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Schräger Wurf trifft freien Fall

Zwei Bälle sollen sich in der Luft treffen. Ball 1 fliegt schräg, Ball 2 fällt senkrecht, und wir wollen wissen, wann wir Ball 2 loslassen müssen.

Ball 1 wird vom Boden mit $v_{0} = 14 m/s$ unter $40°$ geworfen. Bei $x = 15 m$ hängt Ball 2 in $7 m$ Höhe.

Parabel von Ball 1 ab Ursprung, v0 = 14 m/s unter 40°, Ball 2 rot bei x = 15 m in 7 m Höhe, gestrichelte Falllinie, Treffpunkt K

Die Bahn von Ball 1 kreuzt die Falllinie von Ball 2 im Punkt K. Dort müssen beide sein, und zwar im selben Moment. Treffen heißt: derselbe Ort zur selben Zeit.

Wir brauchen drei Zahlen:

- a) Wann ist Ball 1 bei K? - b) Wie hoch liegt K? - c) Wie lange fällt Ball 2 von 7 m bis K?

Die Uhr startet beim Wurf. Ihre Zeit heißt $t$ .

Ball 1: Wann ist er bei K, und wie hoch?

Die Geschwindigkeit zerlegen

Der Pfeil $v_{0} = 14 m/s$ unter $40°$ zerfällt in einen waagerechten Teil $v_{0 x}$ und einen senkrechten Teil $v_{0 y}$ :

Pfeildreieck: v0 = 14 m/s unter 40°, waagerecht v0x = 10,72 m/s, senkrecht v0y = 9,00 m/s

v_{0 x} = 14 \cdot cos 40° \approx 10, 72 m/s v_{0 y} = 14 \cdot sin 40° \approx 9, 00 m/s

Die zwei Bewegungen hinschreiben

Wir rechnen ohne Luftwiderstand, der Ball ist ein Punkt. Die Höhe $y$ zählt nach oben. Die Erdbeschleunigung $g = 9, 81 m/s^{2}$ zieht nach unten, also ist senkrecht $a = - 9, 81 m/s^{2}$ . Waagerecht beschleunigt nichts, also $a = 0$ . Beide Zeilen kommen aus $s (t) = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0} t + s_{0}$ :

x_{1} (t) = \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot t^{2} + 10, 72 t + 0 = 10, 72 t

y_{1} (t) = \frac{1}{2} \cdot (- 9, 81) t^{2} + 9, 00 t + 0 = - 4, 905 t^{2} + 9, 00 t

a) Die x-Stelle gibt die Zeit

$x_{1}$ wächst die ganze Zeit. Zu $x = 15$ gehört also genau ein Zeitpunkt. Wir nennen ihn $t_{1}$ :

10, 72 t_{1} = 15 \Rightarrow t_{1} = \frac{15}{10 , 72} \approx 1, 399 s

b) Die Zeit gibt die Höhe

Dieselbe Zeit kommt in $y_{1}$ :

y_{1} (1, 399) = - 4, 905 \cdot 1, 39 9^{2} + 9, 00 \cdot 1, 399

y_{1} (1, 399) = - 9, 600 + 12, 591 \approx 2, 99 m

> Ball 1 ist bei $t_{1} = 1, 399 s$ in K. K liegt $y_{K} = 2, 99 m$ hoch.

Merken: Die x-Stelle gibt die Zeit, die Zeit gibt die Höhe.

Andersherum klappt es nicht. Die Höhe $2, 99 m$ hat Ball 1 zweimal, einmal beim Steigen und einmal beim Fallen:

Parabel mit waagerechter Linie bei 2,99 m, zwei Schnittpunkte bei x = 4,7 m und x = 15 m; senkrechte Linie bei 15 m schneidet einmal

Schema: Treffpunkt von Ball 1

Das eben Gerechnete, allgemein. Ball 2 hängt bei $x_{K}$ :

1. Zerlegen: $v_{0 x} = v_{0} cos α$ , $v_{0 y} = v_{0} sin α$ 2. Aufstellen: $x_{1} (t) = v_{0 x} t$ , $y_{1} (t) = \frac{1}{2} \cdot (- g) t^{2} + v_{0 y} t$ 3. Zeit: $x_{1} (t_{1}) = x_{K}$ , also $t_{1} = \frac{x _{K}}{v _{0 x}}$ 4. Höhe: $y_{K} = y_{1} (t_{1})$

Jetzt ihr

Ball 2 hängt bei

x_{K} = 6 m

. Wann und wie hoch ist Ball 1 dort?

Lösung

t_{1} = \frac{6}{10 , 72} \approx 0, 56 s

y_{K} = - 4, 905 \cdot 0, 5 6^{2} + 9, 00 \cdot 0, 56 \approx 3, 50 m

c) Ball 2: Wie lange fällt er bis K?

Ball 2 wird erst später losgelassen. Seine Fallzeit messen wir darum mit einer zweiten Uhr, die beim Loslassen auf null steht. Ihre Zeit heißt $τ$ (griechisch, sprich „tau“).

Für Ball 2 gilt dieselbe Formel, nur mit seinen senkrechten Startwerten:

	$\frac{1}{2} a$	Startgeschwindigkeit senkrecht	Starthöhe	Zeile
Ball 1	$\frac{1}{2} \cdot (- 9, 81)$	$9, 00$	$0$	$y_{1} (t) = - 4, 905 t^{2} + 9, 00 t + 0$
Ball 2	$\frac{1}{2} \cdot (- 9, 81)$	$0$	$7$	$y_{2} (τ) = - 4, 905 τ^{2} + 0 \cdot τ + 7$

Ball 2 soll in K ankommen, also auf $y_{K} = 2, 99 m$ :

- 4, 905 τ^{2} + 7 = 2, 99

- 4, 905 τ^{2} = - 4, 01

τ^{2} = \frac{4 , 01}{4 , 905} \approx 0, 8175

τ = 0, 8175 \approx 0, 904 s

Die Lösung $- 0, 904$ fällt weg: Vor dem Loslassen fällt Ball 2 noch nicht.

> Ball 2 braucht $τ = 0, 904 s$ von 7 m bis K.

Schema: Fallzeit von Ball 2

Ball 2 hängt in der Höhe $h$ :

1. Aufstellen: $y_{2} (τ) = \frac{1}{2} \cdot (- g) τ^{2} + h$ 2. Ankunft in K: $y_{2} (τ) = y_{K}$ 3. Nach $τ^{2}$ umstellen: $τ^{2} = \frac{h - y _{K}}{\frac{1}{2} g}$ 4. Wurzel ziehen, nur $τ > 0$ behalten

Jetzt ihr

Ball 2 hängt in

8 m

Höhe, K liegt

3, 50 m

hoch. Wie lange fällt er?

Lösung

τ^{2} = \frac{8 - 3 , 50}{4 , 905} \approx 0, 917

τ \approx 0, 96 s

Die Verzögerung

Beide Bälle kommen im selben Moment in K an. Ball 1 ist bis dahin $t_{1} = 1, 399 s$ unterwegs, Ball 2 nur $τ = 0, 904 s$ . Ball 2 wartet also die Differenz. Sie heißt Verzögerung $Δ t$ :

Δ t = t_{1} - τ = 1, 399 s - 0, 904 s = 0, 495 s \approx 0, 5 s

Zeitstrahl: Ball 1 fliegt 1,399 s ab t = 0, Ball 2 fällt ab Δt = 0,495 s für τ = 0,904 s, beide in K

> Ball 2 wird etwa $0, 5 s$ nach dem Wurf losgelassen.

Und ohne Wartezeit? Dann fällt Ball 2 die ganzen 7 m bis zum Boden:

- 4, 905 τ^{2} + 7 = 0 \Rightarrow τ = \frac{7}{4 , 905} \approx 1, 19 s

Nach $1, 19 s$ liegt er am Boden. Ball 1 kommt erst bei $1, 399 s$ an K vorbei:

Zwei Bilder: links Ball 2 ohne Wartezeit, liegt am Boden, verfehlt; rechts Ball 2 wartet 0,5 s, beide in K, Treffer

Hängt Ball 2 in $15 m$ Höhe, braucht er für seinen Fall länger als Ball 1 für seinen Flug:

τ = \frac{15 - 2 , 99}{4 , 905} \approx 1, 565 s Δ t = 1, 399 - 1, 565 \approx - 0, 17 s

Zeitstrahl: Ball 2 startet schon bei t = −0,17 s und fällt τ = 1,565 s, Ball 1 fliegt ab dem Wurf 1,399 s, beide in K

Der rote Pfeil beginnt links vom Wurf: Ball 2 fällt schon, bevor Ball 1 geworfen wird.

Höhe von Ball 2	$τ$	$Δ t$	Ball 2 loslassen
$7 m$	$0, 904 s$	$+ 0, 5 s$	$0, 5 s$ nach dem Wurf
$15 m$	$1, 565 s$	$- 0, 17 s$	$0, 17 s$ vor dem Wurf

Schema: Verzögerung

1. Flugzeit von Ball 1 bis K: $t_{1}$ 2. Fallzeit von Ball 2 bis K: $τ$ 3. Verzögerung: $Δ t = t_{1} - τ$ 4. Deuten: $Δ t > 0$ , Ball 2 nach dem Wurf loslassen; $Δ t < 0$ , vorher

Jetzt ihr

t_{1} = 0, 56 s

τ = 0, 96 s

. Wann wird Ball 2 losgelassen?

Lösung

Δ t = 0, 56 - 0, 96 = - 0, 40 s

, also

0, 40 s

vor dem Wurf

Steigt oder fällt Ball 1 bei K?

Die Höhe sagt es nicht, $2, 99 m$ kommt ja zweimal vor. Es entscheidet die senkrechte Geschwindigkeit $v_{y}$ : positiv heißt steigen, negativ heißt fallen.

Bei gleichmäßiger Beschleunigung gilt $v (t) = a t + v_{0}$ . Senkrecht ist $a = - 9, 81$ und $v_{0} = v_{0 y} = 9, 00$ :

v_{y} (t) = - 9, 81 t + 9, 00

v_{y} (1, 399) = - 9, 81 \cdot 1, 399 + 9, 00 \approx - 13, 724 + 9, 00 \approx - 4, 72 m/s

v_y-t-Diagramm: fallende Gerade von 9,00 durch die t-Achse bei 0,92 s, Punkt K bei 1,399 s mit v_y = −4,72 m/s; oberhalb steigt, unterhalb fällt

> $v_{y}$ ist negativ: Ball 1 fällt schon, wenn er K trifft.

Wo die Gerade die t-Achse schneidet, ist $v_{y} = 0$ . Dort hört Ball 1 auf zu steigen: Das ist der höchste Punkt der Bahn, der Scheitel. Die Zeit bis dorthin heißt Steigzeit $t_{S}$ :

- 9, 81 t_{S} + 9, 00 = 0 \Rightarrow t_{S} = \frac{9 , 00}{9 , 81} \approx 0, 92 s

Die Höhe dort heißt Scheitelhöhe $H$ :

H = y_{1} (0, 92) = - 4, 905 \cdot 0, 9 2^{2} + 9, 00 \cdot 0, 92 \approx - 4, 152 + 8, 28 \approx 4, 13 m

Am Scheitel ist nur der senkrechte Teil null. Waagerecht fliegt Ball 1 weiter mit $10, 72 m/s$ :

Bahn mit Geschwindigkeitspfeilen: waagerechter Anteil überall 10,72 m/s, am Scheitel nur waagerecht; g-Pfeil überall gleich

Der graue Pfeil $g$ ist an jeder Stelle gleich lang, auch am Scheitel. Darum fällt die $v_{y}$ -Gerade überall gleich steil.

Schema: Steigt oder fällt?

1. Senkrechte Geschwindigkeit: $v_{y} (t) = - g t + v_{0 y}$ 2. Einsetzen: $v_{y} (t_{1})$ ausrechnen 3. Deuten: $v_{y} (t_{1}) > 0$ steigt, $v_{y} (t_{1}) < 0$ fällt 4. Scheitel bei Bedarf: $v_{y} (t_{S}) = 0$ , dann $H = y_{1} (t_{S})$

Jetzt ihr

Ball 1 ist bei

t_{1} = 0, 56 s

in K. Steigt oder fällt er?

Lösung

v_{y} = - 9, 81 \cdot 0, 56 + 9, 00 \approx 3, 51 m/s > 0

, er steigt

Übungen

Jetzt ihr

Ball 1 wird vom Boden mit

14 m/s

unter

40°

geworfen. Ball 2 hängt bei

x = 15 m

10 m

Höhe. a) Wann und wie hoch ist Ball 1 bei

x = 15 m

? b) Wie lange fällt Ball 2 bis K? c) Wann wird Ball 2 losgelassen? d) Steigt oder fällt Ball 1 in K?

Lösung

t_{1} \approx 1, 399 s

y_{K} \approx 2, 99 m

τ = \frac{10 - 2 , 99}{4 , 905} \approx 1, 195 s

Δ t \approx 1, 399 - 1, 195 \approx 0, 20 s

nach dem Wurf d)

v_{y} \approx - 4, 72 m/s

, er fällt

Jetzt ihr

Ball 1 wird vom Boden mit

14 m/s

unter

40°

geworfen. Ball 2 hängt bei

x = 8 m

8 m

Höhe. a) Wann und wie hoch ist Ball 1 bei

x = 8 m

? b) Wie lange fällt Ball 2 bis K? c) Wann wird Ball 2 losgelassen? d) Steigt oder fällt Ball 1 in K?

Lösung

t_{1} = \frac{8}{10 , 72} \approx 0, 746 s

y_{K} \approx 3, 98 m

τ = \frac{8 - 3 , 98}{4 , 905} \approx 0, 905 s

Δ t \approx 0, 746 - 0, 905 \approx - 0, 16 s

, also

0, 16 s

vor dem Wurf d)

v_{y} \approx - 9, 81 \cdot 0, 746 + 9, 00 \approx 1, 68 m/s

, er steigt

Jetzt ihr

Ball 1 wird vom Boden mit

14 m/s

unter

40°

geworfen. a) Zu welchen Zeiten hat er die Höhe

2, 99 m

? b) Wo ist er beim ersten Mal, und steigt er dort?

Lösung

- 4, 905 t^{2} + 9, 00 t = 2, 99

; alles durch

- 4, 905

t^{2} - 1, 835 t + 0, 610 = 0

; pq-Formel:

t = 0, 917 \pm 0, 91 7^{2} - 0, 610

, also

t \approx 0, 44 s

und

t \approx 1, 40 s

x = 10, 72 \cdot 0, 44 \approx 4, 7 m

;

v_{y} = - 9, 81 \cdot 0, 44 + 9, 00 \approx 4, 68 m/s > 0

, er steigt