Rekonstruktion

Bei der Rekonstruktion (man nennt sie auch Trassierung) geht es darum, eine Funktion zu erstellen, die bestimmte Bedingungen erfüllt.

Es sind schon einige Eigenschaften der Funktion bekannt und aus diesen Eigenschaften sollen wir die Funktion selbst also 'rekonstruieren'.

Beispiel 1: Hochpunkt und Wendepunkt

Gesucht ist die ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Hochpunkt $H(2|4)$ und dem Wendepunkt $W(3|2)$.

Ansatz:

Der Grad sagt euch, wie viele Buchstaben ihr sucht:

Dritten Grades heißt hier: gesucht sind $a$, $b$, $c$ und $d$. Für $x$ setzt ihr Zahlen ein.

Der Hochpunkt braucht $f^{\prime }$ und der Wendepunkt braucht $f^{\prime \prime }$, also leitet ihr mit den Buchstaben schon jetzt ab:

Gleichungen:

Aus jeder Eigenschaft macht ihr eine Gleichung:

Schaut auf die ersten beiden Zeilen. $H(2|4)$ ist ein Punkt mit $x=2$ und $y=4$, und $f(x)$ ist das $y$. So wird aus $H(2|4)$ die Gleichung $f(2)=4$. $H$ ist aber auch ein Hochpunkt, und dort ist die Steigung $m$ gleich null. $f^{\prime }(x)$ ist das $m$, also gilt außerdem $f^{\prime }(2)=0$. Darum steht $H(2|4)$ zweimal da, einmal für jede Gleichung.

Vier Buchstaben, vier Gleichungen.

Lösen:

Für $f(x)$ fehlen noch $a$, $b$, $c$ und $d$, also löst ihr das Gleichungssystem.

Schaut auf die Spalte mit dem $d$. Oben in III und in I steht dort dasselbe $+d$, und beim Abziehen fällt es weg. So verschwindet in jedem Schritt ein Buchstabe, bis nur noch $a$ übrig ist. Dieses Verfahren heißt Additionsverfahren.

Mit $a=1$ liefert jede Gleichung den nächsten Buchstaben:

Ergebnis:

Probe:

Schema

Dasselbe noch einmal allgemein, für jede Aufgabe dieser Sorte:

Merken: So viele Gleichungen wie Buchstaben. Hochpunkt, Tiefpunkt und Wendepunkt geben je zwei Gleichungen, der Sattelpunkt drei.

Jede Eigenschaft wird eine Gleichung

Alle Sorten, die in den Aufgaben vorkommen, an einer Kurve:

eine Gleichung

zwei Gleichungen

drei Gleichungen

Hochpunkt und Tiefpunkt geben dieselben zwei Gleichungen. Welcher von beiden es ist, steht schon in der Aufgabe. $f^{\prime \prime }(2)<0$ ist eine Ungleichung und kommt nicht ins Gleichungssystem.

Jetzt ihr

Beispiel 2: punktsymmetrisch zum Ursprung

Gesucht ist die ganzrationale Funktion dritten Grades, punktsymmetrisch zum Ursprung, mit dem Tiefpunkt $T(2|-16)$.

Zwei Buchstaben, zwei Gleichungen.

Bei zwei Gleichungen ist Einsetzen kürzer als Abziehen:

Das ist das Einsetzungsverfahren, der zweite Weg durch ein Gleichungssystem.

Der zweimal gespiegelte Punkt $(-3|9)$ liegt wieder auf dem Graphen, denn $f(-3)=-27+36=9$. In $f(x)=-f(-x)$ steckt beides: das innere Minus in $f(-x)$ spiegelt an der y-Achse, das äußere Minus davor an der x-Achse.

Beispiel 3: achsensymmetrisch zur y-Achse

Gesucht ist die ganzrationale Funktion vierten Grades, achsensymmetrisch zur y-Achse, mit dem Hochpunkt $H(2|25)$ und einer Nullstelle bei $x=3$.

$e$ bleibt stehen, denn $e=e\cdot x^0$ und $0$ ist gerade.

Drei Buchstaben, drei Gleichungen.

Achsensymmetrisch heißt einmal spiegeln, an der y-Achse: $f(-x)=f(x)$.

Beispiel 4: Sattelpunkt

Gesucht ist die ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Sattelpunkt $S(2|3)$. Sie schneidet die y-Achse bei $-5$.

Vier Buchstaben, vier Gleichungen. $S(2|3)$ liefert drei davon.

Übungen

Lösungen zu Jetzt ihr

Theorie: warum die Zahl der Bedingungen passt

Sobald für $x$ eine Zahl eingesetzt ist, bleiben nur noch die Buchstaben stehen:

Jede Bedingung liefert genau eine solche Gleichung, und jeder Buchstabe braucht eine.

Symmetrie streicht Buchstaben, sie liefert keine Gleichung. Fehlt am Ende eine Gleichung, dann fehlt meistens der y-Wert eines Punktes.