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[m3 IR 8 12:00] Kosten + Erlös

Ein Abschlussjahrgang bedruckt T-Shirts und verkauft sie im Schulhaus.

Jedes bedruckte Shirt verbraucht Stoff und Arbeitszeit.

Ihr erwartet bei der doppelten Menge auch die doppelten Kosten.

Die Tafel von K(x) widerspricht dem.

Die eigentliche Frage lautet, bei welcher Menge das naechste Shirt am wenigsten kostet.

x steht fuer die Anzahl der bedruckten Shirts.

p(x) nennt zu jeder Menge den Verkaufspreis.

Mit wachsender Menge sinkt p(x).

p (x) = 60 - 0, 4 x

$x$	$p (x)$
$0$	$60$
$25$	$50$
$50$	$40$
$75$	$30$
$100$	$20$

Ein groesseres Angebot drueckt p(x) also weiter nach unten.

Die Kostenfunktion

K(x) nennt die gesamten Kosten fuer x bedruckte Shirts.

K (x) = 0, 02 x^{3} - 1, 8 x^{2} + 60 x + 800

Mit steigendem x steigt auch K(x), aber in ungleichen Schritten.

Ohne ein einziges Shirt bleiben trotzdem Kosten stehen.

K f = K (0) = 800

Diese 800 heissen Fixkosten und stecken als Kf im Term von K(x).

Der Kostenzuwachs

Der Zuwachs ist die Differenz zweier Kostenwerte.

In der Tafel von K(x) ist der Zuwachs der senkrechte Abstand zweier Eintraege.

$x$	Zuwachs
$0 \to 20$	$640$
$20 \to 40$	$160$
$40 \to 60$	$640$
$60 \to 80$	$2080$
$80 \to 100$	$4480$

Der Zuwachs schrumpft zuerst und waechst danach wieder.

Achtet auf die Laenge der Spruenge von Zeile zu Zeile.

a) $K (20) - K (0) = 1440 - 800 = 640$
b) $K (40) - K (20) = 1600 - 1440 = 160$

Bevor ihr weiterlest: Wird der naechste Sprung groesser oder kleiner als der davor? (Lösung: Groesser. Ab einer bestimmten Menge waechst der Sprung wieder.)

c) $K (60) - K (40) = 2240 - 1600 = 640$
d) $K (80) - K (60) = 4320 - 2240 = 2080$
e) $K (100) - K (80) = 8800 - 4320 = 4480$

Diese Regel gilt nur fuer Mengen, die ihr tatsaechlich produzieren koennt.

Ausserhalb dieses Bereichs sagt die Rechnung nichts aus.

Merken: Beim ertragsgesetzlichen Verlauf aendert sich der Sprung von Stufe zu Stufe.

Die Grenzkosten

An der senkrechten Achse lest ihr die Hoehe eines Punktes ab.

Wie steil die Kurve an dieser Stelle laeuft, ist ihre Steigung.

Kg(x) sind die Kosten, die das naechste Shirt zusaetzlich verursacht.

Die Steigung von K(x) an einer Stelle ist genau Kg(x).

Wie hoch K(x) dort liegen, sagen Kg(x) dagegen nicht.

Kg(x) beantworten die Frage nach dem Aufpreis fuer das naechste Shirt.

	Schrittweite
Zuwachs	20 Shirts auf einmal
$K g (x)$	ein einziges Shirt

Ein Zuwachs fasst eine ganze Stufe zusammen, Kg(x) rechnet auf ein einzelnes Shirt herunter.

Die zweite Ableitung bekommt ihr, wenn ihr die erste Ableitung noch einmal ableitet.

K(x) abgeleitet ergibt Kg(x), und Kg(x) abgeleitet ergibt die zweite Ableitung.

Herleitung:

Kg(x) stecken in der ersten Ableitung von K(x).

K^{'} (x) = 0, 06 x^{2} - 3, 6 x + 60

An der zweiten Ableitung lest ihr ab, ob Kg(x) gerade fallen oder steigen.

K^{''} (x) = 0, 12 x - 3, 6

Beim Wert null hoeren Kg(x) auf zu fallen.

0, 12 x - 3, 6 = 0

Diese Menge traegt die kleinsten Kg(x).

x = 30

K^{'} (30) = 0, 06 \cdot 3 0^{2} - 3, 6 \cdot 30 + 60

= 54 - 108 + 60 = 6

Ergebnis: $K^{'} (30) = 6$

	Was der Wert misst
$K (x)$	Hoehe der Kosten
$K g (x)$	Steigung der Kosten

Die Lage der Kurve steckt in K(x), die Neigung in Kg(x).

Zwei Ableitungen und eine Gleichung mit null liefern die Stelle.

Merken: Die Kostenkehre ist die Wendestelle von K(x). Dort sind Kg(x) am kleinsten.

Schema

a)Leitet K(x) einmal ab.
b)Leitet noch einmal ab.
c)Setzt die zweite Ableitung gleich null.
d)Loest nach x auf.

Weitere Beispiele:

K (x) = 0, 01 x^{3} - 1, 2 x^{2} + 50 x + 900

K^{''} (x) = 0, 06 x - 2, 4

0, 06 x - 2, 4 = 0

x = 40

Ergebnis: $x = 40$

K (x) = 0, 002 x^{3} - 0, 3 x^{2} + 20 x + 400

K^{''} (x) = 0, 012 x - 0, 6

0, 012 x - 0, 6 = 0

x = 50

Ergebnis: $x = 50$

K (x) = 0, 05 x^{3} - 3 x^{2} + 80 x + 1000

K^{''} (x) = 0, 3 x - 6

0, 3 x - 6 = 0

x = 20

Ergebnis: $x = 20$

Rechnet nach: Berechnet Kg(x) an der Kostenkehre.

Lösung: Die Kehre liegt bei 30. Dort sind Kg(x) am kleinsten.

Aus dem Gedächtnis: Wie hoch waren die Fixkosten?

Lösung: 800. Sie stehen im Term von K(x) ganz hinten.

Die Erloesfunktion

E(x) zaehlt zusammen, was alle verkauften Shirts einbringen.

Im Preis-Mengen-Bild ist E(x) die Rechteckflaeche aus p(x) und x.

Mit wachsendem x steigt E(x) zuerst und faellt danach wieder.

Herleitung:

Der Erloes ist das Produkt aus Preis und Menge.

E (x) = p (x) \cdot x

Der Preis p(x) haengt selbst von der Menge x ab.

E (x) = (60 - 0, 4 x) \cdot x

Nach dem Ausmultiplizieren steht E(x) als ein einziger Term in x.

E (x) = - 0, 4 x^{2} + 60 x

Schema

a)Schreibt E(x) als p(x) mal x.
b)Setzt den Term von p(x) in die Klammer.
c)Multipliziert die Klammer mit x aus.

Weitere Beispiele:

p (x) = 70 - 0, 5 x

E (x) = (70 - 0, 5 x) \cdot x

E (x) = - 0, 5 x^{2} + 70 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 5 x^{2} + 70 x$

p (x) = 45 - 0, 25 x

E (x) = (45 - 0, 25 x) \cdot x

E (x) = - 0, 25 x^{2} + 45 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 25 x^{2} + 45 x$

p (x) = 90 - 0, 6 x

E (x) = (90 - 0, 6 x) \cdot x

E (x) = - 0, 6 x^{2} + 90 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 6 x^{2} + 90 x$

Rechnet nach: Setzt in E(x) die groesste Menge des Bereichs ein.

Lösung: Das ergibt 2000.

Merken: Im Erloes steht p(x), kein fester Preis.

Merken: K(x) ist die Hoehe. Kg(x) ist die Steigung.

Warum die Kosten erst langsamer und dann schneller wachsen:

Zu Beginn verteilt sich die Arbeit auf mehr Shirts, und jedes weitere Shirt hilft dabei.

Irgendwann wird der Platz knapp, und jedes weitere Shirt kostet mehr.

Jetzt ihr:

a) $p (x) = 55 - 0, 25 x$ Stellt E(x) auf und multipliziert aus.

Lösung: $E (x) = (55 - 0, 25 x) \cdot x$ , $E (x) = - 0, 25 x^{2} + 55 x$ .

b) $K (x) = 0, 01 x^{3} - 0, 6 x^{2} + 20 x + 300$ Bestimmt die Kostenkehre.

Lösung: $K^{''} (x) = 0, 06 x - 1, 2$ , $0, 06 x - 1, 2 = 0$ , $x = 20$ .