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m3 Erloesfunktion aufstellen

Die Erloesfunktion E(x) sagt, wie viel Geld x verkaufte Kerzen zusammen einbringen.

Damit rechnet ihr aus einer gegebenen Preisfunktion p(x) aus, was eine Menge wirklich bringt -- auch wenn der Preis mit der Menge faellt.

Zum Beispiel:

E (x) = p (x) \cdot x

E (x) = (60 - 0, 3 x) \cdot x

E (x) = - 0, 3 x^{2} + 60 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 3 x^{2} + 60 x$

E(x) entsteht aus p(x) · x. Danach steht E(x) als Term in x da.

Wie viel Geld bringen x Kerzen wirklich?

x ist die Zahl der Kerzen in einem Monat.

Preisfunktion

p(x) gibt der Preis einer Kerze bei der Menge x an.

p (x) = 60 - 0, 3 x

Steigt x, sinkt p(x).

E(x) ist das Geld aus dem Verkauf von x Kerzen.

Weil p(x) mit x fällt, wächst E(x) langsamer als x.

Um aus p(x) mal x einen Term in x allein zu machen, eine Klammer mit x multiplizieren heißt: jedes Glied der Klammer einzeln mit x multiplizieren.

Herleitung:

Jede verkaufte Einheit bringt p(x), und es sind x Einheiten.

E (x) = p (x) \cdot x

p(x) ist keine feste Zahl und haengt von x ab.

E (x) = (60 - 0, 3 x) \cdot x

Erst dann steht E(x) als Term in x da.

E (x) = - 0, 3 x^{2} + 60 x

E(x) entsteht aus p(x) · x. Danach steht E(x) als Term in x da.

Merken: E(x) = p(x) · x. Der Erlös ist Preis mal Menge, und der Preis hängt selbst von x ab.

Weitere Beispiele:

p (x) = 40 - 0, 2 x

E (x) = (40 - 0, 2 x) \cdot x

E (x) = - 0, 2 x^{2} + 40 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 2 x^{2} + 40 x$

p (x) = 80 - 0, 5 x

E (x) = (80 - 0, 5 x) \cdot x

E (x) = - 0, 5 x^{2} + 80 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 5 x^{2} + 80 x$

p (x) = 25 - 0, 05 x

E (x) = (25 - 0, 05 x) \cdot x

E (x) = - 0, 05 x^{2} + 25 x

Ergebnis: $E (x) = - 0, 05 x^{2} + 25 x$

Rechnet nach: Nehmt p(x) und bildet daraus E(x).

Lösung: E(x) = p(x) · x, dann die Klammer mit x ausmultiplizieren.

Merken: In E(x) steckt x zweimal: einmal als Menge und einmal im Preis. Darum ist E(x) keine Gerade.

Merken: Jedes Glied der Klammer wird mit x malgenommen, auch das hintere.

Warum E(x) = p(x) · x gilt:

Jede verkaufte Einheit bringt p(x). Bei x Einheiten liegt x-mal dieser Betrag in der Kasse.

Jetzt ihr:

a) $p (x) = 45 - 0, 15 x$ Stellt E(x) auf.

Lösung: $E (x) = (45 - 0, 15 x) \cdot x$ , $E (x) = - 0, 15 x^{2} + 45 x$ .

b) $p (x) = 70 - 0, 4 x$ Stellt E(x) auf.

Lösung: $E (x) = (70 - 0, 4 x) \cdot x$ , $E (x) = - 0, 4 x^{2} + 70 x$ .

c) $p (x) = 30 - 0, 06 x$ Stellt E(x) auf.

Lösung: $E (x) = (30 - 0, 06 x) \cdot x$ , $E (x) = - 0, 06 x^{2} + 30 x$ .