Nachfragefunktion (Preisfunktion), Marktgleichgewicht

Die Preisfunktion sagt für jede Menge, zu welchem Preis diese Menge gekauft wird. Ein Betrieb verkauft Apfelsaft. Seine Preisfunktion lautet

p_{N} (x) = 20 - 2 x

Dabei ist $x$ die Menge in Mengeneinheiten (ME) und $p$ der Preis in Geldeinheiten (GE) je ME. Zum Beispiel:

p_{N} (6) = 20 - 2 \cdot 6 = 8

Sechs ME gehen für 8 GE je ME weg.

Nachfragekurve mit Höchstpreis und Sättigungsmenge

$p_{N} (x)$ ist das $y$ : die Höhe des Graphen über der Stelle $x$ . Die Menge steht waagerecht, der Preis senkrecht.

Preise ablesen

Mehr Menge geht nur zu kleinerem Preis. Diese fallende Preisfunktion heißt Nachfragefunktion oder Preis-Absatz-Funktion.

Weitere Beispiele:

	Preisfunktion	gesucht	Rechnung
a)	$p_{N} (x) = 20 - 2 x$	$p_{N} (3)$	$20 - 2 \cdot 3 = 14$
b)	$p_{N} (x) = 12 - 3 x$	$p_{N} (2)$	$12 - 3 \cdot 2 = 6$
c)	$p_{N} (x) = 30 - 0, 5 x$	$p_{N} (8)$	$30 - 0, 5 \cdot 8 = 26$
d)	$p_{N} (x) = 18 - 1 x$	$p_{N} (5)$	$18 - 1 \cdot 5 = 13$
e)	$p_{N} (x) = 24 - 4 x$	$p_{N} (4, 5)$	$24 - 4 \cdot 4, 5 = 6$

Merken: Menge einsetzen, Preis kommt heraus.

Jetzt ihr

p_{N} (x) = 16 - 2 x

, gesucht

p_{N} (3)

Lösung

16 - 2 \cdot 3 = 10

Höchstpreis und Sättigungsmenge

Die Kurve hat zwei Ränder. Oben der Preis bei der Menge $0$ , unten die Menge beim Preis $0$ .

p_{N} (0) = 20 - 2 \cdot 0 = 20

20 - 2 x = 0 \Rightarrow 2 x = 20 \Rightarrow x = \frac{20}{2} = 10

Der obere Rand heißt Höchstpreis oder Prohibitivpreis: ab 20 GE kauft niemand mehr. Der untere Rand heißt Sättigungsmenge: mehr als 10 ME nimmt der Markt auch geschenkt nicht.

Nachfragekurve mit Höchstpreis 20 GE und Sättigungsmenge 10 ME

Weitere Beispiele:

	Preisfunktion	Höchstpreis $p_{N} (0)$	Sättigungsmenge ( $p_{N} (x) = 0$ )
a)	$p_{N} (x) = 20 - 2 x$	$20$	$x = \frac{20}{2} = 10$
b)	$p_{N} (x) = 12 - 3 x$	$12$	$x = \frac{12}{3} = 4$
c)	$p_{N} (x) = 30 - 0, 5 x$	$30$	$x = \frac{30}{0 , 5} = 60$
d)	$p_{N} (x) = 18 - 1 x$	$18$	$x = \frac{18}{1} = 18$
e)	$p_{N} (x) = 24 - 4 x$	$24$	$x = \frac{24}{4} = 6$

Merken: Höchstpreis ist die Zahl ohne $x$ . Sättigungsmenge ist diese Zahl geteilt durch die Zahl vor dem $x$ .

Jetzt ihr

p_{N} (x) = 40 - 5 x

Lösung

Höchstpreis

40

GE, Sättigungsmenge

x = \frac{40}{5} = 8

Die Steigung der Preisfunktion

Die Ableitung $p_{N}^{'} (x)$ sagt, um wie viel GE der Preis sich ändert, wenn eine ME mehr verkauft wird.

p_{N} (x) = 20 - 2 x^{1} \to p_{N}^{'} (x) = - 2 \cdot 1 x^{0} = - 2

Doppelgraph: oben die Preisfunktion, darunter ihre Ableitung

Jede weitere ME drückt den Preis um 2 GE. Das Minus zeigt das Fallen, und die $- 2$ steht an jeder Stelle gleich: die Gerade unten liegt waagerecht.

Weitere Beispiele:

	Preisfunktion	Ableitung	Deutung
a)	$p_{N} (x) = 20 - 2 x^{1}$	$- 2 \cdot 1 x^{0} = - 2$	je ME 2 GE weniger
b)	$p_{N} (x) = 12 - 3 x^{1}$	$- 3 \cdot 1 x^{0} = - 3$	je ME 3 GE weniger
c)	$p_{N} (x) = 30 - 0, 5 x^{1}$	$- 0, 5 \cdot 1 x^{0} = - 0, 5$	je ME 0,50 GE weniger
d)	$p_{N} (x) = 18 - 1 x^{1}$	$- 1 \cdot 1 x^{0} = - 1$	je ME 1 GE weniger
e)	$p_{A} (x) = 2 + 1 x^{1}$	$1 \cdot 1 x^{0} = 1$	je ME 1 GE mehr

Merken: Die Ableitung der Preisfunktion ist die Preisänderung je zusätzlicher ME. Minus heißt fallen, Plus heißt steigen.

Jetzt ihr

p_{N} (x) = 25 - 4 x

, gesucht

p_{N}^{'} (x)

und seine Deutung.

Lösung

- 4 \cdot 1 x^{0} = - 4

, je ME 4 GE weniger

Die Preisfunktion aufstellen

Meist kennt ihr keine Formel, sondern zwei Messungen. Um daraus die Preisfunktion $p_{N} (x) = m x + b$ zu bekommen, holt ihr zuerst das $m$ .

Bei 2 ME zahlen die Kunden 16 GE, bei 5 ME nur noch 10 GE.

Herleitung:

m = \frac{10 - 16}{5 - 2} = \frac{- 6}{3} = - 2

Das $b$ kommt aus einem der beiden Punkte. $P_{1} (2 ∣ 16)$ eingesetzt:

16 = - 2 \cdot 2 + b \Rightarrow 16 = - 4 + b \Rightarrow b = 20

p_{N} (x) = - 2 x + 20

Probe mit dem zweiten Punkt:

p_{N} (5) = - 2 \cdot 5 + 20 = 10 ✓

Schema:

1. Steigung aus beiden Punkten: $m = \frac{p _{2} - p _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ 2. einen Punkt in $p_{N} (x) = m x + b$ einsetzen und nach $b$ auflösen 3. Preisfunktion hinschreiben: $p_{N} (x) = m x + b$ 4. Probe mit dem anderen Punkt

Weitere Beispiele:

	Punkte	$m$	$b$	Preisfunktion
a)	$P_{1} (2 ∣ 16)$ , $P_{2} (5 ∣ 10)$	$\frac{10 - 16}{5 - 2} = - 2$	$16 = - 2 \cdot 2 + b \Rightarrow b = 20$	$p_{N} (x) = - 2 x + 20$
b)	$P_{1} (2 ∣ 25)$ , $P_{2} (6 ∣ 15)$	$\frac{15 - 25}{6 - 2} = - 2, 5$	$25 = - 2, 5 \cdot 2 + b \Rightarrow b = 30$	$p_{N} (x) = - 2, 5 x + 30$
c)	$P_{1} (5 ∣ 20)$ , $P_{2} (15 ∣ 10)$	$\frac{10 - 20}{15 - 5} = - 1$	$20 = - 1 \cdot 5 + b \Rightarrow b = 25$	$p_{N} (x) = - 1 x + 25$

Jetzt ihr

P_{1} (1 ∣ 18)

P_{2} (4 ∣ 12)

Lösung

m = \frac{12 - 18}{4 - 1} = - 2

18 = - 2 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 20

, also

p_{N} (x) = - 2 x + 20

Der ökonomische Definitionsbereich

Negative Mengen gibt es nicht, negative Preise auch nicht. Von der ganzen Geraden bleibt darum nur das Stück zwischen den beiden Rändern.

Nur das Stück zwischen 0 und der Sättigungsmenge ist ökonomisch sinnvoll

Für $p_{N} (x) = 20 - 2 x$ :

0 \leq x \leq 10

Merken: Der ökonomische Definitionsbereich geht von $0$ bis zur Sättigungsmenge.

Jetzt ihr

p_{N} (x) = 12 - 3 x

Lösung

0 \leq x \leq 4

Die Angebotsfunktion

Die Angebotsfunktion sagt, zu welchem Preis die Betriebe eine bestimmte Menge liefern. Sie steigt: größere Mengen liefern sie nur für mehr Geld. Zum Beispiel:

p_{A} (x) = 2 + x

p_{A} (6) = 2 + 6 = 8

Der Rand unten heißt Mindestangebotspreis: unter 2 GE liefert niemand.

Weitere Beispiele:

	Angebotsfunktion	Mindestangebotspreis $p_{A} (0)$	Ableitung
a)	$p_{A} (x) = 2 + 1 x^{1}$	$2$	$1 \cdot 1 x^{0} = 1$
b)	$p_{A} (x) = 4 + 2 x^{1}$	$4$	$2 \cdot 1 x^{0} = 2$
c)	$p_{A} (x) = 6 + 3 x^{1}$	$6$	$3 \cdot 1 x^{0} = 3$
d)	$p_{A} (x) = 3 + 0, 5 x^{1}$	$3$	$0, 5 \cdot 1 x^{0} = 0, 5$

Merken: Die Angebotsfunktion steigt, ihre Ableitung ist positiv. Der Mindestangebotspreis ist die Zahl ohne $x$ .

Jetzt ihr

p_{A} (x) = 5 + 2 x

, gesucht Mindestangebotspreis und

p_{A} (4)

Lösung

5

GE und

5 + 2 \cdot 4 = 13

Das Marktgleichgewicht

Ein Handel kommt zustande, wenn Kunden und Betriebe bei derselben Menge denselben Preis meinen. Derselbe Preis heißt gleiche Höhe der beiden Funktionen:

p_{N} (x) = p_{A} (x)

20 - 2 x = 2 + x

20 = 2 + 3 x

18 = 3 x

x = 6

Den Preis holt ihr aus einer der beiden Gleichungen. Beide gehen, denn bei dieser Menge tragen beide denselben Preis:

p_{N} (6) = 20 - 2 \cdot 6 = 8

Probe in der anderen:

p_{A} (6) = 2 + 6 = 8 ✓

Gleichgewichtsmenge $x = 6$ ME, Gleichgewichtspreis $p = 8$ GE, also $S (6 ∣ 8)$ .

Schema:

1. beide Preisfunktionen gleichsetzen: $p_{N} (x) = p_{A} (x)$ 2. die Gleichung nach $x$ lösen, das ist die Gleichgewichtsmenge 3. dieses $x$ in eine der beiden Funktionen einsetzen, das ist der Gleichgewichtspreis 4. Probe in der anderen Funktion 5. Antwort als Punkt: $S (x ∣ p)$

Weitere Beispiele:

	Nachfrage	Angebot	Gleichsetzen	Menge	Preis	Antwort
a)	$p_{N} (x) = 20 - 2 x$	$p_{A} (x) = 2 + x$	$20 - 2 x = 2 + x$	$x = \frac{18}{3} = 6$	$2 + 6 = 8$	$S (6 ∣ 8)$
b)	$p_{N} (x) = 12 - x$	$p_{A} (x) = 4 + x$	$12 - x = 4 + x$	$x = \frac{8}{2} = 4$	$4 + 4 = 8$	$S (4 ∣ 8)$
c)	$p_{N} (x) = 30 - 3 x$	$p_{A} (x) = 6 + 3 x$	$30 - 3 x = 6 + 3 x$	$x = \frac{24}{6} = 4$	$6 + 3 \cdot 4 = 18$	$S (4 ∣ 18)$
d)	$p_{N} (x) = 15 - 0, 5 x$	$p_{A} (x) = 3 + x$	$15 - 0, 5 x = 3 + x$	$x = \frac{12}{1 , 5} = 8$	$3 + 8 = 11$	$S (8 ∣ 11)$
e)	$p_{N} (x) = 24 - 2 x$	$p_{A} (x) = 4 + 2 x$	$24 - 2 x = 4 + 2 x$	$x = \frac{20}{4} = 5$	$4 + 2 \cdot 5 = 14$	$S (5 ∣ 14)$

Merken: Gleichsetzen, nach $x$ auflösen, $x$ einsetzen, Antwort $S (x ∣ p)$ .

Jetzt ihr

p_{N} (x) = 18 - 2 x

und

p_{A} (x) = 6 + x

Lösung

18 - 2 x = 6 + x

x = \frac{12}{3} = 4

p = 6 + 4 = 10

, also

S (4 ∣ 10)

Preise über und unter dem Gleichgewicht

Überangebot bei 12 GE, Übernachfrage bei 6 GE

	Preis	nachgefragt $x_{N}$	angeboten $x_{A}$	Unterschied	Name
a)	$12$ GE	$\frac{20 - 12}{2} = 4$ ME	$12 - 2 = 10$ ME	$6$ ME zu viel	Überangebot (Angebotsüberschuss)
b)	$8$ GE	$\frac{20 - 8}{2} = 6$ ME	$8 - 2 = 6$ ME	$0$ ME	Marktgleichgewicht
c)	$6$ GE	$\frac{20 - 6}{2} = 7$ ME	$6 - 2 = 4$ ME	$3$ ME zu wenig	Übernachfrage (Nachfrageüberschuss)

Merken: Über dem Gleichgewichtspreis bleibt Ware liegen, darunter fehlt Ware. Nur im Schnittpunkt passt beides zusammen.

Die Begriffe auf einen Blick

Begriff	Zeichen	so berechnet	im Bild
Menge	$x$ in ME	gegeben	waagerechte Achse
Preis	$p$ in GE	$p = p (x)$	senkrechte Achse
Nachfragefunktion (Preis-Absatz-Funktion)	$p_{N} (x)$	fallende Gerade	blaue Kurve
Angebotsfunktion	$p_{A} (x)$	steigende Gerade	orange Kurve
Höchstpreis (Prohibitivpreis)	$p_{N} (0)$	Zahl ohne $x$	Schnitt der blauen Kurve mit der Preisachse
Sättigungsmenge	$x$ mit $p_{N} (x) = 0$	Zahl ohne $x$ geteilt durch Zahl vor $x$	Schnitt der blauen Kurve mit der Mengenachse
Mindestangebotspreis	$p_{A} (0)$	Zahl ohne $x$	Schnitt der orangen Kurve mit der Preisachse
Preisänderung je ME	$p^{'} (x)$	ableiten	Steigungsdreieck an der Kurve
Gleichgewichtsmenge	$x$	aus $p_{N} (x) = p_{A} (x)$	Schnittpunkt, waagerecht abgelesen
Gleichgewichtspreis	$p$	$x$ eingesetzt	Schnittpunkt, senkrecht abgelesen
ökonomischer Definitionsbereich	$0 \leq x \leq x_{S \overset{a}{¨} tt}$	von $0$ bis zur Sättigungsmenge	blaues Stück der Kurve

Übungen

Gesucht sind jeweils Gleichgewichtsmenge und Gleichgewichtspreis.

a) $p_{N} (x) = 12 - x$ und $p_{A} (x) = 4 + x$

b) $p_{N} (x) = 30 - 3 x$ und $p_{A} (x) = 6 + 3 x$

c) $p_{N} (x) = 15 - 0, 5 x$ und $p_{A} (x) = 3 + x$

d) $p_{N} (x) = 24 - 2 x$ und $p_{A} (x) = 4 + 2 x$

e) $p_{N} (x) = 40 - 4 x$ und $p_{A} (x) = 10 + x$

f) $p_{N} (x) = 18 - 1, 5 x$ und $p_{A} (x) = 3 + 1, 5 x$

Lösungen Schritt für Schritt

a) $12 - x = 4 + x$ ; $12 = 4 + 2 x$ ; $8 = 2 x$ ; $x = 4$ ; $p_{A} (4) = 4 + 4 = 8$ ; Probe $p_{N} (4) = 12 - 4 = 8$ ; $S (4 ∣ 8)$

b) $30 - 3 x = 6 + 3 x$ ; $30 = 6 + 6 x$ ; $24 = 6 x$ ; $x = 4$ ; $p_{A} (4) = 6 + 3 \cdot 4 = 18$ ; Probe $p_{N} (4) = 30 - 3 \cdot 4 = 18$ ; $S (4 ∣ 18)$

c) $15 - 0, 5 x = 3 + x$ ; $15 = 3 + 1, 5 x$ ; $12 = 1, 5 x$ ; $x = 8$ ; $p_{A} (8) = 3 + 8 = 11$ ; Probe $p_{N} (8) = 15 - 0, 5 \cdot 8 = 11$ ; $S (8 ∣ 11)$

d) $24 - 2 x = 4 + 2 x$ ; $24 = 4 + 4 x$ ; $20 = 4 x$ ; $x = 5$ ; $p_{A} (5) = 4 + 2 \cdot 5 = 14$ ; Probe $p_{N} (5) = 24 - 2 \cdot 5 = 14$ ; $S (5 ∣ 14)$

e) $40 - 4 x = 10 + x$ ; $40 = 10 + 5 x$ ; $30 = 5 x$ ; $x = 6$ ; $p_{A} (6) = 10 + 6 = 16$ ; Probe $p_{N} (6) = 40 - 4 \cdot 6 = 16$ ; $S (6 ∣ 16)$

f) $18 - 1, 5 x = 3 + 1, 5 x$ ; $18 = 3 + 3 x$ ; $15 = 3 x$ ; $x = 5$ ; $p_{A} (5) = 3 + 1, 5 \cdot 5 = 10, 5$ ; Probe $p_{N} (5) = 18 - 1, 5 \cdot 5 = 10, 5$ ; $S (5 ∣ 10, 5)$