muster.

Merken: Exponent um 1 nach oben, durch den neuen Exponenten teilen, $+c$ dahinter.

b) $\int x^{4}dx$ (Lösung: $\frac{1}{5}{x}^5+c$)

c) $\int xdx$ (Lösung: $x=x^1$, also $\frac{1}{2}{x}^2+c$)

Eine Zahl davor: die Faktorregel

Steht eine Zahl vor der Potenz, bleibt sie erhalten. Sie kommt oben in den Bruch.

Oft lässt sich der Bruch danach kürzen:

Eine Zahl allein ist eine Zahl mal $x^0$, denn $x^0=1$:

Das ist die Faktorregel ($k$ ist eine feste Zahl):

Merken: Die Zahl davor bleibt stehen und kommt oben in den Bruch.

b) $\int 12x^{5}dx$ (Lösung: $\frac{12}{6}{x}^6+c=2x^6+c$)

c) $\int 7dx$ (Lösung: $7x+c$)

Summen: die Summenregel

Bei einer Summe integrierst du jeden Summanden für sich.

Die Probe: Ableiten gibt die Summe zurück.

Das ist die Summenregel:

Noch drei Summen, Summand für Summand:

Merken: Summand für Summand integrieren, am Ende einmal $+c$.

b) $\int (x^3-4x+2)dx$ (Lösung: $\frac{1}{4}{x}^4-2x^2+2x+c$)

c) $\int (5x^4+3x^2-6)dx$ (Lösung: $x^5+x^3-6x+c$)

Brüche und Wurzeln integrieren

Ein Bruch mit $x$ im Nenner ist eine Potenz mit negativem Exponenten: $\frac{1}{x^3}=x^{-3}$. Dann gilt die Potenzregel wie gewohnt.

Gekürzt: $\frac{1}{-2}{x}^{-2}=-\frac{1}{2}{x}^{-2}$.

Probe: ${\left(-\frac{1}{2}{x}^{-2}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{2}\cdot (-2)x^{-3}=x^{-3}$ ✓

Vorsicht bei negativen Exponenten. Um 1 größer heißt auf dem Zahlenstrahl: ein Schritt nach rechts.

Auch eine Wurzel ist eine Potenz. Ihr Exponent ist ein Bruch: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.

Der neue Exponent ist $\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$. Durch $\frac{3}{2}$ teilen heißt: mal $\frac{2}{3}$.

Bei $x^{-\frac{1}{2}}$ in der Tabelle unten gilt: $-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$, ein Schritt nach rechts.

Merken: Erst als Potenz schreiben, dann wie gewohnt integrieren.

b) $\int \frac{8}{x^3}dx$ (Lösung: $\int 8x^{-3}dx=-4x^{-2}+c$)

c) $\int \sqrt{x^5}dx$ (Lösung: $\int x^{\frac{5}{2}}dx=\frac{2}{7}{x}^{\frac{7}{2}}+c$)

d) $\int \frac{3}{\sqrt{x}}dx$ (Lösung: $\int 3x^{-\frac{1}{2}}dx=6x^{\frac{1}{2}}+c$)

Grundintegrale: 1/x, e hoch x, sin x, cos x

Einen Exponenten schafft die Potenzregel nicht: die $-1$.

Aus dem Ableiten kennst du: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ und $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$.

Zuerst $\ln$: Rückwärts gelesen ist $\ln$ die Stammfunktion von $\frac{1}{x}$.

Der Betrag $|x|$ ist nötig, weil es $\ln$ nur für positive Zahlen gibt. $\frac{1}{x}$ gibt es auch links von 0.

Bei $\sin x$ und $\cos x$ liest du den Kreis der Ableitungen rückwärts.

Die Grundintegrale, jedes mit Probe:

Faktorregel und Summenregel gelten auch hier:

Merken: $\frac{1}{x}$, $e^x$, $\sin x$ und $\cos x$ liest du aus der Ableitungstabelle, rückwärts. Das Minus steht bei $\sin x$.

b) $\int (-4\sin x)dx$ (Lösung: $4\cos x+c$)

c) $\int \left(6\cos x+\frac{2}{x}\right)dx$ (Lösung: $6\sin x+2\ln |x|+c$)

d) $\int \left(x^3+\frac{1}{x}+\sin x\right)dx$ (Lösung: $\frac{1}{4}{x}^4+\ln |x|-\cos x+c$)

Innen ax + b: durch a teilen

Beim Ableiten nach der Kettenregel kommt die Zahl von innen nach vorn. Beim Integrieren teilst du darum durch sie.

Probe: ${\left(\frac{1}{3}{e}^{3x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot 3e^{3x}=e^{3x}$ ✓

Steht innen noch $+b$, ändert das nichts. Das $b$ fällt beim Ableiten weg.

In der letzten Zeile: außen die Potenzregel, $\frac{1}{4}(2x+1{)}^4$, dann durch $2$ teilen.

Allgemein ($F$ ist eine Stammfunktion von $f$):

Merken: Außen integrieren wie gewohnt, dann durch $a$ teilen. Das $b$ spielt keine Rolle.

Das klappt nur, wenn innen $ax+b$ steht. Bei $e^{x^2}$ ist die Ableitung von innen $2x$, keine feste Zahl. Durch $2x$ teilen geht dann nicht.

b) $\int \sin (2x-3)dx$ (Lösung: $-\frac{1}{2}\cos (2x-3)+c$)

c) $\int (3x-1{)}^{4}dx$ (Lösung: $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{5}(3x-1{)}^5+c=\frac{1}{15}(3x-1{)}^5+c$)

d) $\int \frac{1}{2x+5}dx$ (Lösung: $\frac{1}{2}\ln |2x+5|+c$)

Erst umformen, dann integrieren

Für Produkte gibt es keine eigene Regel. Faktor für Faktor integrieren ist falsch: Bei $\int x\cdot xdx$ gäbe das $\frac{1}{2}{x}^2\cdot \frac{1}{2}{x}^2=\frac{1}{4}{x}^4$, abgeleitet aber $x^3$, nicht $x^2$. Darum zuerst umformen.

Bei einem Bruch mit Summe im Zähler bekommt jeder Summand den Nenner:

Merken: Produkte ausmultiplizieren, Brüche aufteilen, dann Summand für Summand.

b) $\int \frac{6x^2+3}{x}dx$ (Lösung: $\int \left(6x+\frac{3}{x}\right)dx=3x^2+3\ln |x|+c$)

c) $\int \frac{2x+3}{\sqrt{x}}dx$ (Lösung: $\int \left(2x^{\frac{1}{2}}+3x^{-\frac{1}{2}}\right)dx=\frac{4}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+6x^{\frac{1}{2}}+c$)

Schema: unbestimmtes Integral

1. Umformen: ausmultiplizieren, Brüche aufteilen, Wurzeln und Brüche als Potenz schreiben. 2. Summand für Summand integrieren: Potenzregel, Grundintegrale, bei $ax+b$ durch $a$ teilen. Eine Zahl davor bleibt stehen. 3. Einmal $+c$ ans Ende. 4. Probe: ableiten.

Das bestimmte Integral: Fläche unter dem Graphen

Wie groß ist die Fläche $A$ unter $f(x)=3x^2+1$ von $x=0$ bis $x=2$? Der obere Rand ist krumm. Für ein Rechteck gibt es eine Formel: Höhe mal Breite. Also legen wir vier Rechtecke hinein, jedes $0,5$ breit. Ihre Höhen sind $f(0)=1$, $f(0,5)=1,75$, $f(1)=4$, $f(1,5)=7,75$ und $f(2)=13$.

Die Summe der Rechtecke mit linker Höhe heißt Untersumme $U_4$, mit rechter Höhe Obersumme $O_4$ (4 Rechtecke):

Also $7,25<A<13,25$. Mit dünneren Rechtecken wird die Schätzung genauer. Ein zweites Beispiel, $f(x)=x^2$ von 0 bis 3, mit 6, dann 12, dann 60 Rechtecken:

Die Summen $6,875$, $7,91$, $8,78$ nähern sich einer Zahl: 9. Diese Zahl heißt bestimmtes Integral, geschrieben ${\int }_0^3{x}^{2}dx$. 0 und 3 sind die Grenzen.

Ausrechnen musst du sie nicht mit Rechtecken. Die Stammfunktion $F(x)=\frac{1}{3}{x}^3$ liefert sie direkt: obere Grenze einsetzen, untere Grenze einsetzen, abziehen. Dass das immer stimmt, sagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Hier siehst du es: Heraus kommt genau die 9.

Die Fläche ist 9 Flächeneinheiten (FE). Auch das erste Beispiel geht auf: ${\int }_0^2(3x^2+1)dx=[x^3+x{]}_0^2=10$, und 10 liegt zwischen 7,25 und 13,25.

Das $+c$ lässt du hier weg. Es fällt beim Abziehen heraus: $(F(b)+c)-(F(a)+c)=F(b)-F(a)$.

Schema: bestimmtes Integral

Die Grenzen heißen allgemein $a$ (unten) und $b$ (oben).

1. Stammfunktion $F$ bilden. Schreibweise: $[F(x){]}_a^b$, die Grenzen stehen an der eckigen Klammer. 2. Obere Grenze einsetzen: $F(b)$. 3. Untere Grenze einsetzen: $F(a)$. 4. Abziehen: $F(b)-F(a)$.

Vier Beispiele:

i) ${\int }_1^{3}2xdx=[x^2{]}_1^3=9-1=8$

ii) ${\int }_0^{2}3x^{2}dx=[x^3{]}_0^2=8-0=8$

iii) ${\int }_{-1}^2{x}^{2}dx={\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_{-1}^2=\frac{8}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=3$

iv) ${\int }_0^3(-2x)dx=[-x^2{]}_0^3=-9-0=-9$

In iii) wird die Klammer wichtig: minus minus ergibt plus. In iv) liegt der Graph von $-2x$ unter der x-Achse. Dann ist das Integral negativ. Eine Fläche ist nie negativ: Sie ist der Betrag, hier 9 FE.

b) ${\int }_0^1(6x^2+2)dx$ (Lösung: $[2x^3+2x{]}_0^1=4-0=4$)

c) ${\int }_0^2{e}^{x}dx$ (Lösung: $[e^x{]}_0^2=e^2-1\approx 6,39$)